两种特殊数列前n项和的性质探究

本文从简单问题入手,探讨了等差数列与等比数列的前n项和的性质.教学实践说明在平时的教学中,注意挖掘课本中的例题和习题的潜在知识与内涵,充分发挥它们在教学中的作用,有利于培养学生的创新思维和探究能力.     

等差数列前n项和的最值问题解法探究

本文对一道等差数列前n项和问题给出三种解法.第一种解法是利用等差数列的性质,等差数列的前n项和公式.第二种解法和第三种解法更加突出数列的函数性质.其中,第三种方法是在和学生的共同探究中产生的,针对学生“等差数列通项公式对应的函数“零点”与其前n项和对应的函数对称轴具有某种关系”这一猜想,师生共同探究,并发现它们之间相差1/2的规律,从而获得本文例题的第三种解法.     

中学数学过程性教学探究

过程性教学以经历、探索、体验为基础,可以呈现数学思维过程,潜移默化地培养学生的思维能力。以高中数学“等差数列前n项和”课题为例,教师可以基于过程性教学原则来进行教学设计,采用问题探究的形式,展开过程性教学,让学生经历知识的发生、发展、形成、应用四个阶段,在掌握等差数列前n项和公式的过程中,了解知识的来龙去脉,实现过程性教学目标。     

由一道竞赛模拟题引发的探究

以一道数学竞赛模拟题为切入点,展开对等差数列一系列性质的探究.主要是探究等差数列的通项公式之间的关系以及前n项和之间的关系.     

等差数列的前n项和公式教学分析

我们知道,学习一个新的概念、命题或公式,必须系统掌握才能深刻理解、灵活运用．数列的求和相对于数列的概念和通项公式,对学生来说是新的内容,思维方式有很大的不同．等差数列的前n项和公式内容又是数列前n项求和的起点和基础,因此教学中既要处理好数列求和的共性,又要突出等差数列的求和特点．     

基于双层空间理论的教学设计——以“等差数列的前n项和”教学为例

<正>"等差数列的前n项和"在高中数学中有着重要的地位,因为学生是初次接触数列求和问题,所以对于等差数列前n项和公式的推导和应用存在一定的困难.为了解决学生的困难,调动学生学习积极性,使学生获得良好的思维训练,这里,基于双层空间理论和生活化教育理论,将"等差数列的前n项和"的教学作如下设计.一、教学内容分析"等差数列的前n项和"是在学生已经学习过数列的概念与简单表示法、等差数列的通项公式之后,对等差数列性质的进一步学习.     

等差、等比数列的中间值性质及其应用

1 等差数列{an }前n项和Sn的算术平均数(Sn)/(n)叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有(Sn)/(n)=(a1 an)/(2),即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.     

2023年高考新课标Ⅰ卷数列题解法探究与变式推广

本文对2023年全国新高考数学1卷的第20题的数列题进行解法深入探究,揭示题目本质,教材寻根,得出等差数列的通项与前n项和的本质特征,并进行深入探究,挖掘高考题的作用,发挥其内在价值,以促进教学.     

利用函数思想复习数列

教学目的: 以函数思想为主线,复习等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式。借助有关函数的定义、性质、图象来解决相应的数列问题。 教学过程: 一、复习等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式,并把它们与相关函数联系。 数列就是按一定次序排列的一列数。     

等差、等比数列的中间值性质及其应用

1等差数列{an}前n项和Sn的算术平均数Snn叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有Snn=a12 an,即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.等差数列的中间值有如下两种情况:(1)当n=2k-1时,Snn=a1 2a2k-1=ak,k∈N*;(2)当n=2k时,Snn=a1 2a2k=ak ak 12,k∈N*     

性质公式a_n=S_(2n-1)/(2n-1)的妙用

性质公式适用于等差数列,现给以简单的推导、推导过程运用到等差中项性质:an am=2am n/2. 设等差数列|an|,其前n项和Sn,有那么,数列的前2n-1项之和为:     

k重叠合等比数列的通项公式与前n项求和公式

文[1]对k重叠合等差数列的通项公式与前n项和公式作了探讨,通过探究,笔者将给出k重叠合等比数列的通项公式与前n项和公式.     

