关于“可得”与“不可得”无限——与张伟平商榷

张伟平对文[2]中提及的关于可得无限与不可得无限的层次区分概念存在十分严重的错误理解.这种错误的理解会在数学教学中引起混乱.要正确解读康托(Cantor)(其实是由多宾斯基(Dubinsky)命名)的所谓可得与不可得无限的本来含义,不应忽略近现代数学、逻辑,尤其是集合论的发展及其对数学研究对象描述方式的影响.     

数学基础学派中的逻辑主义

十九世纪末,为了寻找数学的基础,数学家康托创立了著名的集合论。然在随着一系列悖论的发现,尤其是罗素悖论的发现,使得刚刚建立起来的令数学家激动的现代数学大厦的基础又发生了崩塌(第三次数学危机),引发了当时数学界关于数学的(哲学)基础的一场大辩论,并由不同的哲学观点而产生了逻辑主义、直觉主义及形式主义的三大学派。本文只就罗素、怀特海为代表的逻辑主义观点作些粗浅     

康托与集合论的创立

乔治·康托——超穷集合论的创立者,是数学史上最富想象力和创造力的数学家之一。因为他发明的超穷数理论从根本上背离了当时数学中关于超穷数使用和解释的传统,从而引起了当时学术界的激烈争论乃至严厉谴责,为了集合论的创立他耗尽了毕生心血。集合论的创立在数学史上具有划时代的意义,它是现代数学诞生的标志,是现代数学的基础。     

部分等于全体?

康托尔(G.Cantor 1845—1918)是德国著名的数学家,集合论(现代数学的一个分支)的创始人。他肯定了无穷数的存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础。尽管康托尔当初提出的数学观点,曾引起数学界保守势力的巨大争议和激     

浅谈波利亚的教育思想

乔治·波利亚(George Polya 1887—1955)是当代深孚众望的美籍匈牙利数学家,数学教育家、数学题解方法论的开拓者。他曾经举办了延续多年相当于国际数学奥林匹克的斯坦福大学数学竞赛。他在实变函数、复变函数、概率论、组合数学、数论、几何、微分方程等若干领域都做出了开创性的贡献。他在理论上的造诣和贡献可以与二十世纪数学界最有影响的法国人庞加莱(Poincare 1854—1912)和德国的康托     

逻辑数学悖论及其解决

逻辑--数学悖论是指仅借助于逻辑和数学的符号而得以构造的悖论.从历史发展看,其主要是指布拉里--福蒂(Burali-Forti) 悖论,康托悖论和罗素悖论,它们分别是在1897、1899及1902年提出的.逻辑--数学悖论的出现,明确地表明素朴集合论中包含有逻辑矛盾.解决逻辑--数学悖论,必须对康托的素朴集合论加以限制,特别是必须抛弃前面所提到的概括原则.按策梅罗的研究成果,只须对公理适当地加以选择,就可做到既能使新建立的集合论能成为数学的基础,同时又能确保新的理论不会导致悖论.     

基于格图像的康托分维与泛逻辑运算

康托集作为集合论中一个重要内容,在整个数学研究中有着非常重要的作用,它能使许多问题迎刃而解.康托集构造与格图像分维关系很密切.在经典的逻辑系统中,只考虑集合的测度大小,而忽略了它在参考空间中的几何位置.而在泛逻辑中,实际问题中的位置关系会影响二者的逻辑运算结果.本文介绍了格图像的相关概念,并利用格图像来研究康托集的分形特点,在此基础上做出康托集的泛逻辑运算.     

康托、高斯和欧拉之简介

在全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上)第4页,第115页和第一册(下)第22页中分别有三位数学家的画像。为了方便师生对这三位数学家的了解,本文就他们作一简单介绍。1康托(Cantor,G.F.P)康托于1845年3月3日,生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。1856年,年满12岁的康托和父母一起迁到德国的     

学习数学关注哲学思想

人的活动总是受其自身的世界观和哲学思想所影响甚至所支配,在科学研究与教学活动中也不例外,这方面事例十分丰富.本文例举作者数学教学感受与反思中的三点:(1)哲学研究十分看重与依赖数学成果;(2)对数学许多问题的认识应有哲学作为指导;(3)数学对"无限"研究成果是对哲学的重要贡献.恭请大家指教.     

论现代数学哲学的发展及其教育意义

数学哲学对数学教育有着深刻的影响。首先回顾了数学哲学的发展 ,明确了现在数学哲学中的数学观由绝对主义向可误主义的转变 ,接着论述了数学哲学对数学教育诸方面所产生的影响 ,最后列举了新的数学观点对现代数学教育的影响。     

高中数学课程标准实验教材分析 第一章 集合

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的,集合语言是近现代数学的基本语言之一.利用集合语言可以简洁、准确地表述数学内容.高中数学课程只将集合作为一种语言来学习.     

