三角形、四边形的统一的面积公式

<正>初中数学教学中,经常会遇到直角坐标系中的三角形、四边形的面积问题.我们有:对角线互相垂直的四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半.(证明略)菱形、正方形是这类四边形的特殊情况.高一学习钝角的三角函数及诱导公式后,对角线夹角为θ的四边形面积也可求:在四边形ABCD中,AC与BD的夹角为θ,则S四边形ABCD=1/2AC·BD·sinθ.(证明略)     

四边形的一个性质及应用

菱形的对角线互相垂直,但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形。那么,对角线互相垂直的四边形是否具有某种特殊的性质呢?有如下的定理四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直的充要条件是:两组对边的平方和相     

菱形的面积公式的推广结论

计算菱形面积时,如果已知其对角线长,可运用公式S_(菱形ABCD)=1/2AC·BD．公式的证明如下：如图1．设对角线AC、BD相交于点O．由菱形的对角线互相垂直,知AC⊥BD,从而OD、OB分别为△ACD、△ACB中AC边上的高,因此有S_(菱形ABCD)=S_(△ABC)+S(△ADC)=1/2AC·OB+ 1/2AC·OD=1/2AC·BD．     

一个几何定理的简捷证法

部编全日制十年制初中数学教材《几何》第一册第185页给出了三角形内角平分线性质定理的证明。现介绍一种较为简捷的证法:已知:△ABC 中,AD 平分∠BAC求证:(BD/DC)=(AB/AC).     

反思八年级数学教材中的一处错误

引言:人教版八年级下册数学课本中第107页最后一段是下面内容:菱形是轴对称图形,它的对角线就是它的对称轴,我们不难发现:菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.比较一般平等四边形的对角线和菱形的对角线,你会发现,菱形的对角线把菱形分成四个全等的小直角三角形,而一般平行四边形只被分成了全等的两对三角形,一对是锐角三角形,一对是钝角三     

巧证平行四边形

平行四边形的判定方法较多 ,有平行四边形的定义及其四个判定定理。在判定一个四边形是平行四边形时 ,要根据已知条件的特点 ,灵活选择判定方法。一、已知条件出现在对角线上时 ,一般采用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。例 1 .已知 :如图 , ABCD的对角线AC、BD相交于点 O,E、F是 AC上的两点 ,且 AE=AF。　　求证 :四边形 BFDE是平行四边形。分析 :由平行四边形的性质 ,易得 BO=DO,EO= FO,可用“对角线互相平分”来证明。证明 :∵四边形 ABCD为平行四边形 ,∴ BO=DO,AO=CO。又∵ AE=CF,∴ AO- AE=CO- CF。即…     

巧用三角形中位线

问题1已知如图,正方形ABCD对角线AC、BD交于点0.BE平分∠DBC交AC于,交DC于E,求证:OF=1/2DE (方法一)分析:从1/2DE联想到三角形的中位线定理,但OF显然不是ΔBDE的中位线,这个三角     

“垂径定理”的应用(初三)

圆的垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦.这个定理有不少的应用.请看以下五例:例1如图1,已知AC、BD是⊙O的内接四边形ABCD的对角线,且BD垂直平分半径OC,在AC上取一点P使CP=OC,连结BP并延长交AD于点E,交⊙O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.(04年荆州市初数竞)     

菱形面积公式的应用

初二几何课本第二册第152页上介绍了菱形的面积公式：s＝：s,其中a、b分别表示菱形的两条对角线长．下面以近年来的中考题为例,介绍这个公式的应用．例回已知菱形ABCD的面积为％,对角线AC的长为16,则此菱形的边长是（）（A）3厄;（B）Ic;（C）14;（D）ZO．（1996年海南省）解女口图1,S＝96,AC＝16．例2如图2,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,AC：BD＝2：3,菱形的面积为12CmZ．求这个菱形的周长．（1”5年四川省）解设＊c＝Zx,BD＝3X,那么（M＝X,OB＝Mx．”．·S＝MAC·BD．士·Zx·3x＝12．解之,得x＝2．…     

三等分任意角

同学们都会平分任意角,但是,大家会三等分任意角吗?我们学了矩形后,知道了矩形的对角线相等且互相平分。如图1,在矩形ABCD中,对角形AC、BD相交于点O,根据矩形的性质有:AO=CO=BO=DO=1/2 AC=1/2 BD。这时可以得到直角三角形的一个性质:直角三角     

“三点共线”不容忽视

四边形是初中几何的重要内容之一,也是中考的必考内容,它既是三角形知识的扩展,又是学好相似形和圆的基础.但在四边形的证题过程中,不少同学都容易犯一个错误——漏证“三点共线”.一、证题过程中漏证“三点共线”例1从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,求证连接各垂足的四边形是矩形.已知:如图1,在菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,OH⊥DA于点H,依次连结EF、FG、GH和H E,求证:四边形EFGH为矩形.误证:因为BD为菱形ABCD的对角线,所以∠ABD=∠CBD.又因为OE⊥AB,OF⊥BC,由角…     

