“端点效应”破解不等式恒成立问题

<正>1试题呈现(2019年新课标全国卷Ⅰ文科第20题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)是f(x)的导函数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π],f(x)≥ax,求a的取值范围.2试题解析与评析     

一道高考试题的解法探究与启示

<正>一、试题呈现与简评试题(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.本试题两个小问,文字量少,表述精炼清晰,呈现平和自然的态势.深化能力立意一直是高考数学命题的追寻目标,本试题立意鲜     

抽象函数题的类型

一、求函数的定义域的试题例1 已知f(x+1)的定义域是[-2,3),求,f(1/x+2)的定义域.解∵f(x+1)的定义域为[-2,3),即-2≤x<3, ∴-1≤x+1<4 ,∴-1≤1/x+2<4.∴x≤-1/3或x>1/2故f(1/x+2)的定义域为(-∞,-1/3]∪(1/2,+∞).二、确定取值范围的试题例2如果函数f(x)的定义域为{x|x>0},且,f(x)为增函数,f(x·y)=f(x)+f(y).     

抓住问题本质 解题才能简捷——对2003年一道高考试题的思考

以下是2003年高考数学(新课程卷)的一道试题. 题目设a＞0,f(x)=ax2 bx c.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,π/4],则点P到曲线y=f(x)对称轴的距离的取值范围为( ).     

一类取值范围问题的解法思考

在近几年全国各地的高考试题中,利用导数求不等式中某一参数的范围问题非常活跃,且常以压轴题的形式出现.它的一般形式是:若关于x的不等式f(x,a)≤0(或≥0)对区间I中一切x都成立,求a的取值范围.一般的解法有两种:一是求出f(x,a)在I中的最大值(或最小值),进     

一道绝对值不等式试题的多视角探究

<正>以函数为背景的绝对值不等式的求解或在含绝对值的不等式成立背景下求参数的取值范围问题是高考的重点题型.本文以2020年一道全国高考试题为例,多视角探究这类问题的解法.一、试题呈现试题已知函数f(x)=|x-a²|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.二、解法探究1.第(1)问的思路分析与解答分析1 将a=2代入化简函数,利用零点划分区间讨论求解不等式.     

一道2019年高考导数解答题的探究

<正>1 试题(2019年高考全国卷Ⅰ,文20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.试题以三角函数为背景,考查了正(余)弦函数的性质、函数零点、含参数不等式恒成立以及导数在解决函数问题中的应用,考查了学生分析问题与解决问题的能力以及数形结合、设而不求等数学思想方法.试题与函数、     

自然朴素的解答是我们永恒的追求——对2012全国卷理科20题的思考

1 试题及标准答案 题目 设函数f(x) =ax+cos x,x∈[0,π]. (I)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sin x,求a的取值范围. 标准答案(I)f1(x)=a-sin x. (i)当a≥1时,f1(x)≥0,且仅当a=1,x=π/2时,f1(x)=0,所以f(x)在[0,π]是增函数; (ii)当a≤0时,f1(x)≤0,且仅当a=0,x=0或x=π时,f1(x)=0,所以f(x)在[0,π]是减函数;     

函数的奇偶性在解题中的应用

如果对于函数f(x)定义域内的任一个x都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇(或偶)函数,这就是函数的奇偶性,它是函数的重要性质,也是高考的热点内容.下面结合近年来高考有关函数奇偶性的试题,对其在解题中的应用加以分类解析,以供同学们复习参考.     

不等式恒成立问题中的求参策略

含有参数不等式恒等式成立问题在高考试题中经常出现 ,是高考数学的一个重要知识点 .但是由于这类问题涉及知识点多 ,方法灵活多样 ,技巧性强 ,难度大 .是教学中的一个难点 .本文结合教学实例 ,对不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作一些归纳和整理 ,希望有助于学生的复习 .一、分离参数法分离参数法就是把不等式中的参数 t和自变量 x分离出来 ,通过求函数 f ( x)的最值来求参数的取值范围 .例 1　已知 f ( x) =lg( x +1) ,g( x ) =2 lg( 2 x +t) ( t∈ R) ,如果 x∈ [0 ,1]时 ,f ( x)≤ g( x)恒成立 ,求t的取值范围 .解 :由 f ( x…     

2OO2年高考模拟卷中题型变化

连续多年直接从事复习迎考工作,解答了2002年各地模拟试题,题型在稳中求新,试录如下,供参考. 一、出现新定义问题1.(杭州)对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点.若二次函数f(x)=x2+az+1没有不动点,则实数a的取值范围是     

