忽视充要条件解题错误剖析

充要条件是中学数学教学的一个最基本而又重要的概念,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,并以此指导数学学习及解数学问题,对于加强中学数学的概念教学、掌握知识的逻辑联系、培养良好的思维品质是非常重要的.在数学教学中常发现因忽视充要条件导致解题失误的情形,今举例剖析,以引起大家的重视. 一、必要条件误作充要条件,产生增解命题A是命题B的充分条件,即命题B是命题A的必要条件,其实质是A、B具有包含关系,且A强B弱.将必要条件误成充要条件即以“弱”代“强”,扩大解集范围. 例1 已知复数z满足|Z|=1,且z~(1992)+z=1,求复数z. 错解:由条件得z~(1992)=1-z,两边取模得     

挖掘必要条件 优化解题过程

<正>数学解题常需要进行等价转化,也就是寻求原问题成立的充要条件.但有时所寻求的充要条件很繁,不便于问题求解,这个时候我们可以利用原问题的必要条件将问题简化,在此基础上再说明结论的充分性,使解题过程得到优化.一、利用必要条件简化分类讨论例1 对于定义在区间D上的函数f(x),若任给x_0∈D, 均有f(x_0)∈D, 则称函数f(x)在区间D上封闭.若函数f(x)=x³-3x在区间[a,b](a,b∈Z)上封闭,求a,b的值.解法1     

忽视充要条件解题错误剖析

充要条件是中学数学的一个最基本而又重要的概念.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,并以此指导数学学习及解数学问题,对于加强中学数学的概念教学、掌握知识的逻辑联系、培养良好的思维品质是非常重要的.在数学教学中经常发现因忽视充要条件导致解题失误的情形,今举例剖析,以引起大家的重视.　　一、必要条件误作充要条件,使解集扩大命题A是命题B的充分条件,即命题 B是命题A的必要条件.其实质是:A B,即 A强弱 B.将必要条件误作充要条件即以“弱”代“强”,扩大解集范围.例1 　已知,1≤a+b≤5,-1≤a- b≤3,求3a-2b的取值范围…     

有奖解题擂台(75)

题设a,b∈R+,且a+b=1,λ0是方程(2x-1)(x-1)-2=0的一个解,且λ0∈(1,2),证明或否定,当λ≥λ0时,1aλ+1+1bλ+1≤2λ+12λ+1,等号当且仅当a=b=12时成立.(注命题人为第一位解答正确者提供奖金50元.)有奖解题擂台(75)@郭要红$安徽师范大学数学系!邮编:241000     

例谈高中数学解题中的检验问题

<正>一、解分式方程例1在实数范围内解关于x的方程(x²+x-2)/(x-1)=0。解:因为(x2+x-2)/(x-1)=0。解:因为(x²+x-2)/(x-1)=0,所以x2+x-2)/(x-1)=0,所以x²+x-2=0,则x=1或x=-2。检验:x=1时,x-1=0,舍去,则x=-2。点评:之所以要检验,是因为在解分式方程时把分式等于零转化成了分子等于零,这是一个不等价转换,从逻辑上说后者是前者的必要条件,满足分式方程的解必满足整式     

不等价转化导致解题错误的原因探究

正数学题的求解过程,是一个等价转化与化归的过程.实质上,大多数时候,也是一个寻找充要条件的过程.在转化过程中如果忽略了等价性,往往容易导致解题出现错误,笔者总结如下:(一)误把必要条件当充要条件导致的解题错误例1解下列关于x的方程.(1)lg(10x)+1=3lgx     

