椭圆、双曲线的离心率问题活题拾粹

离心率是椭圆和双曲线的重要的特征量．研究二次曲线的几何性质，常常与离心率紧密地联系在一起．因此，有关离心率的活题不胜枚举．     

圆、椭圆、双曲线的类比

类比思想在科学发明与发现中有着十分重要的意义和作用.开普勒说:我珍视类比胜于别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中,它应该是最不容忽视的.     

例谈椭圆、双曲线离心率的求法

离心率是反映椭圆、双曲线性质的一个重要参数,在历年的高考试题中经常出现．由于它与基本元素a、b、c及焦距、第二定义、准线、渐近线等有着密切的关系,所以在求解过程中,如果能根据条件找到它们之间的关系,即可求得其离心率．下面例析几种常用求法．     

浅析椭圆与双曲线离心率的求解方法

离心率是圆锥曲线的重要几何性质,圆锥曲线问题多以离心率为交汇点．从多层面、多角度考察运用圆锥曲线性质解决问题的能力．认识其本质属性．特别是求离心率的值或范围的问题一直是高考中的热点．历年来高考试题在这一知识点上关注程度极高．本文通过一些高考试题谈谈求解这类问题的一些常用方法．以期对同学们的复习有所帮助．     

利用椭圆（双曲线）的定义速解2006年高考题

众所周知,椭圆的定义为:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.我们知道这两个定点叫做椭圆的焦点,常数等于椭圆的长轴长.     

椭圆、双曲线切线的一个有趣性质

本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理　经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明　椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P…     

椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质

文[1],[2]研究了椭圆和双曲线焦点三角形的一些性质,本文给出椭圆和双曲线焦点三角形的另一个性质.     

例析椭圆、双曲线离心率的求法

离心率是反映椭圆、双曲线性质的一个重要参数,在历年的高考试题中经常出现.由于它与基本元素a、b、c及焦距、第二定义、准线、渐近线等有着密切的关系,所以在求解过程中,要根据条件找到与它们的关系,然后即可求得其离心率.下面例析几种常用求法.1直接法因为e=ac,所以只须求出a、c或a与c之间的关系即可.例1(2007江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的离心率为().A5;B25;C3由;于焦点在Dy轴2上,一条渐近线方程为x-2y=0,所以ba=21,e=ac=a2a 2b2=1 4=5,选A.2方程法有些问题a与c之间关…     

椭圆、双曲线的两个不变量

笔者在教学中发现了圆锥曲线的两个有趣性质,介绍如下,供参考. 性质1 P(x0,y0)是椭圆x2/a2 y/b2=1(a＞b＞0)上一点,y0≠0,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,I的横坐标为xI,则xI/x0=e,其中e是椭圆的离心率.     

椭圆、双曲线的离心率问题值得关注

2004年全国各地高考数学试卷中,解几问题中直接涉及椭圆、双曲线离心率的试题有9道,其中选择题5题,填空题1道.解答题3道.这9道关于椭圆、双曲线的离心率问题可以分为二类:一类是求其离心率的值,如江苏卷(5)、全国卷Ⅲ理(7)、福建卷理(4)、浙江卷理(9)、天津卷理(22);一类是求其离心率的取值范围,如重庆卷理(10)、全国卷Ⅰ理(21)、全国卷Ⅳ理(21).解几是高考重点考查的内容,故椭圆、双曲线的离心率问题将依然是明年高考数学的热点和重点.一、求离心率的值求解椭圆、双曲线离心率的值的方法:一是直接利用其定义;二是利用直线与其位置关系,转化…     

椭圆、双曲线的第三定义

教材中给出了椭圆和双曲线的两个定义 ,并在第二定义中使圆锥曲线得到统一 .笔者认为椭圆和双曲线还存在着第三定义 .下面仅以椭圆为例 ,从第一定义推导标准方程的过程来加以证明 .以Ｆ1、Ｆ2 所在直线为ｘ轴 ,Ｆ1、Ｆ2 所在线段的中垂线为ｙ轴建立直角坐标系 ,设Ｍ(ｘ ,ｙ)为椭圆上任意一点 .由 ｜ＭＦ1｜+｜ＭＦ2 ｜ =2ａ(2ａ>2ｃ) ,得(ｘ+ｃ) 2 +ｙ2 +(ｘ-ｃ) 2 +ｙ2 =2ａ .平方移项ａ2 -ｃｘ =ａ (ｘ-ｃ) 2 +ｙ2 ,①平方整理 (ａ2 -ｃ2 )ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 (ａ2 -ｃ2 ) ,同除以 (ａ2 -ｃ2 )得 ａ2 ｙ2ｘ2 -ａ2 =ｃ2 -ａ2 ,除以ａ2 得 ｙ…     

椭圆和双曲线中的异同点

椭圆和双曲线是圆锥曲线中的一对孪生姐妹,其定义只有一字之差,所以从定义到方程到性质等都有相似的一面,因此在学习了椭圆和双曲线后,我们可以进行一些研究,在各种不同的形式下寻找它们的共同特点.     

双曲线离心率的计算——从一道高考题说起

在2007年高考数学全国卷Ⅱ理科中,有这样一道试题：[第一段]     

关于"椭圆、双曲线的第三定义"一文的讨论

笔者在圆锥曲线的教学中 ,曾对《平面解析几何》教材 (1990年版第 81页 11题、第 93页 16题进行归纳总结 ,发现其具有一般性质 ,与孙兆会、向志平两位老师在文 [1]中提出的“椭圆、双曲线的第三定义”的观点不谋而合 .但笔者认为该文中存在一些错误 ,其中的一些观点也值得商榷 .首先 ,在以椭圆为例 ,从第一定义推导标准方程的过程中文章缺少了一个致命的前提“ｘ2 -ａ2 ≠ 0 ,即ｘ≠±ａ” ,求得的轨迹不包含椭圆在ｘ轴上的两个顶点 !其次 ,对于文章“第三定义”的提法 ,笔者认为也是不合适的 ,理由有三点 :(1)所谓“定义”是“对于一种事物…     

关于椭圆、双曲线中“焦焦弦三角形”的面积

椭圆、双曲线中的“焦焦弦三角形”是指以过一个焦点的弦为一边，以另一焦点为一个顶点所构成的三角形．本文给出关于“焦焦弦三角形”面积的一些结论．     

椭圆双曲线离心率的三角表达式及其应用

设椭圆、双曲线的方程分别是b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 ) ,b2 x2 -a2 y2 =a2 b2 (a >0 ,b>0 ) ,且P为其图像上的一点 ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β(0 <α <π ,0 <β<π ,F1、F2 为其焦点 ) ,则它们离心率的三角表达式分别为(1)　e椭圆 =sin(α+ β)sinα +sinβ;(2 )　e双曲线 =sin(α + β)｜sinα -sinβ｜.证明　如图 1,∵e椭圆 =ca =2c2a =｜F1F2 ｜｜PF1｜+｜PF2 ｜=2Rsin(α+ β)2R(sinα+sinβ) =sin(α+ β)sinα+sinβ,∴e椭圆 =sin(α + β)sinα+sinβ.(2 )如图 2 ,∵e双曲线 =ca =｜F1F2 ｜｜｜PF1｜-｜PF2 ｜｜=2R…     

椭圆和双曲线中一个有趣的不等式

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究,得到了一个有趣的新颖的不等式,现说明如下,供同行教学参考。