tg(A/2) tg(B/2) tg(C/2)≥3~(1/2)的应用两例

根据ABC中的等式tgA/2tgB/2 tgB/2tgC/2 tgC/2tgA/2=1,可得到一个重要的不等式:在△ABC中,tgA/2 tgB/2=tgC/2≥3~(1/2).     

浅谈一道课本习题的应用

在三角形ABC中,tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC(高级中学课本代数第一册复习参考题三A组第2题),这是一道普通的三角题,在数学中有着广泛的应用,具有潜在的公式功能。运用恰当能起到事半功倍之效。本文就这道三角题的几个方面的具体应用作一简述。     

1990年第3期问题解答

216.是否存在这样的三角形,使其三内角的正切值为三个连续的整数。解:设存在△ABC,使tgA=n-1,tgB=n,tgC=n+1(n∈Z),∵tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC,∴3n=n(n~2-1).解之,得n=-2,0,2.经验证知n=-2,0不     

一个三角公式在平几解题中的应用

部编数学高中第一册P167第19题:在△ABC中。求证:tgA+tgB+tgC=tgAtgB tgC。一般学生都会证明这个三角恒等式。可是对于它在平几解题中的应用及其推广却不太清楚,现分别介绍如下,供中学生参考。 [例1]如图(1),已知:O是△ABC的外接圆圆心延长AO交BC于D。交圆于E,延长BO交AC于F,交圆于G,延长CO交AB于P,交圆于Q。求证;DE/AD+FG/BF+PQ/CP=1。 [证明]连BE,CE,则     

一个三角不等式的再证及变形

文建立了如下结果:在△ABC中,有 tgA/2 tgB/2 tgC/2≤9Rr/2△ ① 这里我们给出一个十分简单的证明,并指出它的一个等价形式。     

数理化园地(22)

数学设A、B、C是三角形的三个内角,试证明tgA tgB tgC=ctgA ctgB ctgC不可能成立。 (邓淙供稿) 物理如图所示,一水平匀强磁场(磁场的方向指向读者).在垂直于磁场方向的竖直     

一对奇妙的数

有这样一道三角题：若A、B、C都为锐角且cosA=tgB,cosB=tgC,cosC=tgA,求sinA、sinB、sinC的值.解：∵cosA=tgB．cos2A 1=tg2B 1=sec2B,同理可得在此题中，SinA、SinB、SinC的值都为，它的倒数为这就是数学中著名的黄金数．我们记，则a=1．这是一对简单而又奇妙的数．在解析几何中，以椭圆的两焦点连线为直径作圆，试问椭圆和圆的面积谁大？答案是不能确定．有时椭圆大，有时圆大现在问题是在什么条件下它们的面积正好相等？设椭圆的方程为则椭圆的面积为ah、以两焦点连线为直径的圆面积为，要使它们的面积相等，则必有：结果表明…     

一道数学题的递推证明

例题设△刀z犷为锐角三角形,求证 tgA十呛方+tgC>1。 证:’:A、B、C为锐角,.,.A十B二万一C>士万,.、士万>月>浅才一B>0,:’ tgA>tg(十军一B),即tgA>etgB,.’. tgA一tg刀>1。 同理有tgB.tgC)1,tgC·tgA>1。.’.(tg刁tgBtgC)’>1。 易知tgAtgBtgC>o,故有 tgAtgBtgC二>1。 .又tgC二tg〔兀一(A+B)〕=一 tg(A+B)tgA+tgB+tgc>31十奋十(蚤)’‘一(奋)一‘, 3尸。 只七I一吸兮,一J即tgA+tgB+tgC>3‘(2)3侧丁。 一一乃八一,翻 3勺︺日‘、.沪心奋」 矛f、 ︸ 广k八j一份山 8又丫hm 九一争C心tgCtgA+tgB1一t乌AtgB’于是有由极限性…     

公式tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC的推广及应用

高中《代数》(甲种本)第一册P.217有一道习题: 在△ABC中,求证: tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC. 这道习题结论可进行如下的推广: (1)若实数α,β,γ,满足α+β十γ=kπ(k∈Z),则 tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ. (2)若实数α,β,γ,满足 tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ,则α+β+γ=kπ(k∈Z). 应用以上结论解决某些三角,代数,几何问题.     

介绍一个三角恒等式的应用

在高中数学第一册中,有下面的一个三角恒等式: 在非直角三角形ABC中: tgA+tgB+tgC=tA·tgB·tgC (1)这是一个很有意思的恒等式,因为它是涉及到三实数之和等于这三实数之积的问题,因此它不论在几何或在代数中,公式(1)都有很广泛的应用。公式(1)的推广是: 如果α,β,γ满足α+β+γ=Kπ(K∈J),则 tgα+tgβ+tgγ=tgα·tgβ·tgγ (2) (2)的逆定理是: 如果tgα+tgβ+tgγ=tgα·tgβ·tgγ,则α+β+γ=Kπ (K∈J) (3) 这三个恒等式的证明是大家所熟悉的,这里就不再赘述了,下面我们介绍这些等式     

