容器制作中的数学问题——对新教材一道习题的探究

<正> 全日制普通高级中学教科书(试验修订本,必修)《数学》第一册(上)第92页中有这样一道练习题:如图1,有一块边长为a的正方形铁皮,将其中四个角各角截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V以x为自变量的函数表达式,并求这个函数的定义域.     

怎样做容积最大的铁盒

取两张边长10厘米的正方形薄铁皮.第一张的四角各剪下边长1厘米的正方形,第二张的四角各剪下边长2厘米的正方形,然后各折成无盖铁盒.请分别求出这两个铁盒的容积.(本题是我校五年级期末考试题) 　　通过解答此题,一些学生提出:“如何利用其中一块铁皮,尽可能把铁盒做得容积最大呢?“这个问题提得好,很有研究价值.……     

一类无盖几何体容积极值问题

在学习不等式的证明时,我们研究了以下几个问题。 问题1:从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形(如图1),然后按虚线把四边折起来做成一个无盖盒子,问要截去多大的小方块,方使盒子的容积最大?     

一类极值问题的数学证明

拜读某杂志《拓展教学空间,开发学生创新潜能——〈怎样做最大〉实践与反思》一文,被作者先进的教学理念、科学的教学设计、高超的教学艺术所感动。该文中让学生探索的问题是:“怎样把一块正方形铁皮做成一个无盖的长方体铁盒?”结论是:1.若按图1的方法从四个角各剪去同样大小的一块小正方形铁皮,则当小正方形的边长是原来大正方形边长的16时,做成的无盖长方体的体积最大。2.若按图2的方法剪拼焊接而无剩余铁皮,则做成的无盖正方体的体积更大。需要指出的是,上述结论中的“体积”应改为“容积”,这是作者的一个小小的疏忽;同时,该文无论从理…     

无盖盒子的最大容积问题

某中学初一代数测验，有这样一道开放性题目：用一张边长为ａ的正方形铁皮做一个深为ａ／４的长方体无盖盒子，请设计一种方案，使它的容积最大，并求出它的容积。 关于这道题目，一般学生的解法为 方案一 如图甲所示，从所给铁皮的四角分别剪去一个边长为ａ／４的正方形，然后     

怎样做容积最大的铁盒

取两张边长10厘米的正方形薄铁皮。第一张的四角各剪下边长1厘米的正方形，第二张的四角各剪下边长2厘米的正方形，然后各折成无盖铁盒。请分别求出这两个铁盒的容积。（本题是我校五年级期末考试题）     

从平面到空间的图形重组问题

将给定的平面图形按照一定的方法或要求进行剪拼或翻折 ,使之成为一个空间图形 ,我们把这样的一类问题称之为图形的重组问题 ,下面我们就来谈谈从平面到空间的图形重组问题的常见的类型及其处理方法 .1　定法动态重组这类重组问题的特征是定法不定量 ,也就是说 ,按照怎样的方法进行剪接与翻折 ,题中已规定得很清楚 ,但具体的量没有给出来 ,还处在动态之中 ,故在此类重组问题中 ,常常要讨论某些量的最值 .例 1　如图 1 ,把边长为a的一个正方形铁皮从四个角处剪去相同的小正方形 ,再焊接成一个底面为正方形的无盖盒子 (不计接缝 ) ,则所做成的…     

一次练习的教益

“在长20厘米,宽15厘米铁皮的四角上分别剪去边长1厘米的正方形后,折成一个无盖铁盒。计算这个铁盒的容积（铁皮厚度不计）。”这是一次在教充“长方体和正方体”一单元后,我计学生进行综合练习时出的一道题。     

丰富的图形世界

立体图形、展开与折叠A组1.生活中下列物体的形状最接近四棱柱的是()(A)茶杯.(B)地球仪.(C)冰箱.(D)钢笔.2.如图,是关于图中的几何体,下列叙述不正确的是()(第2题)(A)四个几何体中,面数最多的是4.(B)2中有三个面是平面.(C)1由两个面围成,其中一个面是曲面.(D)图中只有一个顶点的几何体是3.3.有一个直三棱柱,底面是边长为3cm的正三角形,侧棱长为9cm,则该棱柱的侧面展开图是()(A)长为9cm,宽为3cm的矩形.(B)长为27cm,宽为3cm的矩形.(C)边长为9cm的正方形.(D)边长为3cm的正方形.4.若一个棱柱有12个顶点,则下列说法中正确的是()(A)这个棱柱…     

数学创新思维竞赛

1.小明与小壬分别要把两块边长都为60 cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方体盒子(不计粘合部分). 　　(1)小明先在薄钢片四个角截去边长为10 cm的四个相同的小正方形(如图1),然后把四边折叠粘在一起,便得到甲种盒子,请你帮忙求出该种盒子底面边长.……     

数学创新思维竞赛

1.小明与小壬分别要把两块边长都为60 cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方体盒子(不计粘合部分). 　　(1)小明先在薄钢片四个角截去边长为10 cm的四个相同的小正方形(如图1),然后把四边折叠粘在一起,便得到甲种盒子,请你帮忙求出该种盒子底面边长.……     

