涉及三角形高线的一个不等式的改进

设ａ、ｂ、ｃ分别表示△ＡＢＣ的三个边 ;ｈａ、ｈｂ、ｈｃ分别为ａ、ｂ、ｃ上的高 ;ｓ、ｒ、Ｒ分别表示△ＡＢＣ的半周长、内切圆半径、外接圆半径 .文 [1]证明了下面的不等式 :ｒ(5Ｒ-ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ,(1)当且仅当ａ=ｂ=ｃ时等号成立 .文 [2 ]给出了 (1)式的另一简洁证法 ,并得到一个与之类似的不等式(ｒＲ) 3 (16- 5ｒＲ) ≤ (ｈ2 ａｂｃ) 2 (ｈ2 ｂｃａ) 2 (ｈ2 ｃａｂ) 2≤ (1 ｒＲ) 4- (ｒＲ) 2 (16- 5ｒＲ) ,(2 )当且仅当ａ=ｂ =ｃ时等号成立 .本文给出 (2 )式的改进 ,即ｒｓ22…     

涉及三角形高线的一个不等式

受文 [1]、[2 ]启发 ,笔者得到一个涉及三角形高线的不等式 .命题　设△ＡＢＣ对应边ａ、ｂ、ｃ上的三条高线是ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,外接圆、内切圆半径分别是Ｒ、ｒ ,则有ｒ( 5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ≤(Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时等号成立 .为了证明命题 ,先给出如下的引理 .引理　设ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长 ,Ｒ、ｒ、Ｓ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径、面积 ,则ｒ( 5Ｒ -ｒ)ＲＳ ≤ 1ａ 1ｂ 1ｃ ≤(Ｒ ｒ) 2ＲＳ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时等号成立 .证明　由熟知的恒等式　ａｂｃ=4ＲＳ ,…     

有关高线的一个不等式

在文献 [1]中 ,有下面一个关于三角形高线的不等式 :ha+rha- r+hb+rhb- r+hc+rhc- r≥ 6 . (Cosnita-Turtoiu) (1)其中 ha,hb,hc 和 r分别为△ ABC相应边上的高线和内切圆半径 .本文试图给出 (1)式左端的一个上界 ,即证明H =ha+rha- r+hb+rhb- r+hc+rhc- r<7. (2 )由 ha =2 Sa,r =2 Sa+b+c(这里 S是△ ABC的面积 ) ,可得 har=a+b+ca ,代入 (2 )可以求得H=har+1har- 1+hbr+1hbr- 1+hcr+1hcr- 1=3+2 (ab+c+ba+c+ca+b) . (3)为了确定起见 ,不妨可设 a≥ b≥ c,且进一步设 a=xc,b=yc,再由 b+c>a,可得 1≤y≤ x<1+y.将 a,b代入 (3)化简后得…     

涉及三角形中线和高线的一个不等式

问题 如图1,已知ha,hb,hc,ma,mb．mc分别为△ABC三边a,b,c的高线长和中线长,求证：     

相似三角形的性质

关于“平行线分线段成比例定理”的教学 ,初中《几何》教材[1] [2 ] 都是采用举例引入而不予证明的方式编排的 .为什么不给出证明呢 ?据说是因为证明涉及无理数理论、极限思想等 ,学生尚不能接受[3] .下面给出一个无须涉及无理数理论、极限思想的证明 ,供教学时参考 .定理　如图 1 ,△ABC中 ,若DE∥BC ,则 DEBC =ADAB=AEAC=MNMC(其中MN和MC分别是△ADE和△ABC的高 ) .证明　如图 1所示 ,构造 AFBC ,过D作GE∥BC ,过D作HK∥AC ,过C作CM⊥直线FA ,垂足为点M ,而交直线GE于点N .∵S△AFB=S△ABC,S△AHD=S△ADE,S…     

“可解三角形”与“需解三角形”

所谓"可解三角形",是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形;而"需解三角形"则是指需求边或角所在的三角形.当一个题目的图形中三角个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个"可解三角形"的某些边和角,从而使"需解三角形"可解.在确定了"可解三角形"和"需解三角形"后,就要正确地判断它们的类型,合理的选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素,并确定解的情况.     

三角形的概念和性质

本讲中与三角形有关的概念、三角形的边角关系定理及推论、中位线定理等是后面学习儿何的基础，应注意理解、掌握及运用好，对三角形的分类应做到“不重”和“不漏”。     

三角形中角与角关系的探讨

三角形是初中几何的重要基础．在三角形中,角与角之间存在着许多内在联系,本文、就此问题探讨如下：     

三角形中的边角关系式及应用

记△ABC的二个内角为A、B、C,三边为a、b、c,面积为S,由正、余弦定理及半角公式可得如下两组边角关系式(每一类型的三个关系式只写出一个,其余略).     

角平分线与高线的夹角探究

角平分线与高线是三角形中的两条主要线段,它们的夹角与三角形的内角存在下面两条规律．1．三角形同一顶点引出的角平分线与高线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半．     

7．2与三角形有关的角

1．在△ABC中,∠A=40&#176;,∠B=70&#176;,则∠C=______.     

有效利用三角形的高

在“三角形”这一章里我们认识了三角形的高线,你是否注意到了它的独特性呢？我们来总结一下三角形高线的用法．     

三角形角平分线与高线夹角问题的探究

在一节数学活动课上，老师安排我们对三角形中角平分线与高线的夹角问题进行探究（如图1）．我们分小组探讨，大胆猜想，认真求证，最后得到了两个有用的结论，为我们今后解题提供了便利．请先看例题．     

三角形2号心的几何性质

文[1]研究了三角形2号心的性质，本文做进一步探讨．     

怎样学好相似三角形

<正> 相似三角形是初中几何中的一个重要内容,它是在全等三角形知识基础上的拓广和发展,同时又是今后学习解直角三角形和圆的知识基础.为帮助同学们进一步牢固掌握相似三角形内容,本文对课本知识进行一次梳理,并举例说明如何运用相似三角形知识解答有关问题.