三角中创新试题

一、开放性试题主要指条件开放题,结论开放题,条件与结论都开放的试题.例1设函数f(x)=sin2x,若f(x t)是偶函数,则t的一个可能值是.分析:本题是结论开放题,紧扣偶函数定义即可解决.解:若f(x t)是偶函数,则sin(2x 2t)=sin(-2x 2t),得2x 2t=2kπ (-2x 2t)或2x 2t=2kπ π-(-2x 2t)     

构造函数法在高考中的运用

<正>纵观2015年全国各省市高考数学试题不难发现,构造函数法在解决高考试题中有着较为广泛的运用.本文以2015年高考相关试题为例予以说明,仅供参考.一、不等式问题例1(全国卷)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0.当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()     

最值问题简解探源

<正>1试题呈现答案比较(2016-2017江苏省苏北四市高三联考试卷第14题)已知函数f(x)=|x²-4|+a|x-2|x∈[-3,3].若f(x)的最大值是0,则实数a的取值范围是__.参考答案1因为函数f(x)的最大值为0,故函数f(x)≤0在-[3,3]上恒成立,从而     

对“f(x)与f(f(x))有相同值域”问题的思考

一、试题呈现设函数f(x)=x2+2ax+a,若函数f(x)与函数f[f(x)]的值域相同,则实数a的取值范围为.第一步:分析f(x)的单调性与最值,易知f(x)在(-∞,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,f(x)min=f(-a)=a-a2,∴f(x)的值域是[a-a2,+∞).第二步:换元分析两函数.设t=f(x),则f[f(x)]=f(t),函数f(t)在t∈(-∞,-a)上递减,在t∈(-a,+∞)上递增,则y=f(t)(t≥a-a2)的值域也是[a-a2,+∞).     

掌握一种科学的语言和工具,学习一种理性的思维模式——新课程试卷函数试题的命题和答题

新课程试卷文科第(21)题和理科第(20)题是同一类型的试题,利用导数讨论曲线的切线的有关性质. 文科试题为:已知a>0,函数f(x)=x3-a,x∈[0, ∞).设x1>0,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.     

不等式（二）

近几年高考加强了在知识交汇点上命题的力度,单独解不等式或证明不等式的题目有所减少,而频频出现考查不等式综合应用的试题,这更要引起我们的重视.一、试题评析11不等式与函数【例1】给出一个不等式x2 1 Cx2 C≥1 CC(x∈R)经验证:当C=1,2,3时,对于x取一切实数,不等式都成立.试问:当C取任何正数时,不等式对任何实数x是否都成立?若能成立,请给出证明;若不成立,请求出C的取值范围,使不等式对任何实数x都能成立.解:令f(x)=x2 1 Cx2 C设u=x2 C(u≥C)则f(x)=u2 1u=u 1u(u≥C)f(x)-C 1C=(u 1u)-C 1C=(u-C)(u C-1)u C要使不等式成立,则f(x)…     

两种二元不等式中求未知数取值范围方法探讨

二元不等式f(x,y)>0(或f(x,y)≤0)中,求x,y的取值范围或已知x(或y)的范围求y(或x)的取值范围是一类比较普遍的问题(因为把y(或x)视为常数,f(x,y)>0就是关于x(或y)的一元含参不等式,即含参一元不等式实质是二元不等式),也是一类容易混淆,不易掌握好的问题.这类问题中     

函数周期性的是与非

近几年的高考试题中出现了一些深层次刻画函数周期性的题,这类题以前主要用于数学竞赛或高考模拟训练,现在高考试题中也时有出现,这是一种新动向.为此,笔者撷取高考中的几例,对函数周期性的是与非进行一些探索.一、函数周期性判断的变式例1 (2006年安徽卷第15题)函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x 2)=1/(f(x)),若     

破解一类导数压轴题的新思路

<正>恒成立问题中,求参数的取值范围这类试题综合性很强,考查学生的数学素养和数学能力,经常作为压轴题出现. 那如何突破瓶颈,解决这一类问题呢?当这类试题具有某种特点时,就可以另辟蹊径,换一种新思路来解决,这样不仅思路清晰,目标明确,而且可以减少解题中的"废招",直取问题核心.1 题型特点题目已知函数y=f(x),若x∈[m,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围(其中a是函数f(x)的参数).分析这类题目是恒成立问题