对一个猜想不等式的进一步探究

本刊文［1］提出了一个猜想：设a、b、c是正实数,m、n是正整数,且m≤n,则am（b＋c）n＋bm（c＋a）n＋cm（a＋b）n≤2n（a＋b＋c）m＋n3m＋n-1．
　　文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
　　最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题．     

分堆问题

1问题提出将n个不同元素分成m堆(每堆至少一个,各堆个数可以不相等)(n,m∈N*,nm),问有多少种分法?分析很显然,如果问题中的n,m比较小,应用排列、组合原理,结合典型分堆(或分组)问题的     

分式拆项技巧归纳

学习了分式的加减运算,我们可以验证以下等式的正确性,即m+n/mn=1/n+1/m,1/n（n+1）=1/n-1/n+1,m/n（n+m）=1/n-1/n+m,2/n（n+1）（n+2）=1/n（n+1）-1/（n+1）（n+2）,n/2ⁿ=2（n+1）-（n+2）/2ⁿ=n+1/2^n-1-n+2/2ⁿ.熟练运用以上恒等式及平方差公     

利用二分法求方程的近似解

知识点一:两个重要结论结论1:如果二次函数f（x）=ax²+bx+c在闭区间[m,n]上满足f（m）f（n）<0,那么方程f（x）=0在开区间（m,n）上有唯一解,即存在x₁∈（m,n）,使得f（x₁）=0,方程f（x）=0的另一解x₂∈（-∞,m）∪（n,+∞）。结论2:如果函数f（x）在区间[m,n]上的图像是连续不断的一条曲线,且满足f（m）f（n）<0,那么方程f（x）=0在开区间（m,n）上至少有一个解。注意点:结论1适用于二次函数,结论2适用于一般函数。     

Smarandache函数的混合均值研究

对于任意的正整数n,我们用S（n）表示Smarandache函数,即S（n）=min{m：n｜m!,m∈N},文章主要利用初等方法和解析方法,研究Smarandache函数∧（n）S（n）、∧2（n）S（n）的混合均值性质,获得了两个较强的渐近公式．     

一道高考题的几种解法

题目（01全国卷Ⅱ,理20）已知m,n∈N^＋,且m〈n.证明（1＋m）^n〉（1＋n）^m.     

用“1”巧解题

1．a=a·1 例1 已知m,n∈N＋,且m〈n,证明（1＋m）n〉（1＋n）m．     

殊途同归——等差数列一个典型性质的证明

定理 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n（m≠n）,则Sm＋n=（m＋n）． 预备定理：（1）在等差数列{an}中,若m＋n=p＋q←→am＋an=ap＋aq;     

截距式直线方程的两个性质

性质1设点P（m,n）是第一象限内的定点,直线l:x/a+y/b=1过点P（m,n）,且截距a,b均大于零,则（1）当b/a=（n/m）^1/2时,a+b有最小值m+n+ 2（mn）^1/2;（2）当b/a=n/m时,ab有最小值4mn.     

几类卡氏积图的控制数

主要给出了卡氏积图Km×Kn,Sm×Sn,Sm×Cn,Sm×Pn的控制数,其中km为m阶完全图,Cn是n圈,Pn是长度为n－1的路,Sm是星图.主要结果如下;γ（Km×Kn）=min{m,n};γ（Sm×Sn）=min{m＋1,n＋1}nγy（Sm×Cn）=n（m≥4）;γ（Sm×Pn）=n（m≥4）.     

“新概念”数学

1接近函数 定义 对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f（x）与g（x）,若对任意x∈[m,n]均有｜f（x）-g（x）｜≤1,则称以f（x）与g（x）在[m,n]上是接近的,否则称f（x）与g（x）在[m,n]上是非接近的．     

关于同余式2n≡7（modn）的解

证明了2n≡7（modn）（n〉1）在[2,105]中仅有解n=25=5·5.及当整数m〉1满足2m≡7（modm）时,有n=2m-1是2n-6≡1（modn）的解.更进一步地,若整数m〉1满足2m≡2k＋1（modm）,则n=2m-1是2n-2k≡1（modn）的解.     

巧平移妙化归

在“按向量平移”这一知识点中,可以归纳出如下三个结论：①将点P（x,y）按向量 a=（m,n）平移后得到点Q（x＋m,y＋n）;②将函数y=f（x）的图像C按向量 a=（m,n）平移后得到函数y=f（x—m）＋,n的图像C’;     

第54届IMO预选题（四）

数论部分 1．求所有函数f：Z＋→Z＋,使得对于所有正整数m、n,均有（m^2＋f（n））｜（mf（m）＋n）．     

分堆问题的一种一般解法

<正>将n个不同元素分成m堆(每堆至少一个,每堆个数可以不相等),一共有多少种不同的分法.这样的问题通常称为分堆问题.当n,m较小时这类问题解决起来并不困难,但要给出一般的结论却不容易.为了叙述方便,我们先来探讨这样的问题:将n个人分配到m个单位(每个单位至少一人,各单位人数可以不相等.n≥m),一共有多少种不同的分法.显然,这一问题的结果除以m!就是上面分堆问题的     

关于Smarandache平方补数函数的一个问题

对任意正整数n,著名的Smarandache平方补数函数Ssc（n）定义为最小的正整数m使得m.n为完全平方.即就是Ssc（n）=min{m：m∈Z＋,m.n=k2,k∈Z＋}.Felice Russo在《An introduction to the Smarandache SquareComplementary function》中建议我们研究极限limn→∞1n∑nk=2ln（Ssc（k））lnk的存在问题.如果存在,确定其极限.本文的主要目的     

“数字法”巧求函数y=a/cosn/mx＋b/sinn/mx的最小值

定理 设a,b∈R＋,m,n∈N,x∈（0,π/2）,则当且仅当x=arctan^2m＋n√（b/a）^m时,y=a/cosn/mx＋b/sinn/mx有最小值（a2m/2m＋n＋b2m/2m＋x）2m＋n/2m.     

有关次幂原数函数的若干性质

对于任意给定的正整数n,p次幂原数函数Sp（n）表示使pn｜m!的最小正整数m,即Sp（n）=min{mpn｜m!）,其中p为素数。对给定的正整数k,用初等方法研究了函数Sp（nk）与Sp（n）之间的关系,以及Sp（n）的值与项数n的对应关系,得到了Spk（n）=pk-1（Sp（nk）＋p{sp（nk）/p2}）,n=qpk-1/p-1-k＋[q/p]＋[q/p2]＋….     

探究一道东南地区数学奥林匹克题

问题1求一个是三元整数组（l,m,n）（1〈z〈m〈n）,     

关于Gel’fond-Baker方法的一个不等式

设f（y）是n次实系数多项式,证明了：如果存在实数x0适合x0〉max（0,f（In x0）,f^（1）（In x0）,…,f^（n）（In x0））,其中f^（m）（y）（m=1,2,…,n）是f（y）的m阶导数,则不等式x-f（In x）〉0在x≥x0时成立.