利用投影法选取重积分的上、下限

重积分的学习在微积分中是一个比较难的内容。难就难在积分的上、下限的选取不容易掌握。很多教材都是从微元法来给出的积分上、下限,但这种方法的实质可以用投影的方式来掌握,而这种投影的方式在某种意义上说明一种公式化的方法。实践证明,也是学生容易掌握的一种方法。 具体方法如下:(以直角坐标系下的二重积分为例) (一)X型积分区域D 特点:平行y轴的直线穿过D的内部,与D的边界至多有两个交点。如图(1)、(2)、(3)。     

球面坐标下计算三重积分的一种具体方法

利用球面坐标计算三重积分过程中,确定单积分上下限是根据积分区域的空间图形,由观察法来直观确定的,利用在极坐标下计算二重积分时,确定单积分上下限的方法,可以得出一种具体的规律性方法.由此,在高等数学的教学和学习过程中提倡学生进行创造性学习.     

递推法在几类积分问题中的应用

递推法在求解与正整数n有关的积分问题中,有着极其重要的作用,一般用于被积函数含有n次幂的积分计算中.某些特殊情况,如积分上、下限含有n,积分结果要出现n次幂等,也需要用递推法来解决,以此降低解题难度,快捷、准确地求出积分结果.列举了递推法在几类积分问题中的应用,以供参考.     

Cn空间有界域上Cauchy-Leray公式和Cauchy-Fantappiè公式的拓广

本文得到Cn中有界域上积分核含有向量函数的Cauchy-Leray和Cauchy-Fantappiè的拓广式,同时还可以得到Cn空间中有界域上全纯函数著名的Cauchy-Fantappiè公式的一种积分核含有向量函数的拓广式,在公式中适当的选取参数,可以得到至今许多区域上光滑函数和全纯函数种种已有积分公式.     

关于重积分为逐次积分与定限

计算重积分是把它转化为逐次定积分。这个转化的关键是确定对变量的先后积分次序以及每次定积分的上、下限。这也正是初学者常感困惑的地方。我仅就直角坐标系下的重积分问题谈一点浅见。一.二重积分问题给定一个二重积分问题后,首先要画出积分区域的图形,解出曲线交点的坐标。然后再去考察图形。一般情况下,如果积分区线D的(?)界曲线(?)有两条平行于X轴的线段(?)     

关于重积分计算的教学

重积分的计算，一般是化多重积分为单重积分来计算，而学生感到困难的往往是如何化；重积分为单重积分。现行各种教科书的处理方法：对二重积分采取直观的根据图形来求出积分上下限的方法，这种方法虽有其直观、容易接受的优点，也有其缺点，学生常会顾此失彼，不是扩大了积分区域，就是缩小了积分区域。对于三重积分，这种方法只能适用于十分简单的区域，遇到一般的区域就很难应用了。     

C^n空间有界域上Cauchy-Leray公式和Cauchy-Fantappie公式的拓广

本文得到C^n中有界域上积分核含有向量函数的Cauchy—Leray和Cauchy—Fantappie的拓广式，同时还可以得到C^n空间中有界域上全纯函数著名的Cauchy—Fantappie公式的一种积分核含有向量函数的拓广式，在公式中适当的选取参数，可以得到至今许多区域上光滑函数和全纯函数种种已有积分公式．     

一类含变上限积分极限式的等价无穷小量研究

对文献[1]中下限为零的变上限积分的定理进行了推广,讨论了下限为任意常数的变上限积分,从而使得这类变上限积分的极限问题变得简捷。     

关于三重积分的计算

三重积分是二重积分的自然推广,其概念和性质与二重积分完全相似,只是积分区域由平面变为立体。因此有关空间解析几何的知识与空间想象能力是学习三重积分必不可少的基础。可先把平面的各种方程,常见的空间曲面(如抛物面、双曲面、椭圆面、球面、柱面等)的方程和图形总结复习一下,以期为学习三重积分的计算铺平道路。如同二重积分的计算要化为二次单积分一样,三重积分的计算也是通过化为三次单积分来实现的。为此,当然也要解决积分次序与各次积分的上、下限问题。     

数形结合法在确定随机变量函数分布中的运用

利用数形结合法,分析概率论课程中关于"连续型随机变量函数分布"一般求法.该方法将微积分中的函数理论与图形的几何性质联系起来,使得图形的面积通过积分理论与随机事件发生的概率对应起来,着重分析如何借助于图形来确定积分区域上下限.     

