运用面积法证明平几的一个重要定理

初中几何《相似形》一章中,平行线分线段成比例定理是研究相似形最重要和最基本的定理,然而教科书中并没有给出这个定理的严格证明,教参中又指出这个定理的证明涉及到无理数理论、极限思想等等,意指这个定理现阶段无法证明.事实上,对于这个定理,如果运用面积法完全可以给出一个既严谨又简捷的证法.     

两等圆中“等角对等弦”之应用

<正>初中数学教材九年级上册中,关于圆周角定理有一个重要的推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等.这个定理又可简记为:等角对等弧或等角对等弦.这个定理的前提条件是:"同圆或等圆中",平时最常见的都是在同圆中来应用,在不同     

勾股定理的历史与证明

勾股定理是个伟大的定理。这个定理有十分悠久的历史和极其重要的意义,人们一直对勾股定理颇感兴趣,因为这个定理在生活中很实用,所谓勾股定理——在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。世界上几乎所有文明古国都对此定理有所研究。     

妙用均值定理求多元函数的最值

在教学实践中,学生一般都能用均值定理求一个变量的最值,这只需按照“一正、二定、三等”六字诀即可搞定;但是,对于含双元（或两个以上）的最值问题,学生往往能列出式子,但无法求出最值来!笔者的体会是,不必拘泥于“定值”二字,而应尝试用均值定理去“化积”、“化和”,从而把这个非定值的积或和约分,进而突破“瓶颈”,使问题获解．举例说明如下：     

三角形的“三边关系定理”浅析

通常把“三角形任何两边的和大于第三边”叫做三角形的三边关系定理,它在三角形有关边的不等式的问题中最常用到。初学几何的同学普遍反映,三角形中不等式的证明是个难点,解（证）题时常常摸不着要领,感到无从下手。这在很大程度上与学好用好三角形三边关系有关,那么,怎样才能学好用好三角形的三边关系定理呢？首先要真正理解定理。三边关系定理是由公理“两点之间线段最短”得到的,这个定理告诉我们：三角形的三边中,最大边比其余两边的和小;最小边比其余两边的差大;任何一边都介于其余两边的差与和之间。这里要特别强调定理中的…     

脍炙人口的“斯坦纳—雷米欧司”定理

“两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形”,这就是由雷米欧司提出而由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳—雷米欧司”定理.1840年,德国数学家雷米欧司在给当时的瑞士大数学家斯坦纳的一封信中说到:“几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形的两底角平分线相等,初中生都会证.但反过来,三角形的两内角平分线相等,这个三角形一定是等腰三角形吗?我至今还没想出来.”斯坦纳答应研究这个问题,但是,直到1844年,斯坦纳才发表这个定理的证明方法.于是,这个问题便以“斯坦纳—雷米欧司”定理而闻名于世.斯坦纳的证明发表后,引起数学界的极大反响.论证这个定理的文章发表在1844年至1864年几乎每一年的各种杂志上.后来,一家数学刊物公开征解,竟然收集并整理出了60多种证法,编成了一本书.直到1980年,美国《数学教师》月刊还给出了这个定理的研究现状,而且他们又收到2000多封来信,增补了20多种证法,其中包括一个最简单的直接证法.经过几代人一百多年的研究“,斯坦纳—雷米欧司”定理成为数学百花园中最惹人喜爱的名花之一.“斯坦纳—雷米欧司”定理为何魅力无穷?一方面,它是初中教材上的最基本、最常用、最简单的定理之一——“等...     

一个基本定理在髓最值问题中的应用

“两点之间,线段最短”是初中数学中的基本定理之一,也是人们在生活中认识到的基本事实．而对于数学中的最值问题,学生往往无从下手,其实往往就是这个基本定理的应用,这里举例说明．     

谈谈循环论证

中学平面几何采用的是欧几里得公理系统.这个公理系统,从一些基本概念和公理出发,推出了一系列的定理.其中每一个定理,都是依据基本概念、公理、定义,或者前面已经证明过的定理来证明的.     

