应用柯西不等式实现“多题一解”

柯西不等式是高中数学新课程4—5的选修内容,是最著名的不等式之一,学习这一内容可以让学生领略经典不等式的几何意义及其应用,同时近几年高考各省份加大了对“柯西不等式”的考查,成了高考中的“常客”,教学中须引起重视．许多数学问题如求函数最值、不等式证明、     

例谈解析几何问题的不等式解法——柯西不等式的又一应用

柯西不等式是高中数学新课程4-5的选修内容,是最著名的不等式之一．学习这一内容可以让学生领略经典不等式的几何意义及其应用,同时近几年高考各省份加大了对“柯西不等式”的考查,成了高考中的“常客”．柯西不等式结构独特,应用广泛,在解决相关数学问题,如求函数最值、不等式证明、解三角形等方面有着自身独特的优势,尤其是涉及到具有约束条件的多元函数的最值问题．     

柯西不等式探究报告——《不等式选讲》教学札记

人教A版教材选修4-5《不等式选讲》的最后一节是"学习总结报告",要求学生谈谈学习本专题的感受、体会、看法."希望同学们通过本书的学习,在数学知识的积累、数学能力的提高、对数学的理解和认识方面都能再上一个新台阶."据此,笔者要求选修本专题的学生,就柯西不等式,以教材为依托,通过查阅资料、访问求教等方法,在共同研究或独立思考后,完成一篇探究报告.建议学生可从以下三个方面进行探究:(1)从知识链上,寻求二维柯西不等式的多种证明,并指出其几何意义及数学背景.(2)哪些证法可迁移到一般柯西不等式?     

例谈高考对《不等式选讲》的考查

《不等式选讲》作为高考选考内容之一,是对以前所学不等式内容的加强、延伸和深化,通过不等式的证明、不等式的几何意义、不等式的背景,从不等式的数学本质上加以剖析,从而提高逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.主要内容包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法.重点考查内容有解含绝对值不等式、含绝对值函数的作图及函数图象间的关系、解含绝对值不等式的参数问题以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明等,考查利用数形结合解决问题的能力.     

培养学生几何证明能力的几点体会

在数学教学中,几何证明类题目一直都是学生的弱项.针对这种情况,《数学课程标准》针对数学中的"几何证明"提出了要求,要求在对学生进行"图形与几何"的教学过程中,先要注意培养学生的几何直观和证明能力.本文结合自己多年的教学经验和对培养学生逻辑推理能力的认识,提出培养学生几何证明能力的一些体会.     

一道高考不等式证明题的几种证法

在普通高中课程标准试验教科书《数学》(不等式选讲)专题介绍了一些重要的不等式(基本不等式、柯西不等式、排序不等式)及其应用。通过一道高考数学中出现的不等式证明试题,从不同角度借助这些不等式对该题进行证明以加深对这些重要不等式数学本质的理解,可提高学生的逻辑思维能力和分析问题能力、解决问题能力。     

新课程标准下的柯西不等式教学

柯西不等式在分科式编写的老教材和实验版高中数学教材中都没有提及到,虽然在课后习题和课外练习题中偶尔能够看到它的影子,但是高中数学新课标下的教材在系列4不等式选讲中明确提出了对柯西不等式的要求:学生能够了解它的深刻的教学意义和背景,加深学生对柯西不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力.这些要求体现了在新课程标准下的数学教学中对柯西不等式的重视:一方面要关注学生数学学习水平,学习过程和数学的提出、分析、解决问题;另一方面也要关注学生个性品质与潜能的发展,培养学生数学探究、数学建模能…     

柯西不等式与学生数学思想的培养

高等师范院校数学教育专业《初等代数研究》课程中,介绍了柯西不等式。笔者通过多年教学实践及对中学生第二课堂辅导的经验,觉得柯西不等式对于培养学生的数学思维很有帮助作用。     

二维柯西不等式的多角度理解

柯西不等式原先只在数学竞赛中出现,但2003年颁布的高中数学课程标准选修系列（4—5）《不等式选讲》里,已经加进了柯西不等式,也就是说柯西不等式将成为选修学生的日常教学要求．近年,高考也相继出现试题的柯西不等式背景（比如陕西自主高考命题三年来,每年都有柯西不等式背景的题目,参见练习题1,2,3）,在中学里不再是能不能谈柯西不等式、而是如何谈好的问题了．     

柯西不等式的联想与感悟

不等关系和相等关系是基本的数学关系,它们在数学学习与研究、应用中起着重要的作用.强调不等式及其证明的几何意义及数学背景,可以加深学生对不等式数学本质的理解.以提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题能力.以柯西不等式证明为例,柯西不等式:a1,a2,b1,b2∈R,则(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).(高中实验教材(湘教版)选修4-5)教材用构造两个向量α=(a1,a2),β=(b1,b2),由cos2<α,β>≤1得(a1b1+a2b2)2(a21+a22)(b21+b22)≤1,即(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).教材又通过构造二次函     

