代数方法在几何问题中的应用

华罗庚先生有句名言：“数无形时少直觉，形少数时难入微．”数与形之间的联系是有机而密不可分的，平面几何中的一些常见的几何量，如长度、面积等，往往兼有“数”和“形”两方面的特性，解题时如果能善于抓住图形中的数量关系，可以有效地利用代数知识达到解题的目的．现举例如下，供参考．     

抓住几何特征 优化解答过程——以2022年新高考解析几何试题为例

解析几何的研究对象是几何图形,从组成图形的几何要素角度来抓住几何特征,然后选择恰当的代数形式或平面几何性质表达试题中的几何关系,能够优化解答过程.     

初中数学几何解题技巧探究

《义务教育课程标准》把“图形与几何”列为四大教学单元之一,充分体现了中学数学教学中平面几何的重要性.本文通过分析平面几何解题能力提高的策略,详细说明几何解题中平行四边形的解题技巧.     

“几何化”思维例谈

在数学解题中,我们常常利用代数的方法解决几何问题,显得简洁明快．反过来,也可以借助几何图形来解决代数问题,即通过对题目中条件与结论的观察,比较,联想,恰当的构造出一个能帮助解题的图形,借助对此图形特性的研究来解决问题,这就是“几何化”思维．     

如何解决平面几何“入门难”的问题

平面几何是研究图形性质的学科,逻辑性较强。与学习代数相比,“入门难”的问题显得更为突出。研究的对象和方法的改变,给学生带来了一些不适应的地方。首先是几何语言,由于几何本身逻辑性较强,因此几何语言比代数更精练、更严谨;其次是对图形不适应,不会看图,不会有根据地画图;再者,推理论证是培养学生逻辑思维能力的重要途径,而学生对推理论证的意义、方法和格式都不熟悉。语言、图形、论证是学习平面几何的几个难点,使学生感到“入门难”。解决几何“入门难”的问题,是数学教研中的一个重要课题。许多数学教师为此做了大量的…     

几何证明的桥梁——“辅助圆”

在平面几何中，面对浩如大海、千变万化的平面几何题，我们不可能找到一种“以不变应万变”的解题“通法”，但可以总结出一些规律性的解题方法。添置辅助线、构造基本图形是几何证明的精髓，辅助线添得巧妙，往往会化繁为简，化难为易。在一些直线形的几何题目中，通过构造圆，使非圆的平面几何图形中的有关线段、角等可添出许多圆的性质，     

利用平面几何知识巧解几何问题

解析几何是用代数方法解决几何问题,它省去了平面几何的逻辑推理,降低了解题难度,但有时运算量较大．在解题中容易出现计算方面的错误．由于解析几何问题与几何图形有着极密切的联系,因此在求解某些几何问题时,若能注意结合图形特征,联想平面几何知识,巧妙地运用有关的平面几何性质,则可避免冗长的推导和运算,大大降低难度,使解题过程简捷而明了,获得事半功倍的解题效果．     

含60°内角三角形的一个图形性质与竞赛题的命制

数学竞赛中的平面几何试题以平面图形为载体,或通过几何元素之间的特殊关系展示出优美的图形,或通过特殊的图形展示几何元素之间的优美性质．“立足基本图形,深入挖掘性质;基于基本性质,巧妙构作图形”是命制平面几何试题的两个基本途径．     

“退位思考”在解题中的作用

<正> 贵刊2001年第8期刊登了徐秀莲《利用特殊图形巧解填空题》一文.该文介绍了在几何中利用特殊图形解答填空题的方法,实际上这是一种“退位思考”的解题方法,即“一般→特殊→一般”的思考方法.下面就代数、几何方面的应用举例证明之:     

利用三角法解平面几何题

三角法是代数法的一种.在解题过程中,先利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角函数公式等将几何中的线段、角的关系表示成代数形式,再通过三角运算解决几何问题,既可以使平面几何中复杂的量与量之间的关系变得简单明了,又可以将复杂的演绎推理转化为三角运算,思路清晰.     

向量法在中学数学中的应用举例

所谓向量法,就是利用向量的运算来研究图形性质的方法.几何学的主要内容是研究空间或平面图形的性质,而空间或平面图形可以看成是点的集合.由于向量的几何性质,又由于向量、点、序偶之间的对应关系,可以把图形的基本结构转为向量的关系,这实质就是几何问题的代数化处理.这样,几何中的添线、补图等技巧让位于代数中的解法.运用向量方法处理中学数学中有关问题能开阔解题思路,化难为易,使之更简捷地得到解决.     

