一道美国数学竞赛题的巧证

贵刊81年第五期刊登了《一道美国数学竞赛题的简证》.在教学活动中.发现我的学生对这个题目的原命题有更巧妙的证明,现介绍如下: 已知:空间四边形ABCD中(A、B、C、D不共面)AD=BC,AB=DC,AM=MC,DN=NB 求证:MN⊥AC, MN⊥BD 证明:连结AN,NC,把△ABD绕BD平放到△BCD所在的平面内(注意,AB,AD、AN的长度未变).这时以ABCD是一个平面四边形.∵ AD=BC,AB=DC ∴ABCD是一个平行     

将错就错,放飞思想,别有天地

1 试题呈现 如图1,四边形ABCD是平行四边形,点P为AD边上一动点,连结CP并延长交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,连结AN,NP,设点P运动时间为t( s) ,解答下列问题: (1)若AD=6cm,CD=2cm,∠B=45°,点P从点A出发沿AD方向运动,速度为3cm/s,当t为何值时,四边形ACDM是平行四边形?     

高频考点突破之空间平行、垂直证明与求体积

<正>考点一:直线、平面平行的判定及其性质与几何体的体积例1[2016年·课标卷Ⅲ,文19]如图1所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面AB CD, AD//BC, AB= AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点。(Ⅰ)证明MN//平面PAB;(Ⅱ)求四面体N-BCM的体积。证明:(Ⅰ)由已知可得:AM=2/3AD=2,     

将错就错,放飞思想,别有天地

<正>1试题呈现如图1,四边形ABCD是平行四边形,点P为AD边上一动点,连结CP并延长交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,连结AN,NP,设点P运动时间为t(s),解答下列问题:(1)若AD=6cm,CD=2cm,∠B=45°,点P从点A出发沿AD方向运动,速度为3cm/s,当t为何值时,四边形ACDM是平行四边形?(2)在(1)的条件下,是否存在某一时刻t,使四     

求真求新求变 落实核心素养——一道中考题的解法探究及教学启示

<正>本文以2023年无锡市中考数学第9题为例,在求真、求新、求变的过程中对其进行解法探究,旨在拓宽学生的解题思路,促使发散思维,形成直观想象能力,从而发展学生的核心素养,体现数学学科的育人价值.一、试题呈现如图1,四边形ABCD中,∠BAD=30°,∠ADC=60°,BC=CD=2,AD//BC.若MN在AD上运动,MN=1,则2BN²+BM²的最小值是( )     

挖掘“一般观念”,提高解题能力——由一道试题的解答想到的

1原题呈现在∠ABC中,∠C=90°,AC=BC,点M,N分别在AC,BC上,将ΔABC沿MN折叠,顶点C恰好落在斜边的P点上.(1)如图1,若点N为BC中点时,求证:MN//AB.     

运用平面向量解题举隅

由于平面向量有关概念的抽象性 ,仅对平面向量的概念、公式孤立地介绍举例 ,对学生学习向量而言是不够的 ,必须要将向量与学生所学过的知识 ,如三角、几何等内容联系起来 ,注意数形结合、形象思维与逻辑思维结合 ,学生才会建构出自己的向量知识 .【例 1】　证明三角形中位线定理 .已知 :在△ABC中 ,点M、N分别是AB、AC的中点 ,求证 :MN ∥=12 BC证明 :如图 1 ,∵MN→ =AN→ -AM→=12 AC→ -12 AB→=12 (AC→ -AB→) =12 BC→∴MN→ 与BC→ 共线且MN→ =12 BC→即MN ∥=12 BC .利用向量共线 ,是证明几何中平行问题的基本方…     

用中线长定理解题(初二、初三)

中线线定理的表述是:设△ABC的三边AB=c,BC=a,AC=b,BC边上的中线长为ma,则ma2=1/2b2+1/2c2-1/4a2. 中线长定理有广泛的应用,下面举例说明. 例1 如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,MN是BC边上的点,且BM=MN=NC,如果AM=4,AN=3,则MN=____. 解设AC=b,AB=c,BM=MN=NC=a,AM,AN分别是△ABN和△ACM的中线,则有42=1/2c2+1/2·32-1/4(2a)2, 32=1/2b2+1/2·42-1/4(2a)2,     

2007年第4期问答解答

91．如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，BE=CF，且M、N分别是BC、EF的中点．求证：AD//MN．     