正项等差数列方幂不等式

由正项等差数列若干项的方幂构成的不等式,叫做正项等差数列方幂不等式,数学教学讲到等差数列问题,很少联系不等式,为了沟通等差数列与不等式的联系,文[1]从等差数列三项的足数成等差数列出发,引出几个正项等差数列方幂不等式.本文再从等差数列三项的足数成等比数列出发,引出几个这样不等式.为了简便起见,以下规定数列{an}是公差为d(d≥0)的正项等差数列,Sn为其前n项的和,m,n,p,k为正整数,且n≠k.     

从几何角度考察等差数列

等差数列是高中代数中两个重要数列之一,深刻理解等差数列的通项公式及其前n项和公式,对我们学好等差数列并用其解决实际问题有很重要的作用.本文从几何角度来进一步考察等差数列的通项公式及其前n项和,并用它来对有关问题给以巧妙的解答.     

浅议数列求和常用方法

<正>1.公式法直接运用公式进行求和是最简单的方法,也是最基础的方法,不过公式法仅适用于等差数列与等比数列。等差数列前n项和的公式为Sn=n(a1+an)/2;等比数列前n项和公式为     

让计算机帮我们猜——记一堂数列探究课

如果数列{an}是等差数列,那么它的前n项和Sn=n(a1+an)/2.反过来,如果数列{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2,数列{an}是不是一定是等差数列呢?为了培养学生的实践能力和探究意识,我们在数学实验班引导学生用BASIC语言编程算数列的前几项,去猜测结论,探索各种证明的方法.     

问题驱动 思维发展——“等比数列前n项和公式”的教学设计与实践

<正>本文以“等比数列的前n项和公式”教学为例,基于“问题驱动、思维发展”进行教学设计,以促进数学核心素养的培养能在课堂教学中落地.一、基于“问题驱动、思维发展”的思考1.对教学内容的基本认识“等比数列的前n项和公式”是在学习“等差数列”和“等比数列概念和通项”之后学习的,是提升逻辑推理、数学运算素养的公式推导和简单应用课,属于公式教学,其中公式的探究、推导与应用,蕴含了丰富的数学思想和方法.由等差数列相关知识的学习可知,     

用好“裂项求和法”求数列的前n项和

在数列求和的基本方法中,往往在教学中教师可能更重视倒序相加法和错位相减法,而忽视了对另外的一种重要方法裂项求和法的深入探究.先来看下面的二个例子:例1求数列{1/n(n+1)}的前n项和S n.分析在求数列的前n项和时,通常需要研究数列的通项公式.该数列的通项公式为an=1/n(n+1),容易发现,这个数列既不是等差数列又不是等比数列,那么,怎样求该数列的前n项和呢?我们知道,欲求该数列的前n项和,其关键就是要探求数列的通项公式所隐含的内在规律.由于an=1/n-1/(n+1),于是,该数列的相邻的各项之间可以消去互为相反数的项,从而     

裂项相消 魅力无穷

<正>数列求和的本质就是若干项整合的一个过程,"相消"是关键,而"裂项"这一手段恰到好处.本文试对裂项相消法作如下分析.一、裂项相消法的3个基本应用用"裂项相消法"可以完成等差(比)数列前n项和公式的推导及{an·bn}型数列前n项和的求解.1.等差数列前n项和公式的推导设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.     

关于高阶等差数列的问题——从等差数列谈起

大家知道,如果数列a_1,a_2,a_3,…,a_n,…是一个r阶等差数列,那么,它的通项a_r是n的r次函数,而它的前n项的和S_n则是r+1次函数.目前一些书刊根据这种理论来讨论这个数列的通项和前n项的和时,大都是采用待定系数法,通过解线性方程组来决定其系数,最后,才能求得这个数列的通项公式和前n项和的公式.这种方法是比较复杂的.本文准备采取另外一种方法,即从最简单的等差数列(即一级等差数列)来讨论,逐步推导出二阶等差数列,三阶等差数列,直至r阶等差数列的通项公式和前n项和的公式.