1980年全国高等学校统一招生数学试题解答(理工农医类)

一、(6分)将多项式x“y一gxy“分别在下列范围内分解因式: (1)有理数范围,(2)实数范围, (3)复数范围。〔解〕(1)x”y一gxjr“=xy(x‘一gy‘) =xy(x“ 3y“)(x“一3y“) (2)x“y一gxy“=xy(x“ 3y“)(x 侧3y)(x一侧3y) (3)x sy一gxy”=xy(x 杯3 yi)(x一侧3 yi)(x 了3y)(x一了3y) 二、(6分)半径为1、2、3的三个园两两外切,证明:以这三个园的园心为顶点的三角形是直角三角形。 三、(10分)用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点。〔证〕取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(o,a)、B(b,o)、C…     

探求两个变量之间的函数关系式

求两个变量之间的函数关系式 ,是教学中的一个难点。解题时 ,要根据题目提供的“信息”,着眼于建立两个变量之间的等量关系 ,再恒等变换 ,用含一个变量的代数式表示另一个变量。〔例 1〕如图 ,锐角△ ABC内接于○· O,高 AD、BE交于点 H,过点 A引圆的切线与直线 BE交于点P,直线 BE交○· O于另一点 F;AB1 2 是方程 x2 - 12 x 14 (sin2 C- 3 sin C 1 ) =0的一个实数根。　　 (1 )求∠C的度数与 AB的长 ;(2 )设 BH=x,BP=y,求 y与 x之间的函数关系式 ;(3)当 y=3 3时 ,试判断△ ABC的形状 ,并说明理由。〔分析〕由 (1 )求出∠C=60…     

和差代换应用一览(初一、初二、初三)

对于任意两个实数x和y,总有_x y,—一一石—~丁一 ‘X一y 2x y 一(a十b)十(a一b)一Za~而.例3正数m,n满足m 4丫下蕊一2丫下i一4在 4n一3,X一y一。一一2 Xy了l||l‘|we|L若令x十yX一y 2一b,则有。了不十2石一8,。,,本一二二二尸一一一二二,一于一一甲即1且. 了m 2了n 2002解=a b,     

问疑答难

豁1.已知xl是方程x lgx一3的解，是方程x 10，一3的解，则x、 等于多少? :由x，是方程x十lgx~3的x， lgx，=3，即lgx;=3一x，.众两解x:是方程x 10’~3的解，解徐由暴魂得x: 10，2=3，即10二2=3一x2. x，是y一lgx的图象与直线y~3一x的交点的横坐标，x:是y ~10’的图象与直线y~3一x的交点的横坐标.又y一lgx与y~10，的图象关于直线y一x对称，xl xZ一2二。(x。是直线y~3一x与y一x的交点的横坐标).生狱理化易求得x。一粤，则x， x:一3.‘2.解方程:(x一2)(x一3)(x一4)(x一5)=120.解:原方程可化为〔(x一2)(x一5)〕〔(x一3)(x一4)j=120，即(xZ一7x …     

2001-2002年国内外数学竞赛题选解(三)

三、代数部分1.求所有实函数f、g、h :R→R ,使得对任意实数x、y ,有(x -y)f(x) +h(x) -xy +y2 ≤h(y)≤(x -y)g(x) +h(x) -xy +y2 .①(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克 (第一轮 ) )解 :由式①得(x -y)f(x) ≤(x -y)g(x) .易知f(x) =g(x)对所有实数x均成立 .于是 ,有(x -y)f(x) +h(x) -xy +y2 =h(y) .令x =0 ,得h(y) =y2 -f(0 )y +h(0 ) ,即h是一个二次函数 .定义f(0 ) =a ,h(0 ) =b ,将h(y) =y2 -ay +b代入 ,有(x -y)f(x) +x2 -ax +b -xy+y2 =y2 -ay +b ,即　 (x -y)f(x) +x(x -y) - (x -y)a =0 .由于x、y是任意实数 ,所以 ,f(x) =-x +a .经…     

