一个组合问题的再探究及归纳引申

文[1]给出这样一个题目:在某次数学测验中,学号为i(i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f(i)∈{85,89,90,91,95,99},且满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为()     

一个组合问题的解法探究及拓广

问题 在某次数学测验中,学号为i(i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f(i)∈{85,89,90,91,95,99}且满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4),则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为(). A.15 B.112 C.126 D.132 此类问题常见于高三的复习资料,一般同学解这个问题多用分类讨论,即讨论"f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)"中取"="号的次数.     

一类映射与排列组合汇合问题求解规律的探究

在某次数学考试中，学号为i（i=1，2，3，4）的同学的考试成绩，（i）∈{85，87，88，90，93}，且满足f（1）≤f（2）〈f（3）〈f（4），则这4位同学的考试成绩的所有可能情况有——种．     

一个恒等式的发现

笔者最近研读了《一个组合问题的解法》(《数学通报》2007.1)后,发现了一个恒等式,现介绍如下. 例题在某次数学测试中,学号为i(i=1,2,3,…,r)的r位同学的考试成绩为f(i)∈{1,2,…,n-1,n},且满足f(1)≤f(2)≤…≤f(r-1)≤f(r),求这r位同学的考试成绩的所有可能情况的种数. 解法一:设f(1),f(2),…,f(r-1),f(r)为从{1,2,…,n-1,n}中取出的一组数,且满足f(1)≤f(2)≤…≤f(r-1)≤f(r),令f'(1)=f(1),f'(2)=f(2)+1,f'(3)=f(3)+2,…,f'(r)=f(r)+r-1,则两组数f(1),f(2),…,f(r-1),f(r)与f'(1),f'(2),…,f'(r-1),f'(r)之间一一对应,且f'(1),f'(2),…,f'(r-1),f'(r)中任意两个数不相等,为普通组合,所以满足条件的情况数有Crn+r-1种.     

对不等式sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8的再探究

在△ABC中,有一个熟知的不等式sin A/2sinB/2sinC/2≤1/8.本文借助琴生不等式给出它的几个推广. 琴生不等式 设f″(x)＜0,则 1/nn∑i=1f(xi)≤f(1/nn∑i=1xi) 即 n∑i=1f(xi)≤nf(1/nn∑i=1xi) 引理 若f(x) =sinx,x∈(0,π),则 f"(x)＜0. 定理1 在△ABC中, sinA/nsinB/nsinC/n≤sin3π/3n(n∈N*).     

一元线性绝对值函数最值的算法、程序及应用

1 数学模型f(x)=n∑i=1mi|x-ai|最值问题的讨论 对于一元线性绝对值函数f(x)=n∑i=1mi|x-ai|,其中mi＞0,i=1,2,…,n,a1＜a2＜...＜an的最值问题可以通过以下定理得出结论.     

基于映射序列在一致收敛下对Bowen拓扑熵的研究

研究了在可度量化的紧致拓扑空间X上的自映射序列{fi}在X上一致收敛于X上的自映射,的条件下fi的Bowen拓扑熵B-ent(fi)与f的Bowen拓扑熵B-ent(f)的一个关系.得到了或者存在fi,使得B-ent(f)＜B-ent(fi);或者B-ent(f)=sup1≤i＜∞ B-ent(fi).     

关于正方形序列覆盖正方形一个下界的改进

设Ai为以x^i为边长的闭正方形，其中系＜x＜1，i＝0，1，2…记f(x)为可被闭正方形序列{Ai}覆盖的正方形的边长的上确界。已知f(x)＞√2－x^2／1-x^2－2。事实上f(x)的下界可改进f(x)≥√5-x^2/4(1-x^2)－1／2。     

一类函数方程的求解——从一道奥林匹克竞赛题谈起

第28届奥林匹克数学竞赛第二有这样一道题: 求证;不存在这样一个函数试fN_0→N_0,N_0={0,1,2,3,…n,…},使得对于任何n∈N_0,有f(f(n))=n 1798, 证明,假设存在这样的函数f,记n_1=f(i),则A_1={i,n_1,i 1987,n 1987,i 1987×2,n_1 1987×2,…),显然,且n_1∈A_1(i=0,1,2,…,1986)。于是,对每一个固定的i(i∈N_0,i≤1986),存在一个k(k∈N_0,k≤1986,k≠i),使得n_i∈A_k。 若n_i=n_k 1687×m(m∈N_0),则f(u_k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(n_i 1987×m)k 1987×(m 1)矛盾。 若上_n_i=k 1987×m(m∈N_0,m≥2),则f(k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(k 1987×m)=n_k 1987×m矛盾。 故n_i=k或k 1987,若n_i=k,则n_k=f(k)=f(n_i)=i 1987,即n_k∈A_i;若n_i=k 1987,则i 1987=f(n_i)=f(k 1987)=n_k 1987,即n_k=i,从而n_k∈A,,因此,若n_i∈A_k,则必有n_k∈A_i。     

