集合论的思想方法在中学数学中的作用

集合概念是数学中最基本、最普遍的概念, 具有高度的概括性和广泛的应用性．十九世纪晚期,德国数学家康托首先系统地研究了集合理论．今天,离散数学、连续数学以及绝大多数数学分支都以集合论的知识为基础,中学数学也不例外．集合语言简洁、表达直观,集合论的思想     

高中数学课程标准实验教材分析 第一章 集合

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的,集合语言是近现代数学的基本语言之一.利用集合语言可以简洁、准确地表述数学内容.高中数学课程只将集合作为一种语言来学习.     

康托与集合论的创立

乔治·康托——超穷集合论的创立者,是数学史上最富想象力和创造力的数学家之一。因为他发明的超穷数理论从根本上背离了当时数学中关于超穷数使用和解释的传统,从而引起了当时学术界的激烈争论乃至严厉谴责,为了集合论的创立他耗尽了毕生心血。集合论的创立在数学史上具有划时代的意义,它是现代数学诞生的标志,是现代数学的基础。     

关于“集合与映射”的几个问题

集合论是 19世纪末到 2 0世纪初以康托为代表的一批数学家创立的一门数学理论 .今天集合论本身已经进行了很深入的研究而且仍有勃勃生机 ,更为重要的是 ,集合论已经担负起了为整个数学提供基本语言的重任 ,因此 ,集合和映射的概念及其最基本的性质被写进了我国的中学课本中 ,这样将使得中学课本中的许多内容有了一种区别于传统表达方式的集合论表达方式 .老实说 ,集合论这部分内容比起中学阶段其他内容要容易得多 ,而且基本上无须特别的技巧 .但由于这一部分内容比较新 ,涉及的概念比较抽象 ,所以给教和学两方面都带来了一些问题 .本文的目…     

著名大学自主招生集合问题分类赏析

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的,是数学的一个基本的分支学科.集合论在数学中占有独特的地位,它的基本概念已渗透到数学的大多数领域.集合语言是现代数学的基本语言,用集合语言可以简洁、准确地表达数学内容.集合论的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.近几年来,各地著名大学的自主招生考试中涌现出了一批与集合相关联的题目,它们新颖别致、思维灵活,有效地考查了考生的数学素养.     

实数系中连续性的七个等价命题

实数在数学中是一个重要概念。在中学数学教材中给它下的定义是:有理数和无理数统称实数。那么何谓无理数?这在中学数学教材中是用否定形式来定义的,即:不是有理数的实数称为无理数。这对我们认识无理数无多大的帮助。其实要真正回答什么是无理数并不是一个简单的问题。它的严密回答,直到十九世纪后半,才由戴德金、康托等人得到。他们都是以有理数为基础得到无理数理论的,从而完成了实数构造理论。值得一提的是戴德金实数构造和康托实数构造是不同的,这两种构造都以有理数为基础,但戴德金实数是从数域的连续性要求出发用有理数分割来建立实数,     

集合论观点下的一类恒成立问题的辨析

集合论是19世纪德国数学家康托（Cantor）创立的，现在已发展为独立的数学分支，其基本概念与方法已渗入到数学的各个领域，成为现代数学的基石．对于含有存在量词的存在性问题与含有全称量词的恒成立问题，本文试用集合论的基本概念与方法对恒成立进行辨析，挖掘这类问题的数学本质，让其思想更深刻，形式更简约．     

数学基础学派中的逻辑主义

十九世纪末,为了寻找数学的基础,数学家康托创立了著名的集合论。然在随着一系列悖论的发现,尤其是罗素悖论的发现,使得刚刚建立起来的令数学家激动的现代数学大厦的基础又发生了崩塌(第三次数学危机),引发了当时数学界关于数学的(哲学)基础的一场大辩论,并由不同的哲学观点而产生了逻辑主义、直觉主义及形式主义的三大学派。本文只就罗素、怀特海为代表的逻辑主义观点作些粗浅     

逻辑数学悖论及其解决

逻辑--数学悖论是指仅借助于逻辑和数学的符号而得以构造的悖论.从历史发展看,其主要是指布拉里--福蒂(Burali-Forti) 悖论,康托悖论和罗素悖论,它们分别是在1897、1899及1902年提出的.逻辑--数学悖论的出现,明确地表明素朴集合论中包含有逻辑矛盾.解决逻辑--数学悖论,必须对康托的素朴集合论加以限制,特别是必须抛弃前面所提到的概括原则.按策梅罗的研究成果,只须对公理适当地加以选择,就可做到既能使新建立的集合论能成为数学的基础,同时又能确保新的理论不会导致悖论.     