寻找捷径妙解题

[题目]在一块儿长20分米、宽18分米的长方形铁皮的四角各剪掉一个边长为4分米的小正方形．然后折叠焊接成一个无盖的长方体水箱。求这个水箱的表面积。     

对《高三数学教学与测试》一题的反思

《高三数学教学与测试》(上 ) (苏州大学出版社 ,2 0 0 1 ,5)第 70页第 8题 :图 1有一块边长为36 cm的正三角形铁片 ,从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器 (如图 1 ) .要使这个容器的容积最大 ,剪下的三个四边形面积之和等于多少 ?最大容积是多少 ?本题属于不等式的应用类型 .做成的正三棱柱容器的底面为△A1 B1 C1 ,高为 B1 D1 .设 B1 D1 =x,则 BD1 =3x,∴B1 C1 =36 - 2 3x.∴容积 V=34( 36 - 2 3x) 2 · x= 33( 6 3- x) 2 x=332 · ( 6 3- x) ( 6 3- x) 2 x( 0 0 ,∴ ( …     

巧剪焊拼铁皮盒

老师出了这样一道数学题:用一块长10分米、宽8分米的长方形铁皮制成一个高2分米的长方体无盖铁皮盒,要使铁皮盒尽可能大,怎样剪接?体积是多少? 小红想:要制成一个高为2分米的铁皮盒,只要在长方形铁皮的4个角分别剪去一个边长为2分米的正方形,这     

折叠一个无盖的正方体纸盒

要折叠一个无盖的正方体纸盒,如图1,关键是能画出一个无盖的正方体纸盒的平面展开图.图1图2同学们大都熟悉这样一种操作:把一个正方形纸片平均分成9个小正方形,拿去四个角的4个小正方形就得到图2.用图2这5个相连的正方形就可以折叠成图1这个无盖的正方体盒子.图1中的5个面的名称,按习惯在图2中可对应记为:下、左、右、前、后.图1这个无盖的正方体纸盒的展开图还有其他情况吗?若有,究竟有几种?根据“前与后,左与右间隔,前或后可与下、左、右任一面相连”的规律,通过平移或旋转图2中1个或几个小正方形,又可得以下11种不同的图形.图3~图6可直接…     

怎么会多出了一块?(初一、初二、初三)

题如图,Rt△ABC中,∠A=90°,将其分成如图所示的四块,并进行重新组合,得到一个同样的Rt△,可是,怎么会多出了一块正方形(图中正方形小格边长为1)?     

丰富的图形世界

立体图形、展开与折叠A组1.生活中下列物体的形状最接近四棱柱的是 (　　 )(A)茶杯 .　　　　 (B)地球仪 .(C)冰箱 .　　　　 (D)钢笔 .2 .如图 ,是关于图中的几何体 ,下列叙述不正确的是 (　　 )(第 2题 )(A)四个几何体中 ,面数最多的是 4.(B) 2中有三个面是平面 .(C) 1由两个面围成 ,其中一个面是曲面 .(D)图中只有一个顶点的几何体是 3 .3 .有一个直三棱柱 ,底面是边长为 3 cm的正三角形 ,侧棱长为 9cm ,则该棱柱的侧面展开图是 (　　 )(A)长为 9cm ,宽为 3 cm的矩形 .(B)长为 2 7cm ,宽为 3 cm的矩形 .(C)边长为 9cm的正方形 .(D)…     

变形类设计题的思路

设计类问题不仅能反应出掌握知识的能力,而且对动手操作和分析问题、解决问题的能力都提了很高的要求,因此,设计类问题越来越多地出现在试题中.其中有一类题:根据已知图形,按要求把图形变形成与其面积相等的另一个图形.这类题不妨叫做变形类设计题,以下就变形类题设计思路举例说明如下.例1如图1,已知:两个连体正方形,把它分成三部分,使它们重新组合成一个正方形,用图示表示出组合方法.分析设较小正方形边长为a,较大正方形边长为b(b>a),由于组合后的图形是正方形,根据变形前后面积不变,可以求出该正方形的边长为a2+b2,如图2,在BD上取一点C,…     

感知、领悟、创新——求长方体容积最大教学三部曲的反思

有一块长为1米的正方形硬纸板，在四个角剪去一个小正方形后，再折成一只无盖的盒子，如果要使制成的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少？此题是上海市高中一年级笫一学期不等式章节中探究与实践中的一道题（上教版高中一年级第一学期P．59），没想到它竟然也能在预备班中组织教学，而在高三复习时又能发挥其综合练习的作用，那么各年级是如何组织教学，其价值何在，笔者借助各年级的教学过程谈述对感知、领悟和创新的思考．     

在“做数学”中改善学习方式

人教版小学数学第十一册P119页中有这样一题：从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆(如下图)。这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米?剩下的铁皮面积占原来正方形面积的几分之几?