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向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线,故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是:存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为:若向量a, b不共线,(a≠0, b≠0),且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=0,这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.举例说明如下: 相似文献
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基础篇诊断练习一、选择题1.下列说法正确的是 ( )( A)方向相同或相反的向量是平行向量 .( B)零向量的长度是 0 .( C)长度相等的向量叫相等向量 .( D)共线向量是在一条直线上的向量 .2 .已知非零向量 a,b满足关系式 :|a+b|=|a -b|,那么向量 a,b应满足的条件是 ( )( A)方向相同 . ( B)方向相反 .( C)模相同 . ( D)相互垂直 .3.给出下列命题 :( 1) k为实数 ,若 k . a =0 ,则 k =0或 a =0 .( 2 )若 a与 b共线 ,b与 c共线 ,则 a与 c共线 .( 3)若 a0 为单位向量 ,a与 a0 平行 ,则 a =|a|a0 .( 4) a≠ 0 ,若 na =mb( m … 相似文献
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在平面向量数量积的定义a·b=|a||b|cosθ中,当b=a时,有a·a=|a||a|cos0=|a|^2,即得出了一个特殊的重要性质a^2=|a|^2.这个性质说明了向量运算与数量运算之间的相互转化关系.利用这个关系可以解决许多问题,现例释如下.[第一段] 相似文献
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1.编制顺口溜
例1 (1)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
若a∥b,则x1y2-x2y1=0;
若a⊥b,则x1y2+y1y2=0.
可编出这样的顺口溜:两向量平行,交叉相乘差为零;两向量垂直,对应相乘和为零. 相似文献
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钟载硕 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):14-16
引入空间向量解决立体几何中的四大类问题 ,其独到之处 ,在于用向量代数来处理空间问题 ,淡化了旧教材的由“形”到“形”的推理过程 ,使解题变得程序化 ,降低思维难度 ,容易掌握 ,体现了工具性作用 .一、用向量解决平行问题的方法( 1 )设a、b分别是两条不重合的直线a、b的方向向量 ,则a∥b a∥b a =λb(λ∈R且λ≠0 ) .( 2 )设直线l在平面α外 ,a是l的一个方向向量 ,n是α的一个法向量 ,则l∥α a⊥n a·n =0 .设直线l在平面α外 ,a是l的一个方向向量 ,p、q是α内的两个不共线向量 ,则l∥α a =xp+yq(x ,y∈R ,x·y≠ 0 ) .( 3 )设m… 相似文献
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平面向量的数量积是平面向量这一节的重要内容 ,许多数学知识可以在本节交汇 ,一些常用的数学方法也在本节得以应用 ,应予以重视 ,未来一定是高考的必考内容 .下面就其所要注意的问题及应用作一点粗浅的探索 .一、平面向量数量积应注意的问题这一节除了要掌握它的定义、性质、运算律、坐标表示外 ,还应注意以下问题 .1.平面向量的数量积是一个实数 ,可正 ,可负 ,可为零 .2 .当 a≠ 0时 ,由 a.b=0推不出 b一定是零向量 ,因为任意一个与 a垂直的非零向量 b,都有 a . b =0 .3.当 b≠ 0时 ,由 a . b =b . c推不出 a =c因为由 a . b =b . c得 ( a… 相似文献
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通过合理地建立空间直角坐标系,利用空间向量,数形结合,可以很方便地解决立体几何中的垂直问题.一、直线与直线垂直问题设a,b分别为直线a,b的一个方向向量,那么a⊥b(?)a⊥b(?)a·b=0. 相似文献
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同学们,也许在读小学甚至读幼儿园的时候老师就教过您:“0乘以任何数都得0”,如果我们用数学符号语言来描述这一数学事实就是:“若a=0,b=0,则x取任意实数等式ax=b都成立”.邵么它的逆命题就是:“若x取任意实数等式ax=b都成立.则a=0,b=0”.当然它的逆命题还可以作如下改进: 相似文献
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两个向量夹角的定义:已知非零向量a与b,作^→OA=a,^→OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.两个向量的数量积定义:两个非零向量a与b的夹角为θ,我们把|a|b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b=|a|b|cosθ. 相似文献
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余永波 《数理天地(高中版)》2014,(10):1-2
1.含有三个实数的集合可表示集合,也可以表示为{a,b/a,1},求a^2014+b^2013=_______.
