最小正周期的证明与求法

连续周期函数(常数函数除外)必有最小正周期,求出它的最小正周期是有实际意义的:其一,知道了周期函数的最小正周期,就可把握住它的所有周期(见下面性质3);其二,知道了周期函数的最小正周期,就可在小的取值范围内研究函数的性态。对于函数f(x),其定义域为M.如果存在一个非零常数T,x±T∈M,并且对于     

怎样解三角函数的周期性问题

判别一个函数是不是周期函数,求周期函数的周期,以及证明最小正周期等问题,一般都是利用定义解决的。若函数f(x)为周期函数,必有等式 f(x+T)=f(x)成立。这里要注意:(1)T必须是常数,且不为零。(2)上式必须对于定义域内的所有x值都成立。要判别函数f(x)是周期函数或者非周期函数,以及求周期函数的周期只要列出等式f(x+     

周期函数问题浅谈

一、周期函数的定义设函数y=f(x),(x∈D),如果存在非零常数T,使得对任何x∈D都有f(x+T)=f(x),则函数f(x)为周期函数.非零常数T叫做y=f(x)的一个周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做y=f(x)的最小正周期.     

求三角函数周期的一种方法

求三角函数的周期是学生颇感困难的问题。本文将提供一种求三角函数周期的方法。就是按照题目给的条件先假设函数的最小正周期为T,由周期函数定义列出恒等式,再由恒等式的变形及定义,确定出与自变量无关的最小正常数T。 [例] 求下列函数的最小正周期: (1) y=cos3/2x+sin1/3x; (2) y=ctgπx-tgπx。解:(1)设函数y=cos3/2x+sin1/3x的最小正周期为T。由周期函数定义得:     

求周期函数的最小正周期

有关周期函数的最小正周期的存在、求法的问题探讨不少。本文借助于周期函数的分析性质,确定其最小正周期。定理1 设f(x)为非常数的连续周期函数,T是其任一个正周期,若在[0,T]内函数最大值的点(最小值的点)的个数为m,那么,1)当m为质数时,其最小正周期T_0为T/M 或T;2)当m为合数时,其最小正周期T_0为T/K,其中K是m的某个约数。[注] 证明:因为f(x)是非常数连续函数,因此f(x)必定存有最小正周期,不妨令作T_0,而T是f(x)的任一个正同期,且在[0,T]     

浅谈周期函数

一、周期函数 设函数f(x)的定义域为数集A 定义1,若存在T>0,对任意x∈A且x±T∈有: f(x±T)=f(x)则称函数f(x)为周期函数,T称为函数f(x)的周期。 定义2,对于周期函数y=f(x),如果存在一个最小正数Z,能使x取定义域中的任意值时,等式f(x±Z)=f(x)恒成立,那么这个最小的正周期Z称为函数f(x)的周期,亦称基本周期。 充分理解这两个定义的实质,必须弄清以下几个问题: (1)若要证明一个函数y=f(x)是周期函数,必须严格证明它符合定义的条件,即找到非零常数T,使f(x=T)=f(x)。     

周期函数与函数的周期

本文将在高中数学教材的基础上,对周期函数的定义域,最小正周期以及周期函数的复合进行一些发掘,以期抛砖引玉。定义1 函数y=f(x)是定义在数集D上的函数。如果存在非零常数T,使得对任意x∈D,总有f(x T)=f(x),我们就把y=f(x)叫作D上的周期函数,T叫这个函数的周期。     

三角函数中的周期性问题

对于三角函数中的周期性内容的学习与把握 ,笔者认为应从如下四个方面进行 .1　正确理解周期函数的概念全日制高中数学第一册 (下 ) ,2 0 0 0年人教版第5 1页 ,给出了周期函数的定义 :“一般地 ,对于函数f(x) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x取定义域内的每一个值时 ,都有 f(x+T) =f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数 ,非零常数T叫做这个函数的周期 .”对于一个周期函数 f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .对周期函数这一概念的理解 ,应注意以下几点 :(1)若 f(x)是周期函数 ,则其定…     

周期函数f(x)的倒数函数1/f(x)的周期性

关于周期函数f(x)的倒数函数1/(f(x))的周期性,文[1]是这样叙述的:“若f(x)是集M上的周期函数,则1/(f(x))是集{x|f(x)≠0,x∈M}上的周期函数。若f(x)有最小正周期T则1/(f(x))也有最小正周期T。”该定理的后半段是不正确的。文[2)曾给出一反例如下。     

周期函数的性质与证明

函数的周期性是研究函数性质的重要内容,是教学中的一个难点。本文拟从周期函数的定义出发,总结一下周期函数的性质和最小正周期的求法与证明。一、周期函数的几个性质性质1 周期函数必有正周期。设T(≠0)是函数y=f(x)的一个周期,则-T也是它的一个周期。(若f(X-T)有意义)     