解几复习中如何提高学生的解题能力

平面解析几何是用代数的方法研究平面图形性质的一门学科。解题的基本方法是“坐标法”(或称“解析法”)。解题的一般步骤为:几何问题(翻译)代数问题(代数方法)代数结论(翻译)几何答案。要提高学生的解题能力,首先必须使学生明了解题的基本方法和一般步骤,善于进行几何语言与代数语言之间的“翻译”。同时还需注意以下几点。一、要重视定义、概念在解题中的应用。二次曲线的各种定义反映了自身最本质的属性,是理解这些曲线的概念,推导曲线的方程和解决有关问题的根本依据。解题中重视定义和概念的应用,有时能简化解题过程,利于提高学生的解题能力。     

四边形的趣味“变脸”

四边形是平面几何的基本平面图形之一，它是学好平面几何的重要基础，四边形变化无穷、奇妙无比，在计算或证明有关四边形的几何题时，有时需要将四边形通过割补、轴对称、平移、旋转等图形变换的方法把四边形“变脸”，所谓“变脸”，这里指的是图形的等积变形，变形的原则是：变未知为已知，变一般为特殊，变繁杂为简约，为方便解题创造条件或另辟蹊径，从而使问题化繁为简、化难为易。     

“基本型”中考数学压轴题的解题策略探究

<正>中考的压轴题较为复杂,包括动态几何、平面几何与综合类问题,对于上述问题的求解,重点在于“基本型”的寻找．因为以上问题存在共性,需要同学们从抽象的问题中探寻“基本型”,也就是问题的原型,才能顺利找到解题规律,正确解答压轴题．一、“基本型”的动态几何题解题策略动态几何问题经常出现在中考数学的压轴题中,面对图形的复杂变化,需要同学们能够透过图形,寻找到基本型,具体包括如下几种:一是A型,二是8型,三是K型,四是反A型．上述图形经常隐藏在动点问题中,需要精准找出,才能高效解题．     

漫谈辅助圆的应用

圆是平面几何的主要研究对象，具有丰富的几何性质，它的性质已为学生所熟知．解析几何再一次用代数方法研究圆的目的在于：一方面是渗透解析几何中研究平面图形性质的基本思想方法；另一方面是通过平面几何知识的合理应用，增强化归与转化能力，达到培养求简意识的目的．某些解析几何问题，引入辅助圆，灵活运用圆的平面几何知识，合理地将平面图形的性质转化成数量关系．这是解题的关键，它直接制约着解题的繁简，乃至成败．圆具有优美的代数形式——圆的普通方程，圆具有优美的三角形式——圆的参数方程．     

余弦定理的形数转换功能

内涵丰富的余弦定理以其优美的结构和广泛的应用而深为人知,它独有的功能与作用吸引着众多的研究者。有的研究如何运用余弦定理把几何问题转换为代数问题,通过数形结合达到完美的解决几何问题的目的;有的则研究如何运用余弦定理把代数问题几何化,在数形结合点上寻觅最佳的解题方案;……总之,对余弦定理的种种研究,常给解题带来令人满意的效应。一、“形”转“数”功能余弦定理表达了三角形边与角的一种微妙关系,这种关系,既反映了图形因素的本质特征,又蕴含着标准的一元二次方程模型,充分挖掘余弦定理的这种功能与作用,已成为数学中     

“三垂足一线”：性质与应用

传统的平面几何教学侧重于公理的牢记、定理的描述,而轻视对图形的感知,学生对数学的学习也往往是重视解题过程的模仿而轻视解题思路的整理、解题方法的归纳总结,这样会造成对习题的认识不能类型化,对知识的把握不够系统化．笔者认为,在平面几何的教学中,重视图形的感知、规律的探索可以帮助学生扭转平面几何难学的教学现状．现以“三垂足一线”图形的研究进行探讨．     

强化“几何”特征 重视“结合”意识——例谈解析几何中强化“几何”特征和综合解题意识培养

解析几何的本质是几何问题,几何问题借以代数计算,更加便捷,代数问题通过几何图形更加形象直观,高考主要借以代数工具解决几何问题,但是也不能忽略对代数问题几何化或者代数几何相结合意识的培养,特别是强化运用“几何”特征以及代数几何结合解决解析几何问题.文章中以高考真题和名校模拟题为例进行了一题多解分析,并利用反馈变式练习以强化解题意识.     

小议“图形运算”

在初等数学中,几何与代数是彼此独立的两个分支;在方法上,它们也基本是互不相关的.解析几何的建立,不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学,而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来.随着高中数学引入了解析几何,很多同学对于图形问题一般都会考虑建系转化为代数问题处理.久而久之,就弱化了图形运算的能力,所以笔者试撰小文,阐述有关图形问题中体现的图形运算,以期打破学生解题的定式     

借“形”解题

数形结合解题就是在对题目中的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何含义,力图在代数与几何的结合上去找出解题思路.借“形”解题是数形结合的最基本手段,本文就几种常见的借“形”求解的问题,作个简单举例说明.一、数轴【例1】求使不等式|x-4| |x-3|相似文献