因式分解中的变换技巧

一、拆项变换例 1　分解因式 :x3- 9x 8。解 :原式 =( x3- 1) ( - 9x 9) =( x- 1) ( x2 x 1) - 9( x- 1) =( x- 1) ( x2 x- 8)。注 :本题是通过将 8拆成 - 1和 9后 ,再用分组分解法分解 ;也可将 - 9x拆成 - x和 - 8x,或将x3拆成 9x3和 - 8x3分解。二、添项变换例 2　分解因式 :x4 y4 ( x y) 4。解 :原式 =x4 2 x2 y2 y4 -2 x2 y2 ( x y) 4=( x2 y2 ) 2 -2 x2 y2 ( x y) 4=〔( x y) 2 -2 xy〕2 - 2 x2 y2 ( x y) 4=2〔( x y) 4- 2 xy( x y) 2 x2 y2 〕=2〔( x y) 2 - xy〕2 =2 ( x2 xy y2 ) 2 。注 :本题是关于 x、y的对称式 ,…     

运用构造法求最值

一、构造一元二次方程法例1 已知x为实数,求函数y=3x2+x+2/x2+2x+1的最小值. 解:将原函数解析式变为关于x的二次方程: (y一3)x2+(2y-1)x+(y-2)=0. 因为x是实数,所以△≥0. 即(2y-1)2-4(y-3)(y-2)≥0. 解得y≥23/16.     

递归数列x_(n 1)=(Cx_n D)/(Ax_n B)的周期性

A‘2 (B一c)‘一D=0称为数列{x·飞的特征方程,根为a,口,△=(B一C)“ 4AD为判别式。据〔1〕、〔2〕列出{x。}为无穷数列的条件: J一。,、B、,~C 1.AD=BC,x,斗一若,通项x。=气 ‘.--一一‘”‘’A,~一八‘’“AB一A 一 午 a 一一 X.(n)2)。 11 .AD年BC夕△=O,通项x。=a(或内(n夕     

九年级第一学期期中代数质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=12.则cosB的值为().(A)12(B)22(C)32(D)12.在函数y=xx-2-1中,自变量x的取值范围是().(A)x>2(B)x≥2(C)x>2且x≠3(D)x≥2且x≠33.当a>b时,下列不等式一定成立的是().(A)ba<1(B)ab>1(C)-a>-b(D)a-b>04.若|x|x |y|y=0,则下列结论中成立的是().(A)x、y为一切实数(B)xy>0(C)xy<0(D)xy=05.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x 3=0的所有实数根之和等于().(A)2(B)-4(C)4(D)36.若a为实数,则一元二次方程x2-ax-4=0的根的情况是().(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相…     

乘法公式的灵活运用

乘法公式是初中代数中的重要公式,灵活地运用这组公式,往往能使问题简捷迅速地获得解决。一、用于计算例1.计算19992-2000×1998。分析:若按有理数的运算顺序计算,则十分繁杂,通过观察发现2000×1998=(1999 1)(1999-1)=19992-1,于是可得简捷解法。解:原式=19992-(1999 1)(1999-1)=19992-(19992-1)=1。例2.计算(x y)2(x2-xy y2)2-(x3 y3)(x3-y3)。解:原式=〔(x y)(x2-xy y2)〕2-(x3 y3)(x3-y3)=(x3 y3)〔(x3 y3)-(x3-y3)〕=(x3 y3)·2y3=2x3y3 2y6。二、用于化简例3.化简(2 1)(22 1)(24 1)(28 1) 1。分析:注意到2-1=1,用1乘原式值不变,这样添…     

数学 第三讲 不等式

1.已知x，y，zoR ，且x y z=1，求V厄又不不 V百夕刃一 V及不「的最大值。果对于任意不同的x，，xZ。[0，1]都有.f(xZ卜f(x，)! 相似文献   

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

2002年北京市宣武区数学

(本试卷满分120分) 一、选择题(下列各题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1.在5,2.1,V了,二四个实数中,无理数的个数是 (A)l (C)3 2.计算(B)2(D)4 2x2x--y+一共尸的结果为 y一‘荡 (A)l(B)一l (C)七+y(D)x+y 3.下列计算正确的是 (A)10礴·104二l(B)(104)2=10,6 (C)(3xlo)3=9xl03(D)103·102=106 4.计算甲丁一(1一V厄-)的结果是 (A)V丁一l(B)丫丁+l 4_J、 (C)3V丁一l(p)3夕丁+l .5.在Rt△ABC中,乙叮二90”,“、瓦“分别是乙A、乙B、乙C的对边,则下列等式成立的是 (A)b二e·eosA(B)b二a·sinB (C)a=b·tanB(D)b二e·eotA 6.…     