利用等价变换法解题数例

解数学题时,若思路受到阻碍或无计可施,常考虑把一个命题化成与之等价的另一命题,往往可收到化难为易,化繁为简之功效,下举数例,以示说明。例1 求证:没有整数a、b、c,满足a~2+b~2-8c=6。分析:这个命题已知条件很少,不便于利用。若将其结论式等价变形成:a~2+b~2=8c+6,则问题转化为:证明没有两个整数的平方和被8除余6,至此,可由整数性质获得巧妙证明。∵任一整数都可表示成下列形式之一:4n.4n+1,4n+2,4n+3,它们的平方分别为:16n~2,16n~2+8n+1,16n~2+16n+4,16n~2+24n+9,它们被8除的余数是:0,1,4,而0、1、4中的任意两个(包括重复)之和都不等于6,故任意两个整数的平方和被8     

高中数学基础训练题（1）

集合与简易逻辑1.设 M,N是两个非空集合 ,则命题“元素 a∈M∪N”是命题“a∈M∩N”的 (　　 ) .(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件2 .如果一个命题的逆命题是真命题 ,则这个命题的否命题 (　　 ) .(A)一定是假命题(B)一定是真命题(C)不一定是假命题(D)不一定是真命题3.已知命题 p:a-|x|- 1a>0 (a>1) ,命题 q:blgx2 >1(0 相似文献   

2003年北京市中学生数学竞赛(高一)

初　赛一、选择题(每小题6分,共36分)1.a为非零实数,x为实数.记命题M :x∈{ -a ,a} ,记命题N :x2 =a有解.则M是N的(　　) .(A)充分非必要条件　　(B)必要非充分条件(C)充分且必要条件(D)既非充分又非必要条件2 .[a]表示不超过a的最大整数,则函数y =xπ- xπ- |sinx|的最大值是(　　) .(A) - 22 　　(B) 12 　　(C) 1　　(D)不存在3.已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x 5 ) =-f(x) ,当x∈(5 ,10 )时,f(x) =1x.则f(2 0 0 3)的值等于(　　) .(A) - 18　　(B) 15 　　(C) 13　　(D) - 134.满足不等式9x- 2×3x- 3≥0的x的最小实数值…     

利用指数的“换底公式”解题

命题若a、,n、,2任R ,_巨a半l,则了n 109。月=2210日d冲井(关)证明:’:109。nlog。m=loga阴109“,: 109。,nlog·”一109“n场“一 阴109。”=221oga用. 指数的这一“换底公式”貌似平凡,但据此求解一类指、对数混合问题,却有着化繁为简,化难为易之功效.例1求值7152。· 一l一2解:原式~71 吵·(=7·7,92·()l“7·211︸9︸llzA通.7= 一一一一例2若a笋1,解关于二的方程a,gr·xl““一2(a,g,十士,g‘) 3=0.解:由公式(*),得(a 19,)“一4al“工 3=o:.a‘92一一或a,g!=3 刃1=l,xZ=1010‘3经检验:x,一1,x:一1010幼均为原方程的解.例3已知:a、l,.…     

数学归纳法解题探究

<正>用数学归纳法证明数学命题时的基本步骤:(1)检验n=n_0(n_0∈N*)时成立;(2)假设n=k(k∈N*,k≥n_0)时成立,由n=k时成立推导n=k+1时成立,于是对一切n∈N*,n≥n_0,命题都成立,这种证明方法叫作数学归纳法。要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推。运用数学归纳法证明命题要分为两步,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,这两步缺一不可。     

构造一元二次方程解几何题

在解决一些几何问题时 ,对问题的结构特征进行适当的联想 ,有时可以构造出一元二次方程 ,你将会感到用一元二次方程解几何题的轻松与简单 ,现举几例加以说明 .1　构造一元二次方程 ,运用根的判别式例 1　求证 :对于任一矩形A ,总存在一个矩形B ,使得矩形A和矩形B的周长之比和面积之比都等于常数k(k≥ 1 ) .(全国初中联赛题 )解　设A、B矩形的长宽分别为a、b ,x、y .由题意知 2 (x y) =k· 2 (a b) ,xy=kab相当于原命题等价于命题“二次方程t2 -k(a b)t kab =0的有两个正实根x、y”——— (1 ) .因为k≥ 1 ,a>0、b >0 ,所以x y=k(a b) >0…     