从一道习题谈起

六年制重点中学高中数学课本代数第一册复习参考题三A组22(1)题(217页). 在△ABC中,求证: tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC. (确切地说,原题条件应该是在非直角三角形中,即A、B、C之中任一角的正切函数值应该有意义,以下各例均同)该题是常见的典型题之一,且在各种复习资料中都会出现,本文探讨由该题可以引导我们正确而迅速地解出一类数学题。举例如下：     

深挖课本习题功能 提高学生解题能力

教师在备课过程中,如能对课本习题进行深入系统的考察、剖析,挖掘出习题所蕴涵的本质特点,探求其规律性的解题思路和解题方法,并在教学中有意识地引导学生去发现和总结这些规律,进行由此及彼的联系,必能有助于培养学生良好的思维品质和解题机智。本文拟就高中代数第一册(人民教育出版社,1981年版)几道三角习题的解题思路和解题方法,来谈一些这方面的认识。 (一)课本268页复习参考题五A组第8题:(1)已知A B=π/4,求证(1 tgA)(1 tgB)=2;(2)如果A,B都是锐角,且(1 tgA)(1 tgB)=2,求证A B=π/4。 此题是两角和的正弦公式的运用,(1)和(2)是互逆命题,即有A B=π/4的充要条件是(1 tgA)(1 tgB)=2,其中A、B为锐角。在教学中发现,此题涵着丰富的教学功能,如果能灵活运用,一些三角题目便可化繁为简,变难为易,可为学生架设又一新的思维桥梁。     

一个三角形不等式的加强

《数学通报》1995年1月号的问题931:“在锐角△ABC中,求证:tgA·tgB·tgC>1。”这个三角形不等式可加强为:     

用构造数列法证明不等式

所谓构造数列法，就是根据所证不等式的需要构造一个含有数列的不等式，然后根据数列极限的性质，得到所要证明的不等式．例1证明当0＜x＜n/2时，有x－sinx≤x/6．依次使用，代替（1）式中的x，得到：然后相加得：不等式两进取极限得：从而得例2设△ABC为锐角三形，求证：（n为自然数）．证先证，n=1的情形，因为tgA·tgB·tgC＞0，从而得由算术一几何平均值不等式，联系（6）得再次运用算术一几何平均值不等式，并联系（7）式，得将上述手续重复几次，可得到：（8）式又可写成对（9）式取极限得：（1。）式左端与n无关，右端hm3g（。寸3…     

正切和角公式的变形应用

在三角函数的教学过程中,有很多公式,但学生更多的是顺用,逆用这些公式,而忽略了对公式的变形应用.因此,加强对公式的变形应用,不仅可以熟练、灵活地掌握公式、开阔视野,而且体现了数学本身并不是枯燥的公式,而在于它内在的美.这里就谈谈正切和角公式的变形应用.正切和角公式的变形公式:tgA tgB=tg(A B)(1-tgA·tgB)1.求值:     

利用几何图形证明三角不等式

利用几何图形证明三角不等式就是化三角函数为几何图形。利用图形中的不等量关系来证明三角不等式。这样能避免复杂的三角运算,有较强的直观性,并能使一些三角不等式的证明化难为易。现举例说明如下。一、根据三角函数的定义,把三角函数化为线段比。例1 在锐角三角形ABC中,求证: ① cosA cosB cosC1 利用同圆中所对的圆周角大的弦也大(当圆周角是锐角时)。证明:①图1中,AE、BF、CD分别是三角形ABC三边上的高线 A、B、E、F四点共圆,又∵△ABC是锐角     

一组三角不等式及其证明

大家知道,若A、B、C是△ABC的三个内角,则下列等式成立。(证明从略) 1°cos~2A cos~2B cos~2C=1-2cosAcosBcosC 2°sin2A sin2B sin2C=4sinAsinBsinC 3°cos2A cos2B cos2C=-1-4cosAcosBcosC 4°ctgActgB ctgBctgC ctgCctgA=1 5°tgA tgB tgC=tgAtgBtgC 6°ctg(A/2) ctg(B/2) ctg(C/2)=ctg(A/2)ctgB/2ctgC/2 7°sinA sinB sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)     

Finsler——Hadwinger不等式又一简证

设 a、b、c 是三角形的三边,S 为其面积,则 a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2) S (a-b)~2 (b-c)~2 (c-a)~2《数学教学通讯》1995年3期给出了一种简证.本文再给出一种更简捷的证法.供参考:在△ABC 中,易证:tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)下面我们再进一步证明此不等式:     

边等差三角形的一个性质及应用

三边边长成等差数列的三角形叫做边等差三角形,它有一个重要的性质如下: 命题 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,则有tgA/2tgC/2=1/3.     

三、解直角三角形

本章主要内容包括锐角三角函数和解直角三角形两个部分.一、锐角三角函数、在1 Rt△AB中C, ∠C = 90⑴∠A∠ B = 90 , c2 = a2 b2 .⑵sinA = cosB = ;cosA = sinB = ; tgA = ctgB = ; ctgA = tgB = .、互为余角的三角函数之间的关系2－αα