掌握变形 快速解题

运用一元二次方程根与系数的关系解题时,常用到以下变形:,.二:,二:维.、扩一Zx .xZ;2.(x,一扩乖:+x扩一4x.年里*1_=兰竺2;4.x一xZx一%2(x.+x护一2x,乓 xlxZ掌握这些变形,可以迅速解题.例1如果,】儿是方程2x2一4x十l=0的两个根,那么五+玉的值为(尤2 xlB .3C .4 D.6解·,一2,一二x t xZ一一十一xZ xl卜.+x护一2x丙x rxZ2:一2、--l____里=6.故选几 l 例2已知关于二的方程二’+2(m一2卜十m,+4=0有两个实数根,并且这两个乏的平方和比两个根的积大21,求m的值.解…方程有两个实数根,…△=〔2(m一2)」一礴(m+4)〕0.整理并解得m感住设二二2为方稼…     

高二数学(上)期末自测题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1·不等式1x-1≥1的解集是()A·〔3, ∞)B·〔2,3〕C·(2,3)D·(2,3〕2·两个焦点是(-2,0)和(2,0),且过点P(25,-23)的椭圆方程是()A·1x02 y62=1B·1y02 x62=1C·x92 y62=1D·x62 y92=13·若抛物线y2=2px上的一点A(6,y)到焦点F的距     

重庆市第三届中学生数学竞赛试题参考解答

一、在同一坐标系里有两条抛物线y=ax~2 c和x=ay~2 c,其中,a、c为实数且-(3/4)相似文献   

第十二届“希望杯”数学邀请赛 初二 第1试

一、选择题(每小题6分,共60分)1.设x一、丁玩万一、尹丁6丽,y一弋丫l 、/百顽元一衍工万百百,则x,y的大小关系是 习().(A)x>y(B)x一y(C)x相似文献   

同时平衡法确定溶液中离子间浓度的关系

关于溶液中离子浓度的试题是化学试题中常见的〔Na 〕一a〔HCO矛〕一a一x一y〔H厂03〕一x问题,其难度正日趋增大。旧H一〕一x份十〕~y〔CO爹一〕一y 如NaZCO:溶液中存在着Na 、CO犷、HCO矛、利用上述结果验证选项(A)、(B)、(D)的正确性。OH一、H ,根据电荷守恒,则有下列关系式:(l)验证(A) 〔Na 〕 〔H 〕=2〔CO蛋一〕 〔HCO牙〕 ,〔OH一〕,左边:〔Na 〕 〔HZCO:〕=a x 另一种类型是确定溶液中部分离子(甚至包含某右边:〔HCO矛〕 〔OH一〕 旧 〕一a一x一y x 些分子)间浓度的关系,属于难度较大的间题。如在y一a‘:左边铸右…     

圆内接三角形垂心的两个新性质

定理1设△ABC内接于⊙O,H是△ABC内(或外)的点,则H为△ABC垂心的充要条件是■.证明必要性.图1以BC边所在直线为x轴,BC边上的高AO′为y轴,建立如图1所示坐标系.设A(0,y3),B(x1,0),C(x2,0),H(0,y).由BH⊥CA,BH=(-x1,y),CA=(-x2,y3),得x1x2 yy3=0,y=-x1x2y3,则H(0,-x1x2y3).设外心     

三角函数的性质

一、选择题1.已知。>0,若函数f(x)二4sin臀·。os等在区 “间〔一粤,平〕上单调递增,则。的取值范围是( J斗3一2 nU B.A.(0令〕是(C·〔号,+co)D.〔1,+co)2.函数y=cos3x+sinzx一。x(x〔R)的最大值 ). 10.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x任R,都有f(二+T)=Tj(x)成立.若函数f(x)=。in、任M,则实数。的取值范围是 1‘若!鲡登!<2,则使f(二)一sin(二+。)+cos(x一a)(x〔R)为偶函数的实数a的个数是 12.函数f(x)二}sinxl+51矿Zx+1 oxl的最大值是~8~4七云以万A扫C CC6,设阴=sinA+sinB+sinC,+cos琴,则m、。的…