对比值sinnx/sinx下界的再改进

本刊 1 999年第 1 1期刊出邵、高两位老师对ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ下界的改进 ,本文给出定理　设ｎ∈Ｎ ,ｎ >1 ,0 <ｎｘ <π2 ,则ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ >1ｓｉｎ π2ｎ.证明 :由已知得 0 <ｘ <π2ｎ.下面证明 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ 在区间 (0 ,π2ｎ)上为减函数 ,事实上 ,有ｆ′(ｘ) =ｎｃｏｓｎｘｓｉｎｘ -ｓｉｎｎｘｃｏｓｘｓｉｎ2 ｘ =ｕ(ｘ)ｓｉｎ2 ｘ,则　　ｕ′(ｘ) =(-ｎ2 ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ ｎｃｏｓｎｘｃｏｓｘ)　 -(ｎｃｏｓｎｘｃｏｓｘ -ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ)=-(1 -ｎ2 )ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ <0 .∴ｕ(ｘ)在 (0 ,π2ｎ)上…     

数列求和的几种常用方法

数列求和是中专数学的重要内容 ,这类问题形式复杂变化多样 ,虽无通法可循 ,但根据不同题型的不同特征 ,也可总结出一些方法 ,本文列举如下 ,供参考 .1　反序相加法例 1　若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1=(ａ1 ａｎ 1)· 2 ｎ- 1.证明　设Ｓ =ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1,(1)将 (1)倒序写出 ,有Ｓ =Ｃｎｎａｎ 1 Ｃｎ- 1ｎ ａｎ Ｃｎ- 2ｎ ａｎ- 1 … ａ1.(2 )(1) (2 )并注意Ｃｒｎ =Ｃｎ-ｒｎ (ｒ≤ｎ) ,得2Ｓ =(ａ1 ａｎ 1)Ｃ0 ｎ (ａ2 ａｎ)Ｃ1ｎ (ａ3 ａｎ- 1)Ｃ2 ｎ … …     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题　设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数…     

石世昌“证明”中的缺陷

本刊 2 0 0 0年第 6期 ,石世昌老师的《杨学枝一个不等式猜想的证明》一文中“不妨令ｂ ｃ =2 ,ａ =ｘ( 1≤ｘ <2 )” ,由于 1≤ｘ <2 ,不能包括所有满足原猜想条件的锐角三角形 ,故造成“证明”缺陷 .例如 ,设ａ =3 0 1 ,ｂ=3,ｃ=2 -3,则ａ >ｂ >ｃ,ｂ ｃ =2 ,ｂ2 ｃ2 -ａ2 =6 99-4 3>0 ,可见△ＡＢＣ为锐角三角形 .但文章只证明了当ａ =ｘ ,1≤ｘ <2时不等式 2 (ｘ -1 )≥ 2ｘ2 1 -4 -ｘ2 成立 ,而对ｘ≥ 2没有证明 .当ｘ =3 0 1时 ,2ｘ2 1 -4 -ｘ2-2 (ｘ -1 )≈ 7 0 2 -0 99-2 3 0 1 2 >0 1 9>0 ,所以 2 (ｘ -1 ) <2ｘ2 1 …     

高考数学模拟试题(一)

一、选择题 (每小题 5分 ,共 6 0分 )1 .设集合Ｐ ={1 ,2 },则满足Ｍ∪Ｐ {1 ,2 ,3}的集合Ｍ的个数是 (　　 ) .(Ａ) 1　 (Ｂ) 4　 (Ｃ) 7　 (Ｄ) 82 .如果ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ 2 ) =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ｒ) ,且当 -1 ≤ｘ≤ 1时ｆ(ｘ) =ｘ2 3,则当ｘ∈〔2ｎ-1 ,2ｎ 1 ) ,(ｎ∈Ｚ)时 ,函数的表达式是 (　　 ) .(Ａ)ｘ2 -4ｎｘ 4ｎ2 3(Ｂ)ｘ2 4ｎｘ 4ｎ2 3(Ｃ)ｘ2 -4ｎｘ 4ｎ2 1(Ｄ)ｘ2 4ｎｘ 4ｎ2 13.已知ｆ(ｘ)是奇函数 ,ｇ(ｘ)是偶函数 ,且ｆ(ｘ) -ｇ(ｘ) =ｘ2 2ｘ 3,则ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)等于 (　　 ) .(Ａ)ｘ2 2ｘ 3　　 …     