都是不等价转化惹的祸——由于不等价变形而错解例析

解数学题的过程始终是一个不断"转化"的过程,若转化恰当,问题往往能迅速获解.若出现不等价变形转化失误,则错解自然而来.不等价变形常表现为减弱命题的条件,从而可能导致扩大解的范围,产生增解现象,或者表现为加强命题的条件,可能导致缩小解的范围,产生漏解现象.下面我们将举例剖析致误的原因并修正其错误解法.1.错把必要条件当成充要条件例1已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),若a,b的夹     

变向思维在解题中的应用

解数学题的思路是多种多样的,有常规的思维方法,也有特殊的做题技巧,但方法却有繁有简。而我们常常遇到一些题,如果按照常规思维,则道路曲折,若转换某一角度来思考,则茅塞顿开,柳暗花明。 (一)更换命题 利用等价命题来转换解题途径。两个命题互为逆否命题,则它们就是等价命题,等价命题是同真同假命题,利用等价命题这一特征,我们就可解决诸如:一命题的证明较难解答而它的等     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

一个连等式结论的妙用

利用性质“若实数x=y=z,且xyz=1,则x=y=z=1”,可妙解下列两例:例1在△ABC中,设命题p:sina B=bsin C=sinc A,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件(2005年高考江西卷(文史)试题)解必要性显然,下面看充分性.对命题p三边分母同乘以2R,得ba=bc=ac.由于ab·cb·ac=1,所以ab=cb=ac=1.即a=b=c,故充分性成立.选C.注本题用等比性质解也很简单:ab=cb=ac=ba cb ac=1,所以a=b=c.例2△ABC中,ab2cos A=bc2cos B=ca2cos C,判断此三角形的形状.解原式三边除…     

必要条件在解题中的应用

解题过程实际上是一个不断转化的过程,在转化过程中,通常要求等价转化,这样可使得到的解不至于扩大或缩小.然而,有时候寻求原问题的等价条件很难或很繁,不便于求解,此时若能利用原问题的一个较弱的必要条件求解,再作充分性验证,则能化难为易,化繁为简,提高解题效率.     

注意隐含条件 避免解题错误

一些同学在解题时往往只注重表面现象,而忽视隐含条件,因此常出现错误.以下举倒分析,以引起重视.例1 已知:=0,求3a-2b的值.错解:由(2b 5)2 |a2-9|=0解得:a=±3,b=-5/2.     

借助数轴巧解题

数轴是沟通数与形、研究数学问题的一个重要工具.巧用数轴解题,直观、简明,常能化繁为简,化难为易.下面举例说明.一、求值或化简例1已知a<0,b>0,且｜a｜<｜b｜,求｜a b｜ ｜a-b｜的值.分析:由表示字母的点在数轴上的位置,可以知道a、b的正负及它们之间的大小关系,利用这些关系,将绝对值符号去掉,然后化简.解:根据已知条件作出数轴,如图.由数轴知a>-b$a b>0,a相似文献   

正确答案掩盖下的--忽视充要条件导致解题失误

数学解题过程实际上是一个不断转化的过程,在转化的过程中,一般都要求作等价转化,这样才能使所求得的解不至于扩大或缩小.所谓等价转化,就是寻求原问题的充要条件.但笔者在教学中发现:不少学生在解题过程中,由于有时寻求原问题的充要条件比较困难,或所寻求的充要条件很繁,不便于求解.于是他们便退而求其次,利用原问题的一个较弱的必要条件或者充分条件,即利用非等价转化来进行解题.但是最后须进行等价性检验.可遗憾的是:有些学生在解题过程中经常忽视对所得结果加以检验或证明,特别是当解题答案正确时,被其所蒙蔽,从而丧失了纠错的机会,这种情况更加严重,对此,笔者以学生的错解为例,谈一些感受和认识.