康托的数学哲学思想

集合论的奠基者乔治·康托(G.Cantor)1845年生于俄国的彼得堡,后来移居德国。他凭借丰富的想象力和非凡的创新精神所描绘的无穷世界的图景令19世纪的整个数学界感到震惊,而他的数学哲学思想也有着深刻的影响,正如朱得因(P.E.B.Jourdain)在为康托所著《超穷数论奠基贡献》一书所作的序言中指出的:“直接影响着现代纯粹数学,同时又影响着现代逻辑和哲学的最值得称道的数学家是魏尔斯特拉斯、狄特金和乔治·康托。”“由康托的工作所引起的哲学革命的影响恐怕远远超过由此而引起的数学     

单调有界定理的康托实数定义之证明

根据实数的康托定义，证明了实数的完备性定理之一──单调有界定理。     

论几何学与集合论的相似关系

几何学与集合论虽是数学领域中两个截然不同的学科,但是它们的产生都是为解决悖论而形成的。人们对平行公理和选择公理的态度都表现为:怀疑。对公理的试图证明,又类似地建立了对应的非欧几何学与非康托集合论的新领域。     

基于格图像的康托分维与泛逻辑运算

康托集作为集合论中一个重要内容,在整个数学研究中有着非常重要的作用,它能使许多问题迎刃而解.康托集构造与格图像分维关系很密切.在经典的逻辑系统中,只考虑集合的测度大小,而忽略了它在参考空间中的几何位置.而在泛逻辑中,实际问题中的位置关系会影响二者的逻辑运算结果.本文介绍了格图像的相关概念,并利用格图像来研究康托集的分形特点,在此基础上做出康托集的泛逻辑运算.     

论序数及连续统的可数性与正则公理

在前期一系列论文及著作中([2][4][5])对实数集(连续统)的可数性、康托对角线法等问题充分讨论的基础上,对序数的可数性问题进行分析,并由此引出对ZFC公理系统中的正则公理(基础公理,限制公理)的讨论。对与斯梅尔第18问题密切相关的哥德尔定理进行了分析,得到全新结论。提出实数的一进制表示法并在此基础上讨论康托对角线法的局限性问题。     

康托关于实数集合不可数的证明和康托定理S^=〈P（S）^=的证明是错误的

分析了康托的实数集合不可数证明及康托定理(S=)<(P(S)=)证明与罗素悖论之间的本质性联系,发现它们与罗素悖论有完全相同的思路,但是康托犯了两个逻辑性错误而使他这两个证明成了罗素悖论的两种翻版.得到明确的结论:康托这两个证明中的思路与做法是错误的.     

实数理论的建立

数学史上出现过三次数学危机,并且,第三次危机直到现在都没有完全解决,这都是由于某些数学知识的逻辑基础不甚牢固引起的.因此,千百年来,数学家们都在为整个数学大厦寻找一个可靠的逻辑基础而不懈努力.然而分析的算术化,是以实数为基础的.如果不弄清实数的本质,不给实数一个明确的定义,建立实数的大小、运算等理论,数学中的许多知识将无法彻底弄清,如微积分中的连续函数的性质、柯西收敛准则的严格证明等.这就使得数学家们加快了建立实数理论的步伐.     

无理数经典案例,精彩课堂教学

无理数是实数的重要组成部分,无理数是数的概念又一次扩充,无理数概念是数的概念的重大突破.无理数理论是实数理论建立的基础.始于公元前古希腊时期的无理数,历经两千多年人们才认识到无理数特点,由无数的数学家才构建起实数理论.无理数艰难形成过程表明,无理数概念是数的教学难点之一.中学无理数教学是从平方术求根、勾股定理与斜边计算、黄金比与审美、圆周率与     

超穷归纳法原理的推广

数学归纳法在中学数学中的作用和重要性,我们都已相当清楚,随着科学的发展,人们对数的认识不断深入,数概念不断拓广,十九世纪末,二十世纪初许多著名的数学家开始对数进行深入而系统的研究。首先是 Cantor 创立了集合论,随后是 Dedekind 等人提出了实数理论,再后是 Hilber 提出了著名的连续统假设,……,作为这些辉煌理论的一个强有力工具——超穷归纳法应运而生。超穷归纳法不同于自然数集上的归纳法,它是建立在整序集上的归纳法,是自然数集上的数学归纳法的推广。     

极限思想对无理数的建构

在严格的实数理论建立之前,人们曾直观地将无理数看成是无穷有理数序列的极限,但这在理论上是存在缺陷的.19世纪后期,德国数学家戴德金、康托尔、魏尔斯特拉斯先后创立了各自风格鲜明的实数理论.戴德金的核心思想是对连续性直线的"截断"或"分割";康托尔则严格地以有理数基本序列构建了无理数;巴赫曼以魏尔斯特拉斯的思想为基础,用区间套对实数作出了定义.20世纪的数学家们,则以公理化思想为基础,建立了公理实数论.     

与自主招生相关的几道集合题

十九世纪,德国数学家康托建立了集合的理论．作为一种数学语言,一种基本数学工具,集合的用途很广泛．目前,集合的理论和方法已渗人到数学的各个分支．对于集合知识的考查,一直是各级各类数学竞赛的热点,在近几年的各高校自主招生考试中也多有涉及．本文分类列举几例,以飨读者．