一个不等式习题变式的应用

现行高中教材《代数》下册 12页 2题 ( 1) :设ｘ ,ｙ都是正数 ,求证 :ｘｙ ｙｘ ≥ 2 .将此不等式变形 ,得ｘｙ - 1≥ 1- ｙｘ ,( )等号当且仅当ｘ =ｙ时成立 .应用 ( )可简便地证明一类分式不等式 .例 1　设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 均为正数 ,且ａ1 ａ2 … ａｎ=1　 (ｎ >1) ,求证 : ｎｉ=1ａ2ｉ 1ａｉ≥ｎ2 1.　　证　 ｎｉ =1ａ2ｉ 1ａｉ- (ｎ2 1) = ｎｉ=11ａｉ-ｎ=ｎ ｎｉ =11ｎａｉ- 1≥ｎ ｎｉ=1( 1-ｎａｉ) =0 .∴　 ｎｉ =1ａ2ｉ 1ａｉ≥ｎ2 1.例 2　设ａｉ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,ｎ≥ 2 ,且 ｎｉ=1ａｉ=1.求证 : ｎｉ=1…     

“211杯”函数知识竞赛

一、选择题 :1.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｍｘ +4 +2ｍ的定义域是Ｒ ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数ｍ的集合为 (　　 ) .Ａ .{ｍ|- 1≤ｍ≤ 3}　　Ｂ .{ｍ|1- 5<ｍ <5}Ｃ .{- 1,3}　　Ｄ .{ｍ|ｍ <1或ｍ >3}2 .要使函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ａ - 6 )ｘ +2对一切正整数ｘ都取正值 ,其充要条件是 (　　 ) .Ａ .ａ =3　　Ｂ .2 <ａ <18　　Ｃ .ａ >2　　Ｄ .以上都不对3.对每一对实数ｘ ,ｙ,函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ +ｙ) - ｆ(ｘ) -ｆ( ｙ) =ｘｙ +1,且ｆ( 1) =1,那么满足ｆ(ｎ) =ｎ(ｎ≠ 1)的整数ｎ的个数共有 (　　 )个 .Ａ .0　　Ｂ .1　　Ｃ .2　　…     

凑配分裂 有效转化

利用数学归纳法来证明某些与自然数ｎ有关的不等式 ,证ｋ到 (ｋ 1)这一过程是许多同学感到困难的一步 .为此 ,笔者介绍一种“凑配分裂”的转化策略 ,以解决这一难点 .1　凑配从归纳假设ｎ=ｋ的不等式出发 ,凑配出待证ｎ=ｋ 1时的不等式的某一端 ,再结合不等式性质将问题有效转化 .例 1　 (《代数》课本下册 12 3页例 5)已知ｘ >- 1,且ｘ≠ 0 ,ｎ ∈Ｎ ,且ｎ≥ 2 ,求证 ( 1 ｘ) ｎ >1 ｎｘ .证明　 (ｉ)当ｎ=2时 ,左边 =( 1 ｘ) 2 =1 2ｘ ｘ2 ,右边 =1 2ｘ ,因为ｘ2 >0 ,所以原不等式成立 .(ｉｉ)假设不等式当ｎ =ｋ(ｋ≥ 2 )时成立 ,就是( …     

等差数列前n项和的最值

公差ｄ≠ 0的等差数列 ａｎ ,它的前ｎ项和Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数 :Ｓｎ =ｎａ1 +ｎ(ｎ- 1)2 ｄ =ｄ2 ｎ2 +ａ1 - ｄ2 ｎ .所以 ,当ｄ >0 ,Ｓｎ 有最小值 ;当ｄ <0 ,Ｓｎ有最大值 .由于函数Ｓｎ 与一般二次函数ｆ(ｘ) =12 ｄｘ2+ａ1 - ｄ2 ｘ(ｘ∈Ｒ)的定义域不同 ,因此在求最值的方法上又有其特殊性 .下面就这类问题探讨几种思考途径 .一、研究通项的符号 ,求Ｓｎ 的最值例 1　一个首项为正数的等差数列ａｎ ,前 3项之和与前 11项之和相等 ,则前几项和最大 ?解　由Ｓ3=Ｓ1 1 ,得ａ4 +ａ5+… +ａ1 0 +ａ1 1 =0 ,∵　ａ4 +ａ1 1 =ａ5+ａ1 0…     

