复合函数单调性结论的推广及应用

本文将推广关于复合函数单调性的结论,并得到用换元法来解决较为复杂函数的单调性的一般方法．关于复合函数的单调性,大家已熟悉如下结论:若y=f(x),x=g(t),x∈[m,n],t∈[a,b]都是单调函数,则复合函数y=f[g(t)]也是单调函数,并且当外层函数y=f(x)在[m,n]上为增     

换元要注意等价性

换元法是中学数学中常用的解题方法,利用换元法时,要注意代换的等价性,本刊90年9期《某些特殊类型代数函数极值的求法》一文例3、例4换元有误,勿视了换元的等价性,不妨把原文抄摘如下: 例3 已知x~2-y~2=36,求函数f(x,y)=2/x~2 y/9x 1的极值。     

例说换元法的简化功能

换元法是用“整体变量”观念将复杂变量用新的变量代换 ,达到“化繁为简 ,化难为易”的目的 .常见的换元转化方式有 :分式向整式 ,无理向有理 ,超越向代数 ,以及函数、三角、几何、复数等的互化 .下面就换元法的作用分类说明 .一、换元法求外层函数由复合函数知 ,外层函数由对应法则和定义域构成 ,且定义域为内层函数的值域 .换元后一定要对新变量求范围 .例 1　函数 f ( x)满足 f ( x2 - 3) =lg x2x2 - 6 ,判断f ( x)的奇偶性 .简析 :本题实质是换元法求外层函数 ,设 u =x2 - 3,由题设知 x2 - 6 >0 ,则 u =x2 - 3=( x2 - 6 ) +3>3,解出 x2 …     

换元法在一类绝对值不等式中的运用

证法1从函数单调性入手，进行分类讨论，推理过程较为复杂．证法2使用了换元法．取函数定义区间[-1，13内两端点及区间中点函数值f（-1），f（1），，（0），     

函数单调区间的无“病”之“并”

<正>1细研教材,"病源"寻根高中阶段函数单调性的研究可以追溯到教材《必修1》第1.3.1节单调性与最大(小)值和《选修2-2》第1.3.1节函数的单调性与导数.《必修1》第1.3.1节单调性与最大(小)值中的探究活动:画出反比例函数y=1x的图象.(1)该函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.探究过程不再赘述,但据此很多教师强调说明:单调区间是函数的局部概念,是定义域的某个子区间,如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用"∪"连接,而只能用"逗号"或"和"字隔开,否则答案就有"毛病".《选修2-2》第1.3.1节函数的单调性与导数中,教材示例利用导数研究单调性采用的是解     

竞赛常用知识手册

2 函数 2．1函数的值域（或最值）的求法 求函数的值域可利用函数的单调性或配方法、判别式法、反求法、换元法、不等式法、图像法、导数法等．     

函数单调性的判断与定义证明

单调性是函数重要的性质,判断函数单调性应看函数的图象.从左向右,若图象上升,则函数递增;若图象下降,则函数递减.用定义证明函数单调性的方法是作差比较法,要在证明的区间内设任意x10;(2)a<0.(此题为高中课本习题)分析:投石问路,取a=1时,函数y=x3的图象如右图,观察图象知,在R内x增大y增大.猜测当a>0时,函数y=ax3在R上是增函数.(1)证法1:设任意-∞相似文献   

换元法在解题中的灵活应用

一、用换元法求函数的解析式 例1 已知函数f（1-cosx）=sin^2x,求f（x）。 解：令1-cosx=t,t∈[0,2],     

函数图像和性质应用中的误区警示

误区1 换元法求函数解析式时忽略新变量范围的讨论 例1已知f(√x+1)=x+2√x,求函数f(x)的解析式. 错解:令t=√x+1,则√x=t-1,x=(t-1)2. 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, f(x)=x2-1. 辨析:因为f(√x+1)=x+2√x隐含着定义域是x≥0,所以由t=√x+1得t≥1,f(t)=t2-1的定义域为t≥1,解析式应为f(x)=x2-1(x≥1). 警示:换元法求出的为外层函数的解析式,它由对应法则和内层函数的值域构成,为此引入新变量要对内层函数求值域,这个值域就是所求函数(外层函数)的定义域.     