从不同角度探求一道试题的本质

文献[1]中第6大题的试题是： 例1如图1，已知AD为△ABC的角平分线，AB〈AC，在AC上截取CE=AB，M，N分别为BC，AE的中点，求证：MN//AD．     

一条结论的应用

已知：如图,直线MN//BC,交AB、AC、AD（或其反向延长线）分别于M、N、E。     

联系教材中习题解题

几何第二册P·67第20题: 已知:如图1,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,求证: AN/AM=ON/OM. 简证:∵ DE∥BC, ∴ AN/AM=AD/AB=DE/BC =EO/BO=ON/OM. 受上题启发可以解某些竞赛题. 例1 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一对角线平行,证明另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段. (78年全国中学数学竞赛决赛试题) 如图1.已知四边形ADOE的两组对边延长后得     

2007年第4期问题解答

91.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE=CF,且M、N分别是BC、EF的中点.求证:AD∥MN.证明:连接EM,过C作CG∥AB交EM的延长线于G,再连接FG     

转化思想在解题中的应用

<正>数学教学中及时渗透数学思想,是我们数学教师的共识.本文以"转化思想"为例,进行一次专题复习.一、复杂向简单转化例1 梯形 ABCD中,AD//BC,AB=CD,对角线AC、BD相交于O点, 且AC⊥BD,AD=3,BC=5,求AC的长.分析此题根据梯形对角线互相垂直的特点可以通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形,使问题得以解决.解如图1,过 D作DE//AC交BC的延长线于E,则得AD=CE、 AC=     

立体几何解题中的平行移动问题

立体几何中许多问题涉及到作已知直线(线段)的平行线.对此,学生感到困难的是不知如何作平行线实现问题的转化,也有的学生随意作平行线以致无法计算.本文通过例题介绍两种作平行线段的常用方法。 1 利用三角形中位线定理进行平移 例1 (如图1所示)空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点.求证;MN和AD所成的角等于MN和BC所成的角。 分析:按异面直线所成角的定义,需平行移动线段AD使之与MN相交。由于M是AB中点,自然会想到用构造三角形连结中位线的方法。 证明:设BD中点为E,连结ME,由三角形中位线定理得;ME≤1/2AD 于是∠EMN就是MN与AD所成的角。 同理,连结NE易得∠ENM是MN与BC所成角.∵AD=BC ∴ME=EN 从而∠ENM=∠EMN 命题得证。 例2 (88年上海高考题)如图2所示,在棱长都相等的四面体A—BCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,连AF,CE,求异面直线AF、CE所成角的大小。 解:连结DF,取DF中点O,连EO,则EO=1/2AF。     

利用三角形中位线证题

三角形中位线定理说明了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系.利用这两种关系,可证明若于与线段中点有关的问题.例1 如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,E为Ac的中点.求证:DE//BC.分析由E为AC的中点,若延长AD交BC于F,那么要证DE//BC,则只要证D为AF的中点.这只要证△BDA≌△BDF.∵AD⊥BD,∴∠BDA=∠BDF=90°.∵∠1=∠2,BD=BD,∴∠BDA≌△BDF.     

梯形问题中的完全平方式

一、问题的引出如图1,梯形ABCD中,AD//BC,AC和BD相交于点O,AD:BC=1:3,则S△ADO:S梯形ABCD:——.     

解读四边形

【知识归纳】~~【例题分析】例1.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E是BC上一点,AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点M、O、N,试判断四边形AMEN的形状并给出证明.解:四边形AMEN是菱形3/2005山西教育·初中版证明:AD∥BC∠1=∠2,MN垂直平分AE∠AOM=∠EON=90°OA=O△AOM≌△EON(AAS)OM=ONOA=O四边形AMEN是平行四边形AE⊥MAMEN是菱形例2.根据下列不同条件,计算梯形的面积.(1)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=4,BD=3,求梯形ABCD的面积.(2)如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E,AE=12,BD=15,…     

从不同角度探求一道试题的本质

2007年太原市初中数学竞赛第6大题是：如图1,已知AD为△ABC的角平分线,AB〈AC,在AC上裁取CE=AB,M、N分别为BC、AE的中点,求证：MN//AD．     

不作辅助线,求解更简单(初二)

教材中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD//BC,对角线AC BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S. 参考书中介绍了如下三种作辅助线的方法(如图1):