向量在代数中的运用

向量不仅是解决立体几何、解析几何的有力工具 ,也是解决代数和三角问题的有力工具 ,它可使许多代数和三角问题的求解过程变得轻松 ,生动 ,给人以数学美的享受 .它为解决中学数学问题开避了一条新的途径 .一、比较大小例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,0 <ｘ<1,试比较ａ2ｘ + ｂ21-ｘ 与 (ａ +ｂ) 2 的大小 .解　设向量ｍ=ａｘ,ｂ1-ｘ ,ｎ=(ｘ ,1-ｘ) .由 (ｍ·ｎ) 2 ≤｜ｍ｜2 ｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2=ａｘ·ｘ + ｂ1-ｘ· 1-ｘ2≤ ａ2ｘ + ｂ21-ｘ ｘ+ (1-ｘ)=ａ2ｘ + ｂ21-ｘ.例 2　 (2 0 0 0年河北省高中数学竞赛试题 )已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｒ+…     

代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

运用分母代换法证明不等式举例

对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1　分子为常数型例 1　若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明　设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2　 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜…     

走近“陌生”

1 .反弹琵琶 ,独辟蹊径例 1　在椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上取一点Ｐ ,Ｐ与长轴两端点Ａ、Ｂ的连线分别交短轴所在直线于Ｍ、Ｎ两点 ,设Ｏ为原点 ,求证 :|ＯＭ |·|ＯＮ|为定值 .证明 :设Ｍ ( 0 ,ｍ)、Ｎ( 0 ,ｎ) ,则ｌＰＡ:ｙ=ｍ - 00 +ａ(ｘ +ａ) ,①ｌＰＢ:ｙ =ｎ - 00 -ａ(ｘ -ａ) .　　　　　　　　　　　②①×② ,得　 ｙ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .又 ｙ2 =ｂ2 1- ｘ2ａ2 ,故ｂ2 ａ2 -ｘ2ａ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .ｍｎ =ｂ2 ,为定值 .即 |ＯＭ |·|ＯＮ| =ｂ2 ,为定值 .评注 :本题没有设出Ｐ点坐标进而求出Ｍ、Ｎ两…     

平面向量问题错解辨析

一、忽视向量夹角范围例 1　若向量ａ =(ｘ ,2ｘ) ,ｂ =( - 3ｘ ,2 ) ,且ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,求ｘ的取值范围 .错解 :因ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,故ａ·ｂ <0 .即 - 3ｘ2 +4ｘ <0 ,ｘ <0或ｘ >43.故ｘ的取值范围为 ( -∞ ,0 )∪43,+∞ .辨析 :向量ａ ,ｂ的夹角θ的取值范围为 [0 ,π] ,当ａ·ｂ <0时 ,π2 <θ≤π .而已知θ为钝角 ,故θ≠π ,即ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ||ｂ|≠ - 1,解得ｘ≠ - 13,故ｘ的取值范围为-∞ ,- 13∪ - 13,0∪ 43,+∞ .例 2　设正三角形ＡＢＣ的边长为 1,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错…     

一个猜想不等式的肯定--兼擂台题(54)的证明

擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理　若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明　 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ…     

由条件f(ωx φ)≡f(x)确定的函数f(x)

本文的ｆ(ｘ)是定义在Ａ上的函数 ,对于任何一个ｘ ∈Ａ ,都有ｆ(ωｘ φ) =ｆ(ｘ) (其中ω、φ为常数 ) .众所周知 ,在上式中当ω =1、φ≠ 0时 ,,ｆ(ｘ)是Ｔ=φ的周期函数 ;当ω =- 1时 ,ｆ(ｘ)的图像关于直线ｘ =- φ2 对称 ;当ω =0时 ,ｆ(ｘ)是常值函数ｙ =ｆ(φ) .那么 ,当ω≠± 1、0时 ,ｆ(ｘ)又是如何的函数呢 ?设ｕ=ωｘ φ ,ｘ0 是Ａ上的任意一个自变量值 .1)若｜ω｜ <1,记ｕ1=ωｘ0 φ ,ｕ2 =ωｕ1 φ=ω2 ｘ0 ωφ φ ,… ,ｕｎ=ωｕｎ-1 φ=ωｎｘ0 ωｎ-1φ … ωφ φ=ωｎｘ0 1-ωｎ1-ωφ ,… .当ｎ→ ∞时 ,ｕｎ…     

