与抛物线有关的十种生成曲线

定理1 抛物线上任一点与平面上一定点的连线段的定比分点的轨迹仍为抛物线。 证明 不妨设抛物线方程为y~2=2px,A(x_1,y_1)是抛物线y~2=2px上的动点,B(a,     

抛物线的一类切线的参数方程及其应用

在解决与抛物线的切线有关的问题时,常取其普通方程为y~2=4ax,其参数方程取为 {x=at~2 y=2at (t为参数,t∈R),这时参数t的几何意义是y~2=4ax上与t对应的点的切线斜率的倒数。本文将在此前提条件下探讨过抛物线上的任一点的切线方程及其应用。一、过抛物线上的任一点的切线方程及其证明。定理设抛物线y~2=4ax的参数方程     

抛物线的几个常见性质及其应用

性质一抛物线标准方程y~2=2px(p>0)中,变量x的取值范围是x≥0.例1对于抛物线y~2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( )     

关于二次曲线弦的中点轨迹的范围

本刊86年第3期《二次曲线中点弦方程和弦中点的轨迹方程》一文例3“过点P(0,1)作直线与抛物线y~2=x相交,求被抛物线截得的弦的中点的轨迹的方程”的答案中说轨迹是抛物线(y-1/2)~2=1/2(x 1/2)位于已知抛物线y~2=x内且在x轴下方的那一段     

正确利用“解几”图形位置关系解题和纠错

中学各类“解几”课本封面均有下面图形,如图(1):图中双曲线(H)、抛物线(P)、椭圆(E)有相同焦参数p=b~2/a,它们的方程可统一写成y~2=2px-(1-e~2)x~2,它们有公共的对称轴、公共的顶点(0,0),但无其它交点,即常说的“双曲线、抛物线开口较大”情形。     

抛物线的一个新参数方程及其应用

文[1],[2]对抛物线的参数方程进行了较深入地研究并加以归纳总结。本文将提出抛物线的另一种新的参数方程,用它解决关于抛物线的一些问题较简捷。设P(x,y)是抛物线y~2=2px(p>0)上任一点,θ为焦半径PF和x轴正向沿逆时针方向所成的角,则以θ为参数的抛物线参数方程是: 证明:设P(x,y)为抛物线上任_一点。(如图1)以抛物线焦点F为极点,以射线Fx为极轴建立极坐标系,则在极坐标系下抛物线方程为:     

抛物线参数方程中T的几何意义

今有一题:试说明曲线方程(?)(t∈R)中参数t的几何意义。根据思考问题的方法不同,有以下两种解法。解法一:消去参数t,化题设的方程为y~2=16x,这是以原点为顶点,以x轴的正半轴为对称轴的抛物线(如图)。在抛物线上     

离心率对圆锥曲线间的影响

笔者根据多年的教学经验,发现离心率对圆锥曲线形状的影响较大,讨论这个问题时,我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来．1．椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆(x~2/a~2)+(y~2/b~2)=1(a＞b＞0)按向量(a,0)平移得到((x-a)~2/a~2)+(y~2/b~2)=1,即y~2=(2b~2/a)x-(b~2/a~2)x~2.     

一类活用焦点弦命题巧变的思考

圆锥曲线是高中数学的重要内容,而活用焦点弦诸多独特性质解决应变问题成批。例如: 1.圆锥曲线是抛物线的充要条件是焦点弦为直径的圆与准线相切。 2.已知y~2=2px的焦点弦一端过A(3,23~(1/2)),则此焦点弦方程为y=3~(1/2)·(x-1);若此焦点弦为入射光线,则其反射光线的方程如何? 3.已知抛物线的顶点是椭圆16x~2+25y~2=400的右焦点,且两曲线的公共弦过抛物线的焦点,则此抛物线方程如何?     

教你“三招”破解抛物线方程的求法

我们知道,一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,于是抛物线的标准方程共有四种形式:y~2=2px,y~2=-2px,x~2= 2py,x~2=-2py(p>0).如何选择最合适的形式是一个难题.下面教给同学们三招,以破解抛物线方程的求法,仅供参考.     

