关于一个例题的探讨

关于一个例题的探讨平凉市四中贾成群　高中代数上册（必修）第２３５页例６：解方程５ｓｉｎｘ－１２ｃｏｓｘ＝６．５。课本是利用引入辅助角法求解的，对该题的一般形式ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝Ｃ的解法还可以从以下不同角度进行探讨。１．利用倍角公式，把方程化为齐...     

一道三角竞赛题的推广

一道三角竞赛题的推广孙猛（山东省临沂市二中２７６００１）１９９０年烟台市赛题中有这样一道试题：已知ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝１，求证ｓｉｎｎｘ＋ｃｏｓｎｘ＝１．此题的一般形式如下：定理１已知ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ａ，ａ∈〔－２，２〕，则有ｓｉｎｎｘ＋ｃｏｓｎ...     

"三角判别式"及其应用

高中代数上册第 2 97页给出了三角方程 ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (ａ、ｂ不同时为零 )有解的 条件是 | ｃ ａ2 ｂ2 |≤ 1 ,即ａ2 ｂ2 -ｃ2 ≥ 0。若记Δ = ａ2 ｂ2 -ｃ2 ,并称其为“三角判别式” ,可进一步得到 : 定理　对于三角方程ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (0≤ ｘ <2π ,ａ、ｂ不同时为零 ) ,则 ①方程有两个不同解 Δ >0 ; ②方程有唯一解 Δ =0 ; ③方程无解 Δ <0。 证明极其简单 ,只要将原方程化为ｓｉｎ(ｘ φ) = -ｃ ａ2 ｂ2 ,其中 φ由ｓｉｎφ =ｂ ａ2 ｂ2 ,ｃｏｓ…     

二次函数和解三角形的关系

二次函数和解三角形的关系贺多旦已知三角形两边ａ、ｂ和角Ａ（０＜Ａ＜π），求边ｃ。我们可以用余弦定理ｃ２－（２ｂｃｏｓＡ）ｃ＋ｂ２＝ａ２来求解，这是一个关于ｃ的一元二次方程的求根问题。据此，我们可以建立一二次函数ｙ＝ｘ２－（２ｂｃｏｓＡ）ｘ＋ｂ２－ａ２...     

浅谈不定积分的求解方法

本文给出了一套全新的关于不定积分∫ｍｃｏｓ＋ｎｓｉｎｘ／ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘｄｘ（ａ＾２＋ｂ＾２≠０）的求解法;同时介绍了“平行微积法 ”并把这种方法应用于∫ｅ＾ａｘｓｉｎｂｘｄｘ或∫ｅ＾ａｘｃｏｓｂａｄｘ的求解。     

成果集锦

倒数方程的一种解法命题１ｘ＝ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ是方程ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ的解．代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题２若ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ,则ｘｎ＋１ｘｎ＝２ｃｏｓｎθ（ｎ∈Ｚ）．由此即知形如ａ０（ｘｍ＋１ｘｍ）＋ａ１（ｘｍ－１＋１ｘｍ－１）＋…＋ａ...     

巧用等比性质解题例谈

巧用等比性质，可使许多问题变得简单易解，下面举例说明之．例１　已知ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，求ｂａ的值．解　∵ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，∴　ｂａ＝ａ－ｃ＋ｃ＋ｂｂ＋ａ＋ｂ＋ａ＝ａ＋ｂ２（ａ＋ｂ）＝１２．例２　已知ｃｔｇα＝２，求ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα的值．解　∵ｃｔｇα１＝２１＝ｃｏｓαｓｉｎα，∴ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα１＋１＋ｓｉｎα＝２，即ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα＝２．例３　求ｎ３ｎ－９ｎ＋２７ｎ５ｎ－１５ｎ＋４５ｎ的值．解　∵３ｎ５ｎ＝－９ｎ－１５ｎ＝２７ｎ４５ｎ＝３…     

例说不等式中恒成立问题的求解思路

不等式中恒成立问题是各类考试中的常见题型,其解法灵活.那么,如何求解呢?下面通过例题加以说明.一、分离参数,转化为求函数的最值例1　设ｆ(ｘ)是定义在(-∞,3]上的减函数,已知ｆ(ａ2-ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+1+ｃｏｓ2ｘ)对于ｘ∈Ｒ恒成立,求实数ａ的取值范围.分析:应在定义域和增减性的条件下去掉函数符号ｆ,使ａ从ｆ中解脱出来.解:原不等式等价于ａ+1+ｃｏｓ2ｘ≤ａ2-ｓｉｎｘ≤3对ｘ∈Ｒ恒成立,即　　　　　　　　ａ2≤3+ｓｉｎｘ,ａ2-ａ≥1+ｃｏｓ2ｘ+ｓｉｎｘ①②对ｘ∈Ｒ恒成立.令ｔ(ｘ)=3+ｓｉｎｘ,则①对ｘ∈Ｒ恒成令ｓ(ｘ)=1+ｃｏｓ2ｘ…     