巧用a~(1/2)≥0解题

注意到ａ表示非负数ａ的算术平方根 ,那么ａ≥ 0 ,对于某些与二次根式有关的问题 ,巧用这一性质 ,可使解题简易 ,下面实例说明。例 1　若ａ =ｘ +2 ,ｂ =3-ｘ ,化简 (ｘ +3) 2 +(ｘ - 4) 2 .解 :由ａ≥ 0 ,ｂ≥ 0 ,得ｘ +2≥ 0 ,3-ｘ≥ 0 .∴ - 2≤ｘ≤ 3.　∴ｘ +3>0 ,ｘ - 4<0 .原式 =|ｘ +3|+|ｘ - 4|=(ｘ +3) +(4 -ｘ) =7例 2　如果ｘ3+3ｘ2 =-ｘｘ +3,那么ｘ的取值范围是 (　　　 ) .Ａ .ｘ≤ 0 ;　　Ｂ .ｘ≥ - 3;　　Ｃ .0 <ｘ <3;　　Ｄ .- 3≤ｘ≤ 0 .解 :由ｘ3+3ｘ2 ≥ 0 ,得 -ｘｘ +3≥ 0 ,∵ｘ +3≥ 0 ,∴ -ｘ≥ 0 ,ｘ≤ 0∵ｘ …     

高考数学综合训练(一)

一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 50分 )1 .设Ｍ ={ｘ|0≤ｘ≤ 2 },Ｎ ={ｙ|0≤ ｙ≤ 2 },给出下列 4个图形 ,其中能表示集合Ｍ到Ｎ的函数关系的是 (　　 ) .2 .设函数 ｙ =ｌｇ(ｘ2 -2ｘ -3 )的定义域为Ｍ ,不等式 |ｘ -1 |≥ａ的解集为Ｎ ,且Ｍ Ｎ ,则ａ的取值范围为 (　　 ) .Ａ .ａ =2　　　　　　　Ｂ .ａ≥ 2Ｃ .0≤ａ≤ 2　　　　　Ｄ .ａ≤ 23 .函数 ｙ =|ｃｏｓ2ｘ -3 ｓｉｎ2ｘ|的最小正周期为(　　 ) .Ａ .π2 　　Ｂ .π　　Ｃ .2π　　Ｄ .4π4 .设向量ＯＺ对应的复数为ｚ =1 ｉ,它的辐角主值为θ,将向量ＯＺ…     

二维柯西不等式在解析几何上的应用

二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1　推证几个重要结论命题 1　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明　由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上…     

巧用“取”法

求解某些数学问题 ,有时可能迟迟不能下手 ,有时可能因采用常规方法使过程繁冗 .但若根据有关数学概念、运算、性质 ,合理运用“取”的方法 ,则会使问题快捷获解 .例 1　 (2 0 0 2年高考题 )不等式 (1 +ｘ) (1-｜ｘ｜) >0的解集是 (　　 )(Ａ)ｘ｜ 0 ≤ｘ<1(Ｂ)ｘ｜ｘ<0且ｘ≠-1(Ｃ)ｘ｜-1 <ｘ<1(Ｄ)ｘ｜ｘ<1且ｘ≠ -1分析　按ｘ>0、ｘ=0、ｘ <0分类讨论 ,过程较繁 ;若取特值 ,则捷足先登 .解　取ｘ=0和ｘ=-2先后排除 (Ｂ)和(Ａ)、(Ｃ) ,故选Ｄ .例 2　已知数列 ａｎ 中 ,ａ1 =1 ,且ａｎ =ａｎ- 1 2ａｎ- 1 + 1 (ｎ≥ 2 ) ,求ａｎ.分析　若…