每期一题

题:从射线OB与圆x~2 y~2=2ax的交点B向Ox轴作垂线BC,C为垂足,求C在OB上射影的轨迹方程。解一:选取过定点的动直线斜率为参数。如右图,设直线OB斜率为k(k为参数),OB直线方程为y=kx, y=kx由 { x~2 y~2=2ax, x_1=0 x_2=2a/(1 k~2) ∴ { { y_1=0 y_2=2ak/(1 k~2) 则C(2a/(1 k~2),0)     

培养学生能力一例

在高中平面解析几何“参数方程”这一单元的教学中,怎样选择适当的参数或参数方程去解决解几中的一些问题是学生难于把握的内容。笔者拟把一道题目的五种解法及分析介绍如下,供参考。已知抛物线y~2=6x,过点A(4,1)的直线和抛物线交于P_1、P_2,求线段P_1P_2中点P的     

对课本中求切线方程的“判别式”法的意见

在统编高中第二册P_(150)介绍了求抛物线切线方程的初等方法。书上是这样说的:“设抛物线方程为y~2=2px,p(x_0,y_0)是抛物线上一点,我们来确定斜率k,使过点P的直线PQy—y_0=k(x—x_0)成为抛物线在P点的切线。(注意符号是笔者添的,     

1993年上海市高三数学竞赛

第一试 满分120分,只填最后的结果 1.已知x∈N,且3~(1/2)位于(x 3)/x和(x 4)/(x 1)之间。则x=_______。 2.已知抛物线y=ax~2 bx c与x轴交于不同的两点A,B,抛物线的顶点为C。若△ABC是等腰直角三角形,则b~2-4ac=_______。 3.已知方程x~2 (a-2)x a 1=0的两实根为x_1,x_2,而点(x_1,x_2)在圆x~2 y~2=4上,则实数a=_______。     

求直线与抛物线交点的一类习题的简捷解法

定理:设抛物线方程y~2=2px,若过抛物线焦点F(p/2,0),且倾斜角为α(α≠0)的直线,交抛物线于M(x_1,y_1)、N(x_2,y_2),则M、N点的坐标存在如下关系:x_1·x_2=p~2/4 ①y_1·y_2=-P~2 ②证明:过焦点F(p/2,0)且倾斜角为α的直线方程为:     

双曲线渐近线方程统一形式的妙用

<正>我们知道,双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的渐近线方程为y=±(b/a)x.一般地,还有下面的一些结论:(1)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ>0)的渐近线方程亦为y=±bax,即xa±yb=0,就是(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0.(2)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ<0)的渐近线方程亦为(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0,故双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ≠0)的渐近线方程为     

错在哪里

一、北京师大燕化附中史树德来稿题:已知 A={(x,y)|x~2+2y~2-2ax+a~2-2=0},B={(x,y)|y~2-x=0}。在A∩B≠φ的条件下,求实数a的许可值集。解:点集A即椭圆 1/2(x-a)~2+y~2=1 ①点集B是抛物线 y~2=x_0 ②由题意A∩B≠φ,将②代入①并整理得:x~2+2(1-a)x+a~2-2=0 ③方程③必有实根, ∴ 4(1-a)~2-4·(a~2-2)≥0,解得 a ∈(-∝,3/2]。解答错了!错在哪里?     

解析法证明兰勃特定理

兰伯特(1728～1777,德国数学家)定理抛物线三切线组成的三角形,其外接圆通过抛物线的焦点.证明:(1)直角坐标法如图,设 A_i(2pt_i~2,2pt_i)(i=1,2,3)为抛物线 y~2=2px 上三点,则过 A_i 三点的切线方程为:l_i∶x-2t_iy 2pt_i~2=0.由此可解出三切线的交点坐标为:     

一道解析几何题的四种解法

题目如图1所示,倾斜角为α的直线经过抛物线y~2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴     

问题解答

问:为什么抛物线没有渐近线?答:为简便计,仅就抛物线 y~2=2px(p>o)予以说明。这时 x≥o,y~2=2px 可变形为 y=(2px)~(12),由复合函数的求导法则可得：由此可见