对"中国现代数学起源于肇庆"命题的若干思考

利玛窦具有很丰富的数学知识背景,他以他的数学才能和语言天赋,在中西方数学文化融合方面做出了杰出的贡献,对中国近、现代数学的萌芽与发展产生了深远影响.利玛窦在肇庆既传播了欧氏几何,也传播了“非欧几何”.他所传播的“西方现代数学”及其所获得的效应,确立了他以数学来赢取中国民心的学术传教思想,为他后来在中国系统地传播“西方现代数学”奠定了坚实的基础.利玛窦与中国士大夫合译了许多西方数学名著,不仅引入了新的数学体系,而且引入了新的数学思想和方法(包括几何公理化思想),使中国传统数学焕发出了生机与活力,开创了中西方数学文化融合的纪元,推动了中国近、现代数学与数学教育的萌芽和发展.     

现代数学的哲学思考

从哲学的高度分析现代数学的本质特征,可以发现:恩格斯关于“数学是什么”的论断并未过时.21世纪的哲学家学习现代数学,数学家学习哲学,对于数学与哲学的发展都是重要和必要的.当前我国大学的现代数学教育存在以下几个误区:大学数学专业开设的现代数学课程课时太少;面对现代数学课程难教难学等困难,一直把学习现代数学思想当作了解现代数学的捷径;现代数学与哲学的教育脱节.     

达朗贝尔的混合数学观及其对概率论的批评

在18世纪的西方数学史中,法国数学家、哲学家达朗贝尔是最重要的代表人物之一,在其数学生涯中,达朗贝尔将哲学的批判、分析和审视等功能融贯于其数学研究中,为了克服传统数学的形而上学特性与其应用的有效性、合理性之间的矛盾,他致力于重建从起始原理(公理)到整个体系的所有命题都具有经验性的混合数学(Mixed Mathematics).达朗贝尔所秉持的混合数学观直接影响了他的数学实践,尤其是影响了他对当时新兴的概率论这门"关于猜测的艺术"的看法.达朗贝尔将概率论归属于混合数学的范畴之下,但因古典概率论未能满足数学推论结果与经验现实的逼真性这一混合数学的判定标准而导致了他对这门新兴学科的尖锐批评和质疑.     

康托关于实数集合不可数的证明和康托定理S^=〈P（S）^=的证明是错误的

分析了康托的实数集合不可数证明及康托定理(S=)<(P(S)=)证明与罗素悖论之间的本质性联系,发现它们与罗素悖论有完全相同的思路,但是康托犯了两个逻辑性错误而使他这两个证明成了罗素悖论的两种翻版.得到明确的结论:康托这两个证明中的思路与做法是错误的.     

数学与哲学结伴而行

自从有哲学以来,数学就成为哲学问题的一个重要来源,为哲学的思考与发展提供了丰富的实践环境.古希腊的许多大哲学家,多数是大数学家.在他们眼里,数学与哲学是同宗同源的.翻开西方数学史或哲学史,人们会发现一个有趣而重要的现象:西方数学与哲学有着千丝万缕的联系.这种联系不但渊源流长,而且绵延至今.如西方第一位哲学家泰勒斯是数学家;著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题;大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在,由此产生了数学上的“柏拉图主义”……进入20世纪,围绕着数学基础研究所产生的三…     

罗素数学哲学“映射”概念分析纲要

罗素在一系列数学哲学论著中,特别是他的《数学哲学导论》中,通过论述映射问题,试图解决传统数学中存在着的在处理数和数序时"无限"和"有限"的矛盾.本文分析罗素解决这一问题的方式及在哲学上这种解决方式可能带来的影响.     

关于欧几里得几何,他们如是说——夜读札记

我国当前的中学教育改革使得“应该如何看待几何课程”又一次成为数学教育界乃至数学界的共同议题.本文所摘记的一些当代学者有关言论希望有助于这—场议论的深入开展.文中冠有“注”字的言语都是笔者所加的.罗素(《我的思想发展》,载《哲学译丛》杂志1982.4,p.56):十一岁时,我生活中的一个重大事件就是开始学习欧几里得几何,它在当时一直是公认的教科书.当我发现欧儿里得是从不证自明的公理出发时,起初感到失望,后来便在他那里得到了极大的乐趣.我童年的大部分时间,数学引起了我的主要兴趣.这个兴趣是多重的:它既包含着我为自己能具有某种…     

中国近现代数学教育的文化价值观研究

中国近现代数学和数学教育发展的史学研究越来越受到广大学者的重视.从文化传统的视角看待中国近现代数学和数学教育发展,可以得出如下思考:(1)数学史的教育中应突出中西数学的文化差异以及这种差异对数学家成长造成的影响.(2)数学教育应当加强数学哲学方面的研究和教学.(3)数学教育应当加强数学文化方面的研究与教学.     

杜威教育思想的价值性问题

约翰·杜威(J.Dewey 1859—1952)是美国实用主义哲学的主要代表人物。在近代教育史上,他以实用主义的教育论述著称于世。杜威的教育学说,是现代西方教育中理论最为系统、影响最为广泛、争议也是最多的。可以这样说,现代西方各个教育流派所讨论的问题,很大部分都是同杜威所提及的问题联系着的,只要“教育上有争议的地方,他都从不放过。他的教育理论涉及问题的广泛性和深刻性,在西方教育史上是无与伦比的。”①但是人们对杜威教育思想的评价历来众说纷纭,莫衷一是。