关于几何数列中的(δ,d,k)-过剩数

对于正整数n,设d(n)和δ(n)分别表示n的约数函数与约数和函数,对于正整数k,如果δ(n)＞n kd(n),则称n是(δ,d,k)-过剩数.文章证明了对于给定的正整数k,存在无穷多个无限的几何数列都是(δ,d,k)-过剩数.     

关于数论函数δ(n)的一个问题

对于正整数n,设δ(n)是n的不同约数之和.本文证明了:存在无穷多个正整数n可使δ(n)>√δ(n-1)δ(n+1).     

关于平方根的十分位数的一个猜想

对于实数x,设d(x)是x的十进制表示中的十分位数.对于正整数n和k,设f(n,k)=(n~2+n+k)~(1/2).证明了:当n≥5k-1时,d(n,k)=5.     

关于平方根十分位数的一个猜想

对于实数x,设d(x)是x的十进制表示中的十分位数.对于正整数n和k,设f(n,k)=(n~2 n k)(1/2)。本文证明了:当n≥5k-1时,d(f(n,k))=5。     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

关于Smarandache LCM对偶函数方程的可解性

对于任意的正整数n,著名的Smarandache LCM函数的对偶函数定义为SL*(n) =BZ{k|k∈N+,[1,2,…,k]|n},Ω(n)表示n的所有素因子的个数.文章利用初等数论和分类讨论的方法研究函数方程Σd|n1/SL*(n) 2Ω(n)的可解性,并给出了这个方程的所有正整数解的具体形式.     

数学奥林匹克问题

初159已知p为正整数且为常数．求满足下列条件的最大和最小正整数n，对于这个n，有唯一的正整数k，满足p＋1/2p＋1＜n/n＋k＜p/2p-1.     

一个数论函数方程

对于正整数a,设σ(a)是a的不同约数之和.本文证明了方程∑nk=1σ(k!)=(n(n 1)/2)!,仅有正整数解n=1.     

以n=k到n=k+1的过渡

证明与正整数有关的命题时,常用数学归纳法,用数学归纳法证明的步骤是:(1)证明当n取第一个值n_0(n_0是满足命题的最小正整数)时,命题成立.(2)假设当n=k(k≥n_0,k∈N~*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.(3)由(1)(2)可知,命题对于从n_0开始的所有的正整数都成立.     

关于愉快图的Bodendick猜想(Ⅰ)

在文献[1]一文中,我们证明了下述定理定理一.对于正整数n,k,若适合下列条件之一,则C_n(2k)是愉快图。(1)n≡0(mod 4),1≤k≤[(n-4)/2];(2)n≡2(mod 4),1≤k≤[(n-4)/2],k≠2;(3)n≡1(mod 4),1≤k≤n/3,k≠[(n+3)/4],k≠2;(4)n≡3(mod 4),1≤k≤n/3,k≠[(n+1)/4].     

关于丢番图方程sum form k=0 to n(b-21k)=sum form k=1 to n(b+21k)

本文得到下面结论:设n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to∞(1/n)(b-21k)~r=sum from k=1 to∞(1/n)(b+21k)~r仅有正整数解r=1,b=21n(n+1)和r=2,b=42n(n+1)     

第36届中国数学奥林匹克

1.设数列{zn}(n≥1)的奇数项均为实数,偶数项均为纯虚数,且对于任意的正整数k,均有|zkzk+1 |=2k.对正整数n,记 fn=|z1+z2+…+zn|. 求:(1)f2 020的最小可能值; (2)f2 020 f2 021的最小可能值. (何忆捷供题) 2.给定整数m＞1.求最小正整数n,使得对于任意的整...     

由线性算子定义的解析多叶函数类

设Ap,k(p,k是正整数)表示单位圆盘E内形为f(z)=zp ∑∞n=kap nzp n的解析函数类.利用线性算子Lp(a,c),引进Ap,k的子类Qp,k(a,c,δ,A,B)和Qp*,k(a,c,δ,A,B),导出类中函数的许多有趣的性质.     

广义Fibonacci数列的多重性

设F={Fn} ∞n =0 是参数为 (a1,a2 )的广义Fibonacci数列 对于正整数k ,设N(k)是适合｜Fn｜=k的正整数n的个数 证明了 :当 (a1,a2 )是非例外参数时 ,N(k) ≤ 1     

2010我爱数学初中生夏令营数学竞赛

说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分. 第一试 1.设n(n<100)是正整数,且存在正整数k,使得1≤k≤n-1,满足 4κ+1/2n+1-2κ2/n2=1/2. 试问:满足条件的n有多少个取值?并证明你的结论.     

对一道数学题解答的探究

第五届美国数学邀请赛的一个试题为:求满足下述条件的最小正整数n,对于这个n,有唯一的正整数k,满足8/15相似文献   

关于函数方程ψ(n~(x+y))=n~xψ(n~y)+n~yψ(n~x)

对于正整数k,设ψ(k)是k的Dedekind函数.本文证明了方程ψ(nx y))=nxψ(ny) nyψ(nx)无正整数解(n,x,y).     

例谈用逐步调整法证明不等式

如果不等式是一个n元对称式,那么应用逐步调整法来证明有时显得较方便。下面通过两个例子的分析来说明这方法的意义。例1 已知a_1,a_2,…,a_k,…为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,下列不等式成立: sum from k=1 to n (a_k/k~2)≥sum from k=1 to n (1/k). (第二十届国际数学竞赛试题第5题) 证:(1) 如果已知数列恰好满足条件: a_1相似文献   

美国邀请赛一题的引伸

第五届美国数学邀请赛有这样一道试题:求满足下述条件的最小正整数n,对于这个n,有唯一的正整数k,满足8/15相似文献   

第63届IMO预选题(一)

<正>代数部分1.已知正实数列{a_n}满足对于任意的正整数n,均有a_n+1²+a_na_n+2≤a_n+a_n+2.证明:a_{2 022}≤1.2.设正整数k≥2.求最小的正整数n≥k+1,满足下述性质:存在由n个不同实数构成的集合,使得这个集合中的每个元素都是此集合中另外k个不同元素的和.