构造对偶式的八种途径

在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．下面通过实例来谈谈构造对偶式的八种实施途径．     

美妙的构造技巧——对偶法

数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似并具有某种对称关系的一对对偶关系式，然后通过对这对对偶关系式进行适当的加、减、乘等运算，达到解决数学问题的目的．在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题巧妙地得到解决，收到事半功倍的效果．实施对偶法的前提是构造对偶关系式，下面我们通过实例来介绍构造对偶关系式的几种实施途径，以及如何对所构造的对偶关系式进行合理的运算处理．     

构造对偶式解题的七种途径

构造对偶式解题是一种常用的方法 ,是指挖掘出题目中潜在的对称性 ,充分利用对称原理 ,就能在纷繁的困惑中 ,求得简捷的解法 .下面例谈构造对偶式解题的若干途径 ,供参考 .一、互倒构造是指利用倒数关系构造对偶式 .例 1　若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1 ) ,求证 11 -ｘ ｙ 11 -ｙ ｚ 11 -ｚ ｘ≥ 3 .证明　设Ｍ =11 -ｘ ｙ 11 -ｙ ｚ 11 -ｚ ｘ,构造互倒对偶式Ｎ =(1 -ｘ ｙ) (1 -ｙ ｚ) (1 -ｚ ｘ) ,则Ｍ Ｎ =11 -ｘ ｙ (1 -ｘ ｙ) 11 -ｙ ｚ (1 -ｙ ｚ) 11 -ｚ ｘ (1 -ｚ ｘ) ≥ 2 2 2 =6.而Ｎ =3 ,故Ｍ≥ 3 .即　 11 -ｘ ｙ 11 -ｙ …     

构造对偶式求一类三角函数式的值

三角函数式求值的方法很多，笔者发现，构造对偶式来求某些类型的三角函数式的值时非常简便，并且能够推导出比较好的结论，下面举例说明。     

构造对偶式解数列题

求数列中若干项的和或积的问题,如果能对其结构进行对称性的分析,将数学的对称美与题目的条件或结论相结合,就能构建一组互相关联的对偶式,从而确定解题的总体思路或入手方向.其实质是让美的启示、美的追求在解题过程中成为宏观指导力量,使问题的解决过程更加简洁明快.     

构造对偶式解题的几种方法

构造对偶式解题是一种常用的方法,是指挖掘出题目中潜在的对称性,充分利用对称原理在纷繁的困惑中,寻觅到简捷的解法．     

互余对偶——“灵动”的构造技巧

数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，达到解决数学问题的目的．在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．三角中的正弦与余弦是两个对称元素，它们具有如下恒等关系式：     

构造对偶递推式求一类数列的通项公式

给定数列{an},我们可得如下结论: 若数列{an 1-kan}(k≠0)是公比为l的等比数列,则数列{an 1-lan}是公比为k的等比数列.     

构造对偶式求值

在数学竞赛中，有一类求值问题可利用构造对偶式来解决．请看以下数例．     

构造对偶式解题的几种方法

构造对偶式解题是一种常用的方法,是指挖掘出题目中潜在的对称性,充分利用对称原理在纷繁的困惑中,寻觅到简捷的解法.一、互倒构造此法是利用倒数关系构造对偶式.例1若x、y、z∈(0,1),求证11-x+y+11-y+z+11-z+x≥3.证明:设M=11-x+y+11-y+z+11-z+x,构造互倒对偶式N=(1-x+y)+(1-y+z)+(1-z+x),则有M+N=11-x+y+(1-x+y)+11-y+z+(1-y+z)     

构造对偶式 妙解压轴题

<正>何为对偶?在不同的领域有着不同的诠释.在词语中,它是一种修辞方法,两个字数相等、结构相似的语句,表现相关或相反的意思称为对偶.在数学中,我们把形式相似,具有某种对称关系的一对式子称为对偶式.在解题时,通过合理构造对偶关系,并通过对对偶关系进行适当的和、差、积运算,往往能使问题得到巧妙的解决,收到事半功倍的效果.     

数学解题教学中引导学生突破难点的几种策略

<正> 数学教学中,注重学生思维能力的培养,已成为大家的共识.在多年教学实践中,笔者和有关的数学老师,用数学题难点的突破作为载体,培养学生的思维能力,收到了一定的成效. 一道数学题,学生不会解,往往是对题中关键处,或者不理解而     

构造对偶关系解题

例1 函数f（x）=√3x-b＋√3-x的值域是______. 解函数 u=f（x）=√3x-6＋√3-x =√3·√x-2＋√3-x 的定义域为[2,3]．     

数学“对偶”欣赏

<正> “明月松间照,清泉石上流”,一幅绝妙的对偶,让人感到美不胜收.在数学解题过程中,如果我们能恰当地运用对偶关系,不仅能提高解题速度,同样会给人带来美的享受.本文略举几例,与大家共赏.     

数学中的对偶关系

<正>数学中的对偶关系是指形式相似,并具有某种对称关系一对关系式,在解题过程中,有时若能合理构造对偶关系式,并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算,可达到解决数学问题的目的.在解题的过程中,恰当使用对偶法,往往能使问题得到巧妙     

构造法解题的五种途径

构造法在解决数学问题中有着广泛的应用.一般说来,利用具体问题的特殊性,为待解问题设计一个新的关系结构系统,即构造一个数学模型,通过对这个数学模型的研究去实现原问题的解决,这就是构造法.构造法是实现化归的一种方法,通常有以下5种途径:     

构造对偶式求非对称式的值

形式x^21 x^22,1/x1 1x2,(x1 1)(x2 1)的代数式都是关于x1、x2的对称式．上述各式通过变形，都可用只含“x1 x2”、“x1x2”的式子来表示，进而可以利用根与系数关系求得这些代数式的值．本文介绍一种求非对称式的值的方法．     

构造互余对偶式巧解几类三角题

在化简、求值或证明一些三角问题时,如果能灵活地运用对偶的数学思想,合理的构造出互余对偶式,并对原式和对偶式进行和、差或积的运算,不但可以简化解题过程,还能切身体会到数学中的对称美,这种美不仅给予我们在欣赏和陶冶之时的愉悦之感,还能启迪我们的思维,引领我们的解题方向．下面例谈构造互余对偶式,巧解几类三角题,供大家欣赏．