利用单调性求两个函数的值域

本刊94年第10期P34《用圆锥曲线和直线系求无理函数值域》一文中的例1和例4利用函数的单调性求解更为简捷。 例1 求函数y=x-(1-2x)~(1/2)的值域。 解 函数的定义域为x≤1/2很显然y=x-(1-2x)~(1/2)是单调递增函数:(x≤1/2)。     

f(x)=f~(-1)(x)f(x)=x?(高一、高三)

在本刊第3期《用函数单调性解非函数题》一文中,有这样一个结论: 若函数f(x)在区间I上是单调函数且存在反函数,则f(x)=f-1(x)<=>f(x)=x. 下面用它来解两道题. 题1 两抛物线弧y=√7-3x,x=√7-3y的交点有( )个.     

用换元法求解y=f（x）/g（x）的最值

形如y=f（x）/g（x）的最值问题,以分子、分母为一次和二次的居多,若用单调性求解,比较繁琐,下嘶介绍换元法解决此类问题的方法．     

运用“添绝对值”解题

在解含有绝对值的不等式时,通常我们去掉绝对值再求解,但在有一些问题中,添加绝对值也会取得求解的途径。下面给出两个例题加以说明。例1 求函数y=sinx+Z/sinx的值域。分析:在定义域x≠kπ(k∈Z)内,用“均值不等式”或用“函数的有界性”求此函数y的值域,均难奏效;若用“换元法”令t=sinx,则y=f(x)=t+Z/t,t∈E[-1,0)∪(0,1],转化由函数y=f(t)的单调性求值域,计算过程冗长;但由y=(sin~2x+2)/sinx两边添上绝对值,则可用“均值不等式”简明解出。解:由y=(sin~2x+2)/sinx得     

如何利用导数研究函数的单调性

<正>知识点:导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,则y=f(x)在该区间为增函数;如果f'(x)<0,则y=f(x)在该区间为减函数。(2)函数单调性问题包括:(1)求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;(2)利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法。一、求解含参函数的单调区间     

"换元法"应用举例

“换元法”是一种重要的数学思想方法,形式多种多样,也是解题中常用的转化策略,下面举例说明如何用“换元法”解决数学问题。一、式子换元1、局部换元例1、分解因式(x2 x 3)(x2-6x 3) 12x2解:设x2 3=y,则原式=(y x)(y-6x) 12x2     

导数在解决数学问题中的应用

数学新教材新增加了导数,把导数作为解决数学问题的一个新的重要工具,不仅有 利于学生加深对导数概念的理解,而且有比 传统更加简捷的方法. 1 讨论函数的单调性 过去讨论函数的单调性时,主要根据增、 减函数的定义来讨论,而现在学习导数后可 以利用函数的一阶导数的符号来讨论. 例 1 证明函数 y = 在(?∞,0)、(0, ∞) 1 x上是减函数. 证法一 (定义法) 设 x1 > 0,x2 > 0且 x1 < x2 则 f (x1) = , f (x2) = 1 1 , …     

培养解题能力——探索函数的单调性

一、利用零点法判定函数的单调性 在函数f（x）的定义域内（或指定区间上）任取x1〈x2,作差f（x1）-f（x2）并因式分解变形,记其中关于x1,x2且不能确定符号的式子为g（x1,x2）,然后令g（x1,x2）=0,且x1=x2=x0,从中解出x0,x0是函数f（x）的单调区间的端点,然后就可以利用单调性的定义确定函数的单调区间及单调性,下面举例说明。     

精析用换元法求函数值域

值域是函数的三要素之一，它由函数的定义域及对应法则唯一确定．但在具体问题中，如何求函数的值域还有方法问题．常用的求函数值域的方法有：配方法、反函数法、判别式法、换元法、单调性法、不等式法、数形结合法等．本文将着重介绍用换元法求函数值域．     

新教材中一道例题的错解诊断

2006年人教版《普通高中课程标准实验教科书数学4》第44页例5如下:求函数y=sin[1/2x π/3,x∈[-2π,2π]的单调递增区间.教科书上的解答为:分析我们可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.解令z=1/2x π/3,函数y=sinz的单调递增区间是-π2 2kπ,2π 2kπ.由-2π 2kπ     

巧借数形结合 回避繁琐讨论

例1已知函数f(x)=|x|/(x+2).(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明;(2)如果关于x的方程f(x)=kx~2有四个不同的实数解,求实数k的取值范围。分析若用分类讨论法求解第(2)问,