应用根与系数的关系巧解无理方程

一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ≠０）的两个根是ｘ１,ｘ２,那么这个关系式是初中数学中极为重要的基础知识之一,是解决许多数学问题的有力工具。同样,对有些无理方程,也可通过换元,化成两数之和以及两数之积的形式,利用根与系数的关系求解。 例１解关于Ｘ的方程原方程两边平方并整理得：根据根与系数的关系,ｍ与ｎ是方程由此求得：例２．解方程解：设将①、②代入上式,得ｑｑ＝４③由①、③知,的两根,解得ｙ１＝ｙ２＝２,由,得ｘ＝７由,得ｘ＝７经检验,ｘ＝７是原方程的根。例３…     

巧用直线与圆的位置关系解题

直线与圆的位置关系有三种情形,若用圆心到直线的距离ｄ和半径ｒ间的大小关系来判断,则有ｄ＜ｒ直线与圆相交;ｄ＝ｒ直线与圆相切;ｄ＞ｒ直线与圆相离．解题中我们如果能够抓住题目的结构特征,通过化归,创设直线与圆的位置关系的解题意境,常常能为某些数学问题的解决开辟一条新的途径．下面通过实例加以阐述．１　求值例１　已知α、β∈０,π２且ｃｏｓα＋ｃｏｓβ－ｃｏｓ（α＋β）＝３２,求α、β．解　ｃｏｓα＋ｃｏｓβ－ｃｏｓ（α＋β）＝３２展开整理,得ｓｉｎαｓｉｎβ＋（１－ｃｏｓα）ｃｏｓβ＋ｃｏｓα－…     

从不对称到对称

对称既是数学美的一种形式 ,又是解题的一种思考方法。有些问题看起来是不对称的 ,但我们可以通过构造另外一个式子或改造原图形使问题变得具有对称性 ,帮助解题。如“已知α、β是方程ｘ２ ２ｘ １＝０的两根 ,求α 的值”一题中的“α ”是不对称的 ,那么我们可以设ｍ＝α ,ｎ＝β 。这样的两个式子的右边呈现了轮换对称性了 ,就能够运用根与系数的关系求出结果。因为α β＝２ ,αβ＝ １ ,ｍ ｎ＝（α β） （ ）＝（α β） ＝２ ２＝０ ,ｍｎ＝（α ）（β ）＝αβ ２＝ １ １ ２＝０。由此可解出ｍ＝０。几何中若给出…     

一元二次方程根的分布与系数的关系

一元二次方程根的分布与系数的关系常州市新桥中学黄启仙元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）根的分布与系数有着密切关系，讨论两者之间关系，有利于巩固一元二次方程和二次函数有关知识。有些方程，不必去解，就可知道根的分布。反之，若知道根的分布，则系数应满...     

实系数方程ax~2+b｜x｜+c=0的根的个数问题

实系数方程ａｘ２＋ｂ｜ｘ｜＋ｃ＝０的根的个数问题□徽县一中李宗奇我们知道,实系数二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的情况比较简单,容易解决．但是实系数方程ａｘ２＋ｂ｜ｘ｜＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的情况,随着解集的变化而不同,本文利用分类讨论思想...     

优美椭圆(双曲线)的一组性质

优美椭圆（双曲线）的一组性质云南省下关一中阿家斌我们把离心率为黄金比５－１２（或５＋１２）的椭圆（双曲线）称之为优美椭圆（双曲线）．为书写方便起见，记α＝５－１２，β＝５＋１２，显然α·β＝１，且α、β分别满足α２＋α－１＝０和β２－β－１＝０．以下...     