注意状态函数的积分上下限——《热统》中一道例题的补充推导

《热力学·统计物理》(汪志诚编)(第一版)一书第80页有一例题:以T、p为状态参量,求理想气体的焓、熵和吉布斯函数。作者认为教材中所给解答,由于积分上下限的不明确导致积分常数的混淆,易给读者带来物理概念的模糊和计算结果的错误。该教材第二版也未见更正。本文给出该例题的详细推导,并且与教材中相关式子作对照说明,以引起读者对状态参量积分上下限的重视。 例题的详细推导如下: 解:一摩尔理想气体的物态方程为 pv=RT (1)由(1)式可得 (2)在选T、p为独立参量时,焓的全微分为 (3)即教材(22.7)式,此处不加推导。(3)式乃全微分,沿任一条路径积分都可得h。我们选理想气     

凸函数算术平均值的凸性

利用二元函数为凸函数的微分判别准则,证明了二阶可微的一元凸函数的算术平均值关于积分上下限为凸函数,加强了其是S-凸函数的一个结论.后者是由Elezovic,N.和Pecaric,J.得到的.     

integral from n=a to b (f~(n+1)(x)·(b-x)~ndx)=?

在(1)式中,适当选取不同的函数f~(n+1)(x)和积分限a、b的值,就可以得到一些具体的定积分的计算公式。例如:     

正确解题离不开观察与联想

解答高等数学要注意观察题目的特点,广泛联想与之有关的知识,恰当地进行转换,就可使之获得简捷正确的解题方法,从而不断地提高他们分析问题和解决问题的能力。定积分中的换元积分有下列结论。“设ｆ（ｘ）在［－ａ,ａ］上连续,①若ｆ（ｘ）在［－ａ,ａ］上为偶函数,则∫ａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２∫ａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．②若ｆ（ｘ）在［－ａ,０］上为奇函数,则∫ａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０．”应用上述结论解题,能简化定积分的计算过程。但计算定积分时应注意观察积分区间是否关于原点对称（或积分的上限和下限是否为相反数）,若回答是…     

拉格朗日中值定理在定积分计算中的妙用

利用定义计算定积分时,若采用常规方法来分割积分区间和选取介点集,会使得积分和式的极限过程十分复杂.通过拉格朗日中值定理巧妙地选取中值点作为介点,可以简化积分和式的极限过程,从而简洁地得到计算结果.同时,利用拉格朗日中值定理,也可从另一角度推导出牛顿-莱布尼茨公式,从而将微分学中的微分中值定理和积分学中的微积分基本公式有机地结合起来.     

对高等数学教学中分部积分法的探讨

在高等数学中,定积分可以解决很多现实问题。但是定积分的计算却离不开不定积分的求解,在诸多求不定积分的方法中,其中有一种方法是分部积分法,在分部积分公式∫uv′dx=uv-∫u′vdx求不定积分时,关键是u,v的选取,很多教材都介绍了u,v的选取,但是都不明确,学生接受起来比较困难。本文向大家介绍一种非常简单并且容易记忆的关于u,v选取的口诀。     

利用不同类型的积分不等式计算相同定积分 xb乙cosxxsinx dx的精确值（13）

研究了一个新的积分不等式及它的应用,它具有传统积分近似计算不具备的特点,那就是该法精度高,介绍了用新的积分不等式求解定积分 xb乙cosxxsinx dx的近似值。当积分上限 X 远离下限 B 时,不等式的不等程度增大,反之,当 X 趋近于 B 时,其不等程度趋于0,也就是说积分区间分得愈细,其积分误差愈小。这样,借助于计算机运算,几乎能将积分的近似值很容易地转换成精确值,无论是什么样的工程设计计算,计算机都能把它算得又快又准确,同时近似计算的精度得到了大幅度提高,开创了工程设计计算的新时代。     

关于曲线积分与曲面积分近似计算的一个定理及应用

给出一个关于曲线积分和曲面积分的近似计算定理,这个定理使曲线积分和曲面积分的繁杂计算得以 简化,它可以应用于沿三角形、正方形、矩形及任意多边形等闭路的曲线积分以及由这些闭曲线围成的区域上的曲面 积分。     

积分元素的本质及元素法应用辨析

合理选取积分元素是运用定积分元素法解决具体问题的关键 .理解了积分元素的本质 ,就会避免实际应用中的随意性和盲目性 ,达到正确有效地选取积分元素的目的 .     

利用不同类型的积分不等式计算相同定积分∫_b~x(cosx/xsinx)dx的精确值(13)

研究了一个新的积分不等式及它的应用,它具有传统积分近似计算不具备的特点,那就是该法精度高,介绍了用新的积分不等式求解定积分∫_b~x(cosx/xsinx)dx的近似值。当积分上限X远离下限B时,不等式的不等程度增大,反之,当X趋近于B时,其不等程度趋于0,也就是说积分区间分得愈细,其积分误差愈小。这样,借助于计算机运算,几乎能将积分的近似值很容易地转换成精确值,无论是什么样的工程设计计算,计算机都能把它算得又快又准确,同时近似计算的精度得到了大幅度提高,开创了工程设计计算的新时代。