Cauchy-Stieltjes积分乘子的一个性质

讨论集合 S_(δ,k)(e~(iθ))上 Cauchy-Stieltjes 积分乘子μ_(α,β)的一个性质,得到若 f(z)∈μ_(α,β)(1＜α＜β,β- α＜δ＜1),则对于每个θ,|f'(z)|~2关于 S_(δ,k)(e~(iθ))上的面积测度是可积的．     

浅谈函数求值题目

<正>2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛里有两道有关函数求值的题目如下:(1)已知二次函数f(x)满足f(-10)=9,f(-6)=7,f(2)=-9,求f(100)的值;(2)已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1i.i=1,2,3,4,5,求f(6)的值.我的方法:设出函数解析式,结合题目条件分别列出三元一次方程和五元一次方程,解出方程,再将自变量代入所求得     

关于一般微分单项式的值分布(英文)

讨论了一般微分单项式的值分布 ,得到定理 :设 f 是平面上的超越亚纯函数 .F=fn0 (f( i) ) ni… (f( k) ) nk-c,ni≥ 1,c≠ 0是常数 ,那么 (n0 -2 ) T(r,f )≤ N(r,1F ) S(r,f )　 n0 >2T(r,f )≤ 7(i 1)i (Ni) (r,1f ) N(r,1F) ) S(r,f )　 n0 =1T(r,f )≤ 7(N (r,1f ) N(r,1F) ) S(r,f )　 n0 =0 .     

两类等式的统一证法

数学题中,有这样两类等式的证明题,一类是sum form 1-1 to n(f(i))=g(n),另一类是multiply from 1-1 to nf(i)=g(n),本文分别给出这两类等式的统一证法。 定理1 等式sum from 1-1 to nf(i)=g(n)对任何自然数n都成立的充要条件是:f(1)=g(1),f(i)=g(i)-g(i-1),i=2,3,…,n。     

一道数学联赛题的推广 弱化及变式研究

题目设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证:存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足: (1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x);     

这种解法对吗

对于题型f(x)~(1/2)＞g(x),很多参考书和许多同学在解此类不等式时都认为它等价于{f(x)≥0 g(x)＜0,或f(x)≥0,g(x)＞0,(*) f(x)＞g~2(x)．这种解法对吗?我们先看下面的例子：例题：解不等式α~2-x~2~(1/2)＞2x-α(α＞0)．解：如果按照上面的解法有：原不等式等价于     

关于较宽一类数列的通项公式

数列的通项公式揭示了这个数列的内在规律。中学教材中,对等差数列、等比数列作了重点介绍,本文想在此基础上作一些推广。首先我们定义:multiply from i=k to n f(i)=1(k>n) 定理一:在数列{a_n}中已知a_1且满足 a_n=f(n)a_(n-1)+g(n) (n=2,3,4…)则a_n=a multiply from i=2 to n f(i)+sum from i=2 to n[g(i) multiply from i=i to n-1 f(i+1)] 证明:1°n=2,右边=f(2)a_1+g(2)=a_2 2°假定当n=k时命题成立即     

利用定积分证明一类数列不等式

我们知道,单调递减函数f(x)在区间[1,n]上图1的定积分S=∫n1f(x)dx即为图1中阴影部分的面积.对于图2,图3的阴影部分的面积分别为S1,S2,则有S1=∑ni=2f(i).1,S2=∑n-1i=1f(i).1,显然S1相似文献   

高考全国理科卷1压轴题别解

首先介绍一个重要的不等式: 詹森(Jensen)不等式:若f为[a,b]上凸函数(f″≥0),则对任意xi∈[a,b],λi＞0(i=1,2,…,n),∑ni=1λi=1,有     

复合亚纯函数的亏量与增长性

本文对R．Goldstein关于复合亚纯函数的亏量与增长性定理作了正确的修正，得出：若f与g都是超越整函数，f（z）的下级λ（f）＞0，0＜λ（g）＜p（g）＜∞，且适合an（z）f(n)＋a(n-1)（z）f(n-1)＋…＋a0（z）f＝b（z），c（z）为适合T（r，c（z））＝0（T（r，g））的整函数，ai（z）（i＝1，2，…，n）是有理函数，ai（z）∞（i＝0，1，2…．n）．an（z）0，an（z）≠0，b（z）∞（若c（z））恒为常数．则b（z）c（z）a0（z）），则有δ（c（z）．f（g））＝△（c（z），f（g））＝0本文还得到复合亚纯函数的亏量与增长性其它三个结果。     

解析函数创新题的求解策略

1．“凹凸”函数(1)任取x_1,x_2∈[a,b],且x_1≠x_2,若f((x_1 x_2)/2)＞(f(x_1) f(x_2))/2成立,则称函数f(x)为凸函数．(2)任取x_1,x_2∈[a,b],且x_1≠x_2,若f((x_1 x_2)/2)＜(f(x_1) f(x_2))/2,则称函数f(x)为凹函数．例1如图所示,f_i(x)(i=1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质：“对