等差三角形中的一个定理及应用

我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形．它有一个重要的性质如下：定理　在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等差数列，则有ｔｇＡ２ｔｇＣ２＝１３．证明　由题意知　２ｂ＝ａ＋ｃ，由正弦定理得　２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，∴　４ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝２ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ－Ｃ２．又∵　ｓｉｎＡ＋Ｃ２≠０，则有２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ－Ｃ２，即　２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２＝ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２，∴　３ｓｉｎＡ２…     

三角形中的射影定理及应用

正弦定理和余弦定理是解斜三角形的两个常用定理．但是对于某些问题,若运用射影定理解决则更为方便．１定理与证明射影定理在△ＡＢＣ中,ａ、ｂ、ｃ分别是角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边,则有ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢ,ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡ,ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．图...     

一类二阶非齐次微分方程属于极限圆型的充要条件

研究了一阶方程（ｒ（ｔ）ｘ’）’＋ａ（ｔ）ｘ＝０（＊）和（ｒ（ｔ）ｘ’）’＋（ａ（ｔ）＋ｂ（ｔ）ｘ＝ｆ（ｔ）（＊）按极限圆型分类问题，给出了方程（＊）是极限圆型的充要条件，另外还给出了方程（＊）和方程（＊）是Ｌ·ｂ的一些判别准则．））ｔｏｂｅｌｏｎｙＬ．ｃ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｉｎｓ；ｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒ；ｌｉｍｉｔｃｉｒｃｌｅｃａｓｅ；ｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ     

三角函数与一元二次方程综合题的解题思路

中考试题常把一元二次方程与三角函数综合起来．解这类问题时要正确应用锐角三角函数的定义及有关性质，以及一元二次方程的有关知识．现以近两年的中考题为例，介绍这类问题的解题思路． 一、求锐角三角函数的值 例 １ 若 ａ为锐角，且 ｓｉｎ ａ是方程 ２ｘ２＋３ｘ－２＝０的一个根，求ｃｏｓ ａ的值．（２０００年海南省中考题） 分析与解 根据已知条件，先求ｓｉｎ ａ的值，再求ｃｏｓａ的值．解方程，得幻（舍去）． 二、判别一元二次方程根的情况 例 ２ 在凸ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，且满足 ｂ＋ｃ＝１…     

擂台题（37）的评注

擂题（３７）（张云华提供）证明或否定：在△ＡＢＣ中,有ｓｉｎ２Ａ（ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）≤２ｃｏｓ２　　　　。 本题收到颜玉勇（安徽无为中学数学组,邮编２３８３００）提供的解答。解答中利用了一个精巧而又普通的变换ａ＝ｘ＋ｙ、ｂ＝ｙ＋ｚ、ｃ＝ｚ＋ｘ和三角形     

2003年高考数学模拟试题

一、选择题 :1.设集合Ｍ ={ 1,2 } ,则满足Ｍ∪Ｎ { 1,2 ,3 }的集合Ｎ的个数为 (　　 ) .Ａ .1　　Ｂ .4　　Ｃ .7　　Ｄ .82 .已知方程 2 ｘ+ｘ =0的实根为ａ ,ｌｏｇ2 ｘ =2 -ｘ的实根为ｂ ,ｌｏｇ12 ｘ =ｘ的实根为ｃ ,则ａ ,ｂ ,ｃ的大小关系是 (　　 ) .Ａ .ｂ>ａ >ｃ　　Ｂ .ｂ >ｃ >ａ　　Ｃ .ｃ >ｂ >ａ　　Ｄ .ａ >ｂ >ｃ3 .已知当α∈ -3π4,-π2 时 ,则下列不等式成立的是 (　　 ) .Ａ .ｓｉｎα >ｃｏｓα　　Ｂ .ｓｉｎα >ｔａｎα　　Ｃ .ｔａｎα >ｃｏｔα　　Ｄ .ｃｏｓα >ｃｏｔα4.已知ｙ =ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) ,…     

两类三角函数的奇偶性问题

在三角函数部分经常遇到函数奇偶性问题 ,本文研究了 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) ,ｙ =Ａｃｏｓ(ωｘ φ) (Ａ、ω、φ为常数 )以及 ｙ =ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ(ａ、ｂ为常数 )型函数的奇偶性 ,给出了一种解决这类函数奇偶性的方法 .1　函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ、ω、φ     