对周期函数定义的一点看法

目前,各大、中专教材对周期函数是这样定义的:“对于函数f(x),如果存在不为零的常数T,使得对定义域D内的一切X,都有f(x T)=f(x)成立,则函数f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的周期。显然若T为函数f(x)的周期,则KT(K=±1,±2,……)也是它的周期。通常周期函数的周期是指最小正周期”。由定义,对任意x∈D,若有f(x T)=f(x),T≠0,则必有f(x-T)=f(x)。事实上此结论未必成立。因为对任意x∈D,若有x T∈D且f(x T)=f(x),T≠0,未必有x-T∈D,从而未必有f(x—T)=f(x)。例如,函数f(x)=x-[x],x∈D,其中[x]为x的最大     

函数的周期性与奇偶性

函数的性质一直以来都是高考的一个重要考点.如何准确灵活地把握函数的性质,顺利地解答有关问题,是需要我们探索和研究的课题.笔者从函数的周期性和奇偶性方面入手进行了如下研究: 一、函数的周期性 一般地说,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使取定义域内的每一个x值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.理解周期性要注意以下几点:1.定义适合定义域中的每一个x值.2.并不是所有周期函数都存在最小正周期,如常数函数f(x)=c,所有的正数都是它的周期,但没有最小值,故常数函数没有最小正周期.3.周期函数的周期不止一个,若T是周期,则kT(K∈N+)也是周期.     

周期一定是最小正周期的整数倍吗?

文[1]在讨论周期函数有关最小正周期的性质时特别强调:若函数f(x)有最小正周期t,则f(x)的任何周期T·一定是t的整数倍,即存在k(k∈Z,k≠0),使T·=kt     

谈谈周期函数

周期函数的概念、函数周期性的判定、最小正周期的求法是中学数学教学中颇感棘手的问题。本文用初等方法来作些探讨。一周期函数的概念高中代数第一册(甲种本)是这样给周期函数下定义的:“对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数”。若用E表示f(x)的定义域当,T>0     

判定周期函数的几种常用方法

判定一个函数是否为周期函数,在高中数学教材中,只能依据周期函数的定义:“对于函数 f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时都有f(x T)=f(x)．那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期”(全日制普通高级中学教科书试验修     

周期函数的性质

了。有些周期函数有最小正周期,如y=sinx的最小正周期是2π,但有些周期函数却没有最小正周期,如常函数y=c(常数)任何非零常数都是它的周期,怎样的周期函数才有最小正周期呢?下述定理表明,“连续性”是周期函数具有最小正周期的充分条件。 定理2 设f(x)是周期函数,且f(x)是异于常数的连续函数,那么f(x)有最小正周期。 事实上f(x)的“整体连续性”条件还可以被条件“一点连续性”所代替。即,定理2可改成下述命题。     

关于周期函数的几个定理

关于周期函数,我们有以下熟知的定义: 设f(x)是定义在R上的实函数.若存在非零数l,使得对Ax有f(x l)=f(x),则称f(x)为周期函数,l为一个周期。周知,一个周期函数未必有最小正周期,因此有必要探求周期函数存在最小正周     

由高考数学题引发的思考

新课标的理念倡导,教师应该对学生实施素质教育,培养学生的创新精神和实践能力,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生团队合作的精神。下面以2005年高考数学题所引发的思考为例:题目:(Ⅰ)(2005年全国卷Ⅱ)函数(f x)=｜sinx cosx｜的最小正周期是()(A)π4(B)π2(C)π(D)2π(Ⅱ)(2005年江西卷)设函数f(x)=sin3x ｜sin3x｜,则(f x)为()A.周期函数,最小正周期为23πB.周期函数,最小正周期为π3C.周期函数,最小正周期为2πD.非周期函数(Ⅲ)(2005年湖北卷)函数y=｜sinx｜cosx-1的最小正周期与最大值的和为____(Ⅳ)(2005年上海卷)函数(f …     

谈谈周期函数(续)

二、有关定理下面介绍的一系列定理,可以帮助判定函数的周期性或求出最小正周期。定理1 设f(x)、g(x)皆为定义在实数集R上的周期函数,T_1与T_2分别为f(x)与g(x)的正周期,当T_1/T_2等于有理数时,则f(x)±g(x),f(x)·g(x)均为定义在R上的周期函数,且T_1与T_2的公倍数是它们的周期。(未必是最小正周期) 证设T_1/T_2=p/q(p与q皆为正整数)令T=qT_1=pT_2则f(x±T)±g(x±T)=f(x±qT_1)±g(x±pT_2)=f(x)±g(x).所以f(x)±g(x)是周期函数,T为周期。对于f(x)·g(x),同理可证是以T为周期的函数。注(1)实数集R可用上、下无界数集E代替;(2)对于有限个函数,定理仍然     

关于非周期函数的判定

周期函数是一类非常重要的函数。函数周期性的研究在中学数学中占有重要的地位.研究函数周期性的重要环节是周期性的判别:哪些函数具有周期性、哪些不具有?判断一个函数是周期函数、求函数的周期等已有了一套比较成熟的方法,而判断一个函数“不是周期函数”,则尚缺乏系统的方法. 本文从深入挖掘周期函数的定义出发,提出几种判别“非周期性”的方法,并用之判断几类典型的非周期函数. 我们知道,函数周期性的定义是:如果存在常数F≠0,使得对函数f(x)定义域中的任何x,f(x T)=f(x)成立,则f(x)称为周期函数,T叫做f(x)的周期.