一类函数最值的统一求法

高中《代数》下册P9例3给出了两个很有用的最值定理．但“和”或“积”为定值,“=”不成立时,该定理就不适用了,为了解决这个问题,我们首先给出两个定理。     

用均值定理求最值时应注意的问题

"两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数"是不等式一章的一个重要定理.它在不等式的证明、求函数的最值和解决实际问题中应用非常广泛.应用这个定理求最值时,要求满足"一正、二定、三相等"3个条件,即变量是正数、和或积是定值、等号成立.应用这个定理的关键步骤是通过变形将积或和变为定值.但同学们在应用时常常出现错解,下面通过分析错解的原因来强化应注意的几个问题.     

内部还是外部

拓扑学的一个基本定理叫做约当曲线定理(它是用法国数学家卡米耶·约当的姓氏命名的)。这个定理指出,任何的简单闭曲线(一条两端相接并且不自身相交的曲线)都把一个平面分成两个区域——一个外部和一个内部(图1)。这个定理看上去相当浅显,但是实际上证明起来却相当困难。     

注重几何定理中的图形语言教学

几何定理是文字语言、符号语言、图形语言三者完美的统一体。图形语言反映定理最直观、最简捷 ,学生接受起来最迅速 ;解答几何问题 ,也大都需要借助图形语言 ,可以说 ,图形语言是学生解题思维的起点。但是 ,许多教师在教学过程中 ,不注意图形语言与其他两种语言的有机结合 ,只是让学生死记硬背定理的文字语言或符号语言 ,结果学生在解答几何问题时 ,面对几何图形 ,看不出图中的几何定理 ,更作不出有用的辅助线 ,解题思维陷入困境。因此 ,注重几何定理中的图形语言教学 ,应是几何教学的一大突破。一、几何定理图形语言的初识阶段几何定理图形…     

用构造法证明平面几何的一个重要定理

平行线分线段成比例定理是研究相似形最重要和最基本的定理，遗憾的是，教科书并没有给出该定理的严格证明．对此，教参是这样解释的——证明涉及无理数理论、极限思想等，学生尚不能接受．事实上，对于这个定理，如果运用构造法将此问题进行巧妙地转化，则完全可以得到既严谨学生又易接受的证法．     

压缩映象原理的证明及应用

压缩映象原理是泛函分析中一个最常用、最简单的存在性定理,作为其特殊情形可用来研究某类递推数列的敛散性.这里给出了这个定理的两种证明方法并举例说明如何利用它求一类递推数列的极限.     

中值定理在高等数学解题中的应用

微分中值定理是微分学中非常重要的定理,它包括罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。其中,拉格朗日(Lagrange)中值定理是核心,罗尔(Rolle)中值定理是其特殊情况,柯西(Cauchy)中值定理是其推广,它们共同组成了微分学的理论基础,在微分学中占有很重要的地位,是数学研究中的重要工具之一,微分学的很多重要应用都建立在这个基础上,并且应用也越来越广泛。     

多个不同频率的正弦交流电源共同作用下交流电路叠加定理的证明

多个不同频率的正弦交流电源共同作用下，交流电路的叠加定理在电路分析中具有重要的理论意义和实用价值。但现行的电工学和电路理论教材对这个定理都直接引用而无一给出证明。本文对这个定理进行了较为严格的证明。     

等距定理的推广

为了推广M.Ledoux的等距定理，本文主要利用了丘成桐关于截断函数的方法，改进了q≥1这个条件，证明了对任意的q等距定理都成立。     

例谈学生创新意识的培养

初中几何第二册第五章第二节“平行线分线段成比例定理”,是研究相似形最重要和最基本的理论。课本对这个定理是用举例的方法引入的,没有给予严格的证明,人教社编写的配套用书《教师教学用书》对该定理没有给出严格证明作了如下解释：“因为证明涉及无理数理论、极限思...     

十个最优美的数学定理

数学定理一般都被误认为是枯燥无味的,哪里有什么美可言。但数学家们有他们自己的审美标准,能从大家认为干瘪瘪的定理中发现美。几年前读过一篇数学小品文,文中提到1998年David Wells在《The mathematicalIntelligencer》(vol.10 No.4 P.30)针对数学界发出问卷,评选最优美的数学定理。文中列出二十四个被当今数学家认为最简明、最优美的数学定理让许多大数学家打分。有些数学家认     

斯特瓦尔特定理与十二平方定理

斯特瓦尔特(Stewart,1717——1785)是十八世纪的英国数学家,于近世初等几何研究甚多。在其一生众多的研究工作中,有一个以他名字命名的斯特瓦尔特定理(下面定1)流传最广,这个定理可以解决许