习题—定理—习题

全日制十年制学校初中课本《数学》第五册第184页第18题是求证:在园内接四边形ABCD中,AB·CD+BC·AD=AC·BD(提示:设法在BD上取P点使AB·CD=AC·BP)。证明:从A引直线AP交BD于P, 使∠BAP=∠CAD又有∠ABP=∠ACD, ∴△ABP∽△ACP, 图1 ∵BP:DC=AB:AC, ∴AB·DC=AC·BP。……①又∵∠BAP=∠CAD, ∴∠BAC=∠PAD, 又∠ACB=∠ADP。∴△ABC∽△APD, 则 BC:PD=AC:AD, ∴AD·BC=AC·PD……②①+②得AB·CD+BC·AD =AC(BP+PD)=AC·BD。数学老师告诉我们,这是平面几何中一个相当重要的定理,叫做Ptolemy定理:“园内接四边形中,二条对角线所包距形面积等于一组对边所包距形面积与另一组对边所     

巧用特殊平行四边形的对角线

矩形、菱形、正方形是三种特殊的平行四边形,它们的对角线具有一些特殊性质,这就是:1.矩形的两条对角线互相平分且相等;2.菱形的两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;3.正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.灵活巧用这些性质,能顺利地解答一些相关问题.     

开放型试题的五种解题思路

一、用归纳法总结以所有题设条件为目的的开放型试题例 1 .如果四边形 ABCD满足条件 ,那么这个四边形的对角线 AC和 BD互相垂直 (只需填写一组你认为适当的条件 )。分析 :命题者编拟此类考题 ,旨在考查学生的汇聚思维能力 ,让学生殊途同归 ,起到归纳总结之作用。事实上 ,从图形的角度着眼 ,有四边形 ABCD是菱形或正方形 ;从定理的角度着眼 ,依“直角三角形两锐角互余”的逆定理有∠ ABD ∠ BAC=90°或∠ DBC ∠ BCA =90°或∠ ACD ∠ CDB=90°或∠ BDA ∠ DAC=90°;再依据“等腰三角形三线合一”定理有 AB=AD,CB=CD或 BA…     

四边形的一个定理及其应用

<正> 本文将四边形的一个关于对角线互相垂直的定理及其部分应用介绍如下,供师生参考。 1 定理 在四边形ABCD中,如果AB~2+CD~2=AD~2+BC~2,那么AC⊥BD。 证一:如图1,若AC不垂直BD,设∠DMC>∠BMC,AC交BD于M,则由余弦定理和公式cos(180°-α)=-cosα得     

Brahmagupta定理及其推广与应用

<正>一、Brahmagupta定理及推广Brahmagupta定理如图1，圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边AD作垂线，其所在直线必平分其对边BC．反之亦然．简证如图1，过点B,C分别引MN的垂线，垂足为E,F．易知ΔBEP∽ΔPMA，ΔPMD∽ΔCFP,     

数学竞赛单元训练题（初中）——特殊四边形

1．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边的平方，菱形的一个钝角的大小是（ ）．     

抓住极限图形进行解题过渡

抓住图形的变化趋势——极限图形,进行过渡,是将一般图形特殊化,复杂问题简单化的一条有效途径,在几何中可谓是一种图形变换。如果利用得好,对教学有利,对解题有利。现按所利用的极限图形的不同,举例归纳如下。一、应用极限点例1 如图1,凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且AC⊥BD,已知OA>OC,OB>OD, 求证:BC+AD>AB+CD。 (1988年祖冲之杯初中数学邀请赛题) 分析:如图1,若令A、     

对一道上海市中考试题不同解法的思考

1992年上海市初中升学考试试卷中有如下一道题: 如图(图略),已知在圆内接四边形ABCD中,AD≠AB,∠DAB=90°,对角线AC平分∠DAB。(1)求证:DC=BC;(2)设AD=a,AB=b,求AC的长。对于第(1)小题,比较简便的证法是用圆周角的性质和等弧对等弦定理来进行证明。证法一:∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC, ∴(?)=(?),∴DC=BC。比较多的学生运用圆周角性质和等腰三角     

一题多解对学生创造性思维能力的培养

新的数学教学大纲要求教师树立学生发展的教育观念 ,改革教学方法和教学手段 ,激发学生学习数学的兴趣 ,培养学生的创新精神和实践能力 ,提高学生的素质 ,塑造学生创造性的人格 .而现行初中数学课本中 ,不少习题内涵丰富 ,对学生思维能力有不同寻常的作用和丰富的教学价值 .因此 ,在教学中要善于通过“一题多解”引导学生求异思维 ,促进思维的发展 .例 1　如图 1 ,已知梯形ABCD的上底AD长1cm ,下底BC长 4cm ,对角线AC长4cm ,BD长 3cm ,求梯形ABCD的面积 .分析 1 :已知梯形上、下底 ,求梯形面积时 ,同学们最常想到的就是求梯形的高 ,…