第十四届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 第2试

一、选择题 (每小题 5分 ,共 50分 ,以下每题的4个选项中 ,仅有一个是正确的 ,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内 )1 .方程ｓｉｎπｘ =0 .2 5ｘ的解的个数是 (　　 )　 (Ａ) 5　　 (Ｂ) 6　　 (Ｃ) 7　　 (Ｄ) 82 .当 0 <ｘ <1时 ,记ａ =ｘｘ,ｂ =(ａｒｃｓｉｎｘ) ｘ,ｃ =ｘａｒｃｓｉｎｘ,下列不等式中成立的是 (　　 )　 (Ａ)ａ<ｂ <ｃ　　 (Ｂ)ａ<ｃ<ｂ　 (Ｃ)ｃ<ａ <ｂ (Ｄ)ｃ<ｂ <ａ3 .Ｉｆ 2｜ａ｜<4+ｂ,｜ｂ｜ <4,ｔｈｅｎｔｈｅｓｅｔｏｆｒｅａｌｒｏｏｔｓｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｘ2 +ａｘ+ｂ =0ｉｓ(　　 …     

对比值sinnx/sinx下界的改进

定理　设ｎ∈Ｎ,ｎ＞２,０＜ｎｘ＜π２,则ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＞ｎ＋３ｎ．（１）证明：ｎ＝３时,应用ｓｉｎ３ｘ＝３ｓｉｎｘ－４ｓｉｎ３ｘ,０＜ｘ＜π６,从而０＜ｓｉｎ２ｘ＜１４,即知（１）成立．设ｎ＝ｋ时,（１）成立,ｓｉｎ（ｋ＋１）ｘｓｉｎｘ＞ｋ＋１＋３ｋ＋１ｓｉｎ２（ｋ＋１）ｘ＞（ｋ＋１＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２（ｋ＋１）－ｓｉｎ２ｘ＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘ１－ｃｏｓ（２ｋ＋２）ｘ－１＋ｃｏｓ２ｘ２＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘｓｉｎ（ｋ＋２）ｘ·ｓｉｎｋｘ＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉ…     

从一道三角题谈函数的奇偶性教学

题目　判断函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 的奇偶性 .不少学生是这样解答的 :ｙ =1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ=2ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 2ｓｉｎ2 ｘ22ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 2ｃｏｓ2 ｘ2=2ｓｉｎ ｘ2 (ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 )2ｃｏｓ ｘ2 (ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 )=ｔｇ ｘ2 .∵ｆ(-ｘ) =ｔｇ(- ｘ2 ) =-ｔｇ ｘ2 =- ｆ(ｘ) ,所以函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 是奇函数 .初看 ,解答正确 ,其实结论是错误的 ,原函数既非奇函数也非偶函数 .之所以会产生这种情况 ,究其原因 ,一方面…     

三道习题的常见错解分析

题 1　设ｘ∈ [0 ,π],方程ｃｏｓ2ｘ +4ａｓｉｎｘ +ａ -2=0有两个不同的解 ,求实数ａ的取值范围 .错解 :原方程可化为 2ｓｉｎ2 ｘ -4ａｓｉｎｘ +1 -ａ =0 .令ｔ=ｓｉｎｘ ,则方程 2ｔ2 -4ａｔ+1 -ａ =0在 [0 ,1 ]上有一个解 .又令 ｆ(ｔ) =2ｔ2 -4ａｔ+1 -ａ ,则有Δ =1 6ａ2 -8( 1 -ａ) =0 ,0≤ａ≤ 1 ,或 ｆ( 0 )ｆ( 1 )≤ 0 .解得ａ =12 或 35 ≤ａ≤ 1 .这是文 [1 ]介绍含参数二次方程求参数取值范围的一道例题 ,其解答过程是错误的 .上述错解在一些数学期刊中流传甚广 ,有必要予以剖析纠正 .分析 :上述解答有两处常见错误 .首先 ,…     

2002年11月号“数学能力月月赛”答案

1 .Ａ　 2 .Ｄ　 3 .Ａ　 4.Ａ　 5 .Ｄ　 6.14 95　 7.ｃ,ｂ +ｃ2 ∪ [ｂ,+∞ )　 8.ａｃｏｓｘ +ｂｓｉｎｘ　9.163 　 10 . 10 (ｎ + 1) Ｍ22002年11月号“数学能力月月赛”答案