二项式定理的应用

二项式定理及二项式系数的性质主要用于解决某些关于组合数的恒等式的证明,近似计算,求余数或证明某些整除或余数的问题等.     

等比数列的性质及应用

性质 1若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {}也为等比数列,公比为 .(其中 q是实常数,下同 ) 性质 2若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {kan}也为等比数列,公比为 q.(其中 k≠ 0,是实常数 ) 例 1在等比数列 {an}中,已知 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=,,求 a3. 解：设 {an}公比为 q,由性质 1可知 {}是公比为的等比数列,已知的两式又都恰是五项 . 所以得 =,① a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=.② 由①②可得 a1q2=± , 即 a3=a1q2=± . 性质 3若 {an}成等比数列,且 m＋ n=k＋ l,则 am· an=ak· al.(m,n,k,l∈ N) 性质 4若 {an}成等比数…     

{1＋1/n}^n〈3（n∈N^＊）的又一种证法

不等式{1＋1/n}^n〈3（n∈N^＊）的证明通常是利用二项式定理将{1＋1/n}^n展开，然后结合不等式的放缩技巧完成．笔发现，可以利用导数对此不等式给出一种简捷的证明，其证法如下：[第一段]     

二项式系数漫谈

在（1＋x）^n=Cn^0＋Cn^1＋…＋Cn^nx^n中取x=1就推证了二项式系数和的性质：Cn^0＋Cn^1＋…＋Cn^n=2^n．此公式应用广泛，它与其它数学内容有着广泛而又深刻的联系，本就这个问题进行一些探讨．     

微分方程组的可允许解

本我们讨论了下面一阶代数微分方程组增长级比系数高的亚纯函数解Ω1＝∑(i)a(i)(z)w^i11w^i22(w′1）^i3(w′2）^i4=p1/∑k=0bk(z)w^k1/q1/∑k=0ck(z)w^k1 Ω2＝∑（j)d(j)w^j11w^j22(w ′2)^j3(w′2）^4=p2/∑/k=0ek(z)w^k2/q2/∑/k=0fk(z)w^k2其中系系数{a(i)(z)},…，{fk(z)}均为亚纯函数，得到了方程组有可允许解的必要条件q1q2 ≤max/(i){i2 2i4}max(j){j1 2j3}。     

组合恒等式证明八法

二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式,这些等式常通过简捷的组合分析来得到证明,本文举例说明.     

一道数列高考题的进一步讨论

2007年高考数学陕西卷理科第22题：已知各项全不为零的数列{an}的前k项和为Sk,且Sk=1/2akak＋1（k∈N^n）,其中a1=1．（Ⅰ）求数列{ak}的通项公式;（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2）,数列{bn}满足bk＋1/bk=k-n/ak＋1（k=1,2,…,n-1）,b1=1.求b1＋b2＋…＋bn.     

关于Ch^k、Ch^（k＋2）、Cn（k＋4）成等差数列的探索过程

人们已发现存在无数组三个连续的二项式系数Ch^k、Ch^（k＋1）、Cn（k＋2）（n≥3,k≥0）成等差数列，并找出了通解，下面给出一个求通解的方法．     

2004年全国高考二项式定理试题分类解析

高考中二项式定理试题主要内容有：利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数。求展开式的常数项；利用二项式系数的性质，求某多项式的系数和；证明组合数恒等式和整除问题及近似计算问题考查的题型主要是选择题和填空题．多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用．下面以2004年全国各地不同考卷中的二项式问题为例，解析如下。     

二项式系数和bn(r,i)=nΣk=1(nk)i(nk-1)r-i的同余性质

利用同余理论及初等方法,探讨二项式系数和bn(r,i)=nΣk=1(nk)i(nk-1)r-i在模p下的同余性质,对文[1]的结果进行了修正并给予了简洁证明.     

一类加权Bergman位移的（n，1）-膨胀

证明{Tz1,Tz2,…,Tm,1,H^2（T^n）}是加权Bergman位移{√k＋1/n＋k}k=1^∞的极小（n,1）-膨胀。     

巧用生活中模型证明组合恒等式

证明组合恒等式,常用的方法是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,然后通过一些适当的计算或化简来加以证明.本文通过构造生活模型巧妙地证明组合恒等式.     

复数型线性递推关系列的剑散性

本给出了判别复数型线性递推关系Xn k=a1xn k-1 a2xn k-2 …＋akxn(ai为不全为零的复数,i=1,2,…，k,n=1,2,…）定义的数列{xn}敛散性一种方法。     

第50届IMO试题解答

1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥2）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．证明：n ak（a1-1）．     

一类柯西变换的罗朗系数估计

假设{Sj}j=0^m-1是由压缩映射Sj（z）=εj＋ρj（z-εj）,组成的迭代函数系（IFS）,0〈Pj〈1,｜εj｜≤1,且至少有一个εj满足｜εj｜=1,K是{Sj}j=0^m-1的吸引子,μ是支撑在K上的Hausdofff测度,最近,文献[1]中讨论了自相似测度的柯西变换F（z）=∫k（z-w）^-1dμ（w）在｜z｜〉1在内的罗朗系数．主要研究G（z）=∫k（λz-w）^-1dμ（w）在｜z｜〉1/｜λ｜（｜λ｜≥1）内的罗朗系数,得到了一些结果．     

母函数方法在解竞赛题中的运用

母函数方法的实质是将离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造的一种方法。具体地说，就是将一个有限或无限的数列{ακ}和形如f（x）=α0＋α1x＋a2x^2＋…＋ακx^k＋…的函数联系起来，构成对应关系。将其中的f（x）称为数列{ακ}的母函数或生成函数，意思是这个数列{ακ}是由多项式f（x）生成的。母函数方法一般在解组合问题中应用较多，本文将母函数方法进行推广，通过一些竞赛试题说明它在解方程（方程组）、解操作性问题、解多元求值问题、证明组合恒等式等诸多方面的应用。     

数列的凸性及其应用

定义 若实数列{an}满足 ak-1＋ak＋1≥2ak（k=1,2,…）,则称数列{an}为下凸数列,简称为凸数列．凸数列作为凸函数的离散形式,在数学竞赛中已多有出现本文对凸数列的性质作一些探讨．     

关于等差数列同等性质与性质的推广其及应用

本文主要讨论等差数列{an}性质“ap＋aq=ap＋k＋ap-k;p,q,k∈N^＊”和等差数列{an}}性质“对任意n,m,k,j∈N^＊,若有m＋n=k＋j,则有an＋am=aj＋ak”在使用上有同等的应用价值。在此等差数列{an}性质基础上推出等差数列性质的推广及其应用。     

用公式Cn^κ=n／κCn-1^κ-1解竞赛题

组合数Cn^κ也称为二项式系数，在竞赛数学中有广泛的应用，本仅讨论组合数中的一个公式Cn^κ=n/κCn-1^κ-1的证明和简单应用．     

二项式系数和b_n(r,i)=sum (n k)~i(n k-1)~(r-i) from k=1 to n的同余性质

利用同余理论及初等方法探讨二项式系数和bn(r,i)=sum (k n)~i(n k-1)~(r-i) from k=1 to n在模p下的同余性质.