浅析如何提升学生的几何直观能力

"几何直观"是《义务教育数学课程标准》(2011版)中新增的核心概念。教学过程中,教师可先在具体的实践操作中培养学生的几何直观思维,然后通过数形结合,发展学生的几何直观能力,最后引导学生在理解数学问题本质的过程中提升几何直观能力。     

几何直观相关概念和表现形式的文献综述

《全日制义务教育数学课程标准(2011版)》提出了十个核心概念,将空间与几何改成图形与几何。"几何直观"是重新修订后新加的一个核心概念,借助几何直观,可以帮助学生由图形的直观性更加形象地学习数学。几何直观是一种能力,不仅锻炼学生利用实物去解决实际问题,几何直观还可以对学生进行数学思想的渗透。     

柯西不等式证明过程的教学价值探微

普通高中课程标准试验教科书数学选修4—5《不等式选讲》中,通过猜想的形式引入了一般形式的柯西不等式：     

“柯西不等式与排序不等式”的内容分析及教学建议

《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称新课标)选修系列4-5"柯西不等式与排序不等式",它相对于原《全日制普通高级中学数学教学大纲》是新增内容.这部分知识是在学生完成必修系列课程学习的     

几何直观培养之养成画图习惯分析

在《课程标准(2011年版)》中有如下的规定:"几何直观指的是通过图形的描述以及分析有关数学的问题"。通过几何直观,可以将较为繁杂的数学问题进行简化,这样就可以帮助解决问题,预测结果。几何直观指的是通过图形对数学对象的含义进行描述,但是也不能将直观手段认为是几何直观。在数学的学习中,几何直观必不可少,不管是计算,还是概念,又或者是解决数学问题,都能够利用直观来帮助学生理解数学知识。人们都知道,数学是一门抽象的学科,在传授知识的时候应该重视培养教育者的直观能力。从学习新课标的过程中,应该充分的结合实践,在教学的过程中应该重视培养学生的几何直观能力,通过画图能力,提高学生的数学理解能力,提高他们的兴趣,最终使得学生可以得到很好的数学教育。     

浅谈学生几何直观能力的培养

几何直观是《数学课程标准(2011年版)》提出的十个核心概念之一,是借助图形的直观,促进学生把"数和形"结合起来考虑,从而达到渗透"数形结合"的数学思想。在数学课程中,几何课程的价值不仅仅是能培养学生的逻辑推理能力,它也能培养学生的几何直观能力。教师在几何内容教学中不仅要重视几何直观,在整个数学教学中都应该重视几何直观,将培养学生几何直观能力贯穿于数学课程的始终。我结合自己在教学实践中的经历与探索,进行了一些初步思考。     

封面数学家简介：

柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-1857)法国数学家,19世纪前期世界数学领袖人物,柯西是仅次于欧拉的多产数学家,发表论文800篇以上,其中纯数学约占60%,几乎涉及当时所有的数学分支,数学物理(力学、光学、天文学)约占35%,很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼,如柯西不等式、柯西积分公式等。其主要成果是:研究代换理论;证明了费马关于多角形数的猜测;用复变函数的积分计算实积分;建立了微积分的基础极限理论,还阐明了极限理论;研究复平面上的积分及留数计算,并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等;研究了复变函数的级数展开和微分方程(强级数法);开创了积分几何,在代数方面首先明确提出置换群概念;独立发现了格拉斯曼的外代数原理。柯西出版的著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。     

“几何直观”在小学数学教学中的运用

随着《数学课程标准》(2011版)提出培养和发展学生的几何直观能力,几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题,几何直观在数学的学习中的重要地位和意义正如弗赖登塔尔所说:"几何直观可以告诉我们什么是重要的、有趣的和容易进入的,当我们陷入问题、观念、方法的困扰时,几何可以拯救我们。"     

小学数学“几何直观能力”培养初探

几何是数学的重要组成部分,而几何学习的好坏和学生的"几何直观能力"直接相关,在《义务教育数学课程标准》中明确要求,要着重提高学生的几何直观力,要求教师在教学中进行直观教学。几何图形是看得见、摸得着的,在一些问题中却也是需要想象的。让学生更多地接触真实的图形,从而能快速地在脑海中想象假想图形,做到数形结合,更好地培养学生的直观力。从小学数学的教学角度出发,初探如何培养"几何直观能力"。     

用柯西不等式巧解2013年高考题

普通高中课程实验教科书数学A版选修4—5《不等式选讲》介绍了柯西不等式：