一道初中代数竞赛题的几何解法

题目：已知实数ａ、ｂ满足ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,求ａ２－ａｂ＋ｂ２的取值范围．（１９９８年湖北黄冈市初中数学竞赛题）解：令ｋ＝ａ２－ａｂ＋ｂ２,由于ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,当ａｂ＝０（ａ、ｂ不能同时为零）时,不妨设ａ＝０,则ｂ２＝１,易得ｋ＝１．当ａｂ≠０时,不失一般性,不妨设｜ａ｜≤｜ｂ｜．作等腰△ＡＢＣ,使底边ＡＢ＝２｜ａ｜,高ＣＤ＝｜ｂ｜．设ＡＣ＝ＢＣ＝ｃ,△ＡＢＣ的面积为Ｓ,∠ＡＣＢ＝α,则０°＜α２≤４５°,０°＜α≤９０°,０＜ｓｉｎα≤１,｜ａｂ｜＝Ｓ＝１２·ｃ２ｓｉｎα．（１）若ａｂ…     

关于一元二次方程根的一个定理的应用

关于一元二次方程根的一个定理的应用华池县二中王长旺定理：一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有一个根为１的充要条件是ａ＋ｂ＋ｃ＝０。这个定理的形式很简单，证明很容易（略），应用也很方便。一、求根例１．（第五届初中“祖杯”赛试题）若ａ为正数，那么...     

二次函数的应用

二次函数的应用胡天娥初中数学教学中对一元二次。方程根的研究，多数注重于判别式及韦达定理的应用。如果，对二次函数的讲解及运用能够深入一步，则对一元二次方程根的分布以及不等式的运用方面更显得灵活与巧妙。例：若一元二次方程Ｘ２－ａｚ＋１＝０的两根ｘ１和ｘ２...     

数学竞赛中韦达定理的应用

若实数x1、x2是方程的两个根,则有这是韦达定理,它揭示了一元二次方程的根与系数之间的联系,在讨论一元二次方程根的数值问题中有着广泛的应用．现结合全国各类数学竞赛试题,予以说明．一、确定方程中字母系数的值当题设方程中含有字母系数,并给出方程根的某种关系式,往往可利用韦达定理,建立一个以字母系数为主元的方程,从而确定字母系数的值．例1如果方程x‘＋W＋l＝0（p＞0）的两根之差为1,那么p等于（）（A）2;（B）4;（C）／3;（D）店．（1998年全国初中数学竞赛题）解设方程x’＋W＋l二o（＞0）的两根为川、X。,由韦…     

韦达定理在解题中的应用

韦达定理在解题中的应用吴明华如果一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两个根是ｘ１、ｘ，那么这个定理叫做韦达定理，其逆定理也成立。对于一元ｎ次方程，这种根与系数的关系也是存在的。若一元ｎ次方程的根是ｘ１、ｘ２、ｘ３…ｘｎ，那么韦达定理及其逆定理...     

运用因式分解解竞赛题

因式分解是初中代数的重要恒等变形，其变形的技巧性强，且应用广泛．因此，因式分解的应用成为数学竞赛的热点之一．为此本文举例说明因式分解在竞赛中常见的几种应用，供同学们参考．一、用于计算例１１．２３４５２＋０．７６５５２＋２．４６９×０．７６５５＝（）．（１９９１年希望杯全国数学邀请赛初一试题）解原式＝１．２３４５２＋２×１．２３４５×０．７６５５＋０．７６５５２＝（１．２３４５＋０．７６５５）２＝４．二、用于求值例２设ａ、ｂ、ｃ、ｄ都是自然数，且ａ５＝ｂ４、ｃ３＝ｄ２、ａ－ｃ＝１７．求ｄ—ｂ的值．…     

中考方程综合题归类点评

一、一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等综合问题。例1 已知关于x的一元二次方程x^2＋（2m-3）x＋m^2=0的两上不相等的实数根α、β满足1／α＋1／β=1，求m的值。     

一种分布函数散布序的性质

设Ｆ，Ｇ是两人分布函数，记：Ｘ＾＋Ｆ（α）＝ｓｕｐ｛ｘ：Ｆ（ｘ）〈α｝，Ｘ＾－Ｆ（α）＝ｉｎｆ｛ｘ：Ｆ（ｘ）〉α｝，Ｘｆ（α）＝１／２「Ｆ＾＋Ｆ（α）＋Ｘ＾－Ｆ），」，Ａα∈（０，１），用＾ｄ≤表示分布函数间的散布序，Ｆ＾ｅ≤Ｇ的充要条件是：Ａα，β∈（０，１），α〈β，ＸＦ（β）＝－ＸＦ（α）＋ＸＦ（１－α）ＸＦ（１－β）≤ＸＧ（β）－ＸＧ（α）－ＧＸ（α）＋ＸＧ（１－α）－ＸＧ（１－β）本文在     