解要使b/a有意义,则a≠0,所以b/a=0,即b=0, 相似文献
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问题 判断命题“若a∥b ,则a与b的方向相同或相反”的真假。观点一 当a∥b时 ,a与b的方向相同或相反 ,否则 ,a与b不平行 ,故此命题为真。观点二 由于规定了 0与任一向量平行 ,故 0的方向是任意的 ,当a =0时 ,虽然有a∥b ,但由于a的方向是任意的 ,故a与b方向可能既不相同也不相反 ,所以此命题为假。那么如何看待这个问题呢 ?我们先看一下高中新教材《数学》第一册 (下 )中 ,第 95页的有关定义“方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 ,平行向量也叫共线向量 ,规定长度为 0的向量叫做零向量 ,记做 0 ,规定 0与任一向量平行”。大家知道 ,概… 相似文献
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根据向量数量积的定义:a·b=|a||b|cosθ ,易得向量不等式|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b同向,共线即b=λa(λ〉0)时取等号)。此不等式结构简单,形式优美,内涵丰富,利用它可巧妙地解决一类求函数最值和不等式证明问题。下面举例说明它的一些应用。 相似文献
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一、复习策略1.用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题,关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量。对于垂直问题,一般是利用a⊥b(?)a·b=0进行证明;对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理 相似文献
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匡立柱 《数理天地(高中版)》2014,(10):10-12
1.错误理解或遗忘0
例1已知向量a=(1,2-m)与向量b=(m,-m)共线,则实数m的个数是——.
错解a=(1,2-m)与b=(m,-m)共线, 相似文献
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1直设线直方线程l的经各过种点形P式都可以统一为点向式0(x0,y0),v=(a,b)为其一个方向向量(ab≠0),P(x,y)是直线上的任意一点,则向量P0P与v共线,根据向量共线的充要条件,存在唯一实数t,使P0P=tv,即x=x0+at,y=y0+bt.消去参数t得直线方程为x-x0a=y-y0b将其变形为b(x-x0)=a(y-y0).易证当ab=0时直线方程也是b(x-x0)=a(y-y0),我们称方程b(x-x0)=a(y-y0)为直线的点向式方程.1)经过点P0(x0,y0)且斜率为k的直线方程:斜率为k的直线方向向量为(1,k),代入点向式得直线方程为k(x-x0)=(y-y0).即为直线方程的点斜式.2)直线斜率为k,在y轴的截距为b,代入点向式得直线方程为k(x-0)=(y-b),也就是直线方程的斜截式.3)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程:直线方向向量为(x2-x1,y2-y1),代入点向式得直线方程为(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1),即为两点式.4)在x轴的截距为a,在y轴的截距为b的直线方程:直线方向向量为(0,b)-(a,0)=(-a,... 相似文献
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因为零向量不起眼 ,往往被忽视 ,这是不公平的 ,我们应学会从平凡中发现奇异 .仔细分析 ,零向量是一个特殊向量 ,它有两个特征 :( 1)方向不定 ;( 2 )长度为 0 .利用这些特征我们可以得到如下问题链1 由特征 ( 1)引发的问题链( 1)已知 :O是圆内接正三边形 P1 P2 P3 的圆心 .求证 :OP1 +OP2 +OP3 =O证明 :设 a=OP1 +OP2 +OP3 ,将 OP1 、OP2 、OP3 均绕点 O逆时针旋转 12 0°,得到一个新向量 b=OP2 +OP3 +OP1 .所以 a=b,即 a绕 O旋转 12 0°后 ,仍为 a,说明 a的方向不定 ,故 a为零向量 .所以 OP1 +OP2 +OP3 … 相似文献