初中数学升学复习测试题精编──综合测试题（一）

初中数学升学复习测试题精编──综合测试题（一）一、填空题１．函数的定义域是２．若函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象过点Ａ（１，－１），Ｂ（－２，５），则函数的表达式为３．若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ＜０）的根为－３，２，则的解是４．以线段ＡＢ为斜边的直角三角形...     

两个非线性方程的解析解

给出了Ｋｌｅｉｎ－Ｇｏｒｄｏｎ方程ｕｔｔ－（ｕｘｘ＋ｕｙｙ）＋α＾２ｕ＋ｇ（ｕｕ＾＊）＝０和广义Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程ｉｕｔ＋ｕｘｘ－ｕｙｙ＋ｇ（ｕｕ＾＊）ｕ＝０当ｇ（ｚ）＝βｌｎｚ的解析解。     

x_1 x_2与x_1x_2的构造及其应用

ｘ１＋ｘ２与ｘ１ｘ２的构造及其应用大连开发区一中邹楼海黑龙江绥滨一中崔玉明若ｘ１、ｘ２为二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的二根，由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ①ｘ１·ｘ２＝ｃａ②但在实际解题中，ｘ１与ｘ２的关系并不都是以①和②的形式出现的，如...     

一次函数常见解题错误剖析

一次函数是初中数学的重要内容之一，同学们在解题时往往会因考虑不周而出现错误．现就一次函数中的常见解题错误分类举例剖析．一、忽视一次项系数不为零导致错误例１已知y＝（m２－１）x２＋（m＋１）x＋m是一次函数，求m的值．错解：由题意，得m２－１＝０，故m＝±１．剖析：一次函数一般式为y＝kx＋b（k≠０），错解中忽略了k≠０的隐含条件．正确答案：m＝１．例２已知一次函数y＝mx－４的图象与反比例函数y＝２x的图象有交点，求m的取值范围．错解：根据题意，可知方程组y＝２x，y＝mx－ 有实数解．解此方程组得mx２－４x－２＝０…     

浅谈妙用根的定义求代数式的值

在初中代数中 ,求关于已知一元二次方程的两根的代数式的值 ,是常见的一类问题。在解决这类问题时 ,一般情况下 ,利用一元二次方程根与系数的关系来求解 ,但在不少情况下 ,题中所给的代数式与方程两根的和与积并没有明显的联系 ,单独利用根与系数的关系不易求解 ,甚至无法求解。此时就可以先利用一元二次方程根的定义把所给的代数式进行变形 ,使之与方程两根的和与积产生联系 ,再利用根与系数的关系求解。例一 :已知α,β是关于 x的方程 :x2 + ( m- 2 ) x+ 1=0的两个根 ,求 ( 1+ mα+ α2 ) ( 1+ mβ+ β2 )的值。分析一 :考虑用根与系数的…     

非负数及其应用

非负数是指不小于零的数，包括正数和零．这是个非常重要的数学概念．纵观这几年的各种初中数学竞赛试题，各个地区的中考试题，乃至和课本配套使用的练习册、试题集中，都常常有非负数性质的运用．如：１·已知｜３ｙ－１８｜＋｜ａｘ－ｙ｜＝０，如果Ｘ是正偶数，求ａ．（１９８９年“五羊”杯初中数学竞赛试题）２，若（Ｘ－１）２＋（２ｙ＋１）２＝０，求ｘ＋ｙ的值．（１９８５年北京市中考试题）３．方程ｘ２＋｜ｘ｜＋１＝０有（）个实数根．（Ａ）４；（Ｂ）２；（Ｃ）１；（Ｄ）０．（１９９１年“希望杯”全国教学邀请赛试题Ｊ４…