导数和方程根的个数

<正>一次方程ax+b=0(a≠0)与二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数与系数的关系,我们都很清楚.对于大于二次的高次方程根的个数的讨论并没有现成的公式.方程     

题设条件a b c=p的隐含关系及应用

命题若a,b,c,p∈R,a b c=p,则存在k∈R,使b=-(k 1)a,c=ka p。而且也存在k’∈ R,使c=-(k’ 1)a,b=k’a p。证明由a b c=p得a b (c-p)=0,以a、b、(c-p)为二次项、一次项的系数和常数项,作一元二次方程 ax~2 bx (c-p)=0(假定a≠0),显然方程有根为1,(因为a b (c-p)=0),若另一根为k,(k∈R)由根与系数的关系得-b/a=k 1,即 b=-(k 1)a,(c-p)/a=1·k,得c=ka p。再作二次方程ax~2 cx (b-p)=0,其一根为1 ,若另一根为k’,则有     

非奇异对称（a,b）矩阵中元素a的可能个数

设a和b是两个不同的实数,如果一个矩阵的元素为a或b,我们称这样的矩阵为（a,b）矩阵。根据a、b的不同取值分三种情形给出了n阶非奇异对称（a,b）矩阵中元素a的可能个数。     

应用a＋b＋c=0解题

在方程ax^2+bx+c=0(a≠0)中,若a+b+c=0,则方程二根为1和c/a;反之,当方程有一根为1,则另一根为c/a且a+b+c=0,应用这个性质解题,常能收到出奇制胜之数,现举例如下。     

掌握根与系数关系定理的着眼点

一、理解根与系数关系的本质特征一元二次方程根与系数的关系 ,教材从两个方面进行了研究。一方面从一元二次方程的求根公式出发 ,揭示出两根和及积与系数的关系 ,即 :ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的两个根是 x1、x2 ,则 x1 x2 =- ba,x1· x2 =ca。运用这个关系式可不解方程而从一元二次方程的一般形式求出它的两根之和与两根之积 ;另一方面可由两个数来得到一个以这两个数为根的一元二次方程。1.由已知一元二次方程求它的两根和与两根积。例 1.已知实数 a、b满足 a2 =2 - 2 a,b2 =2 -2 b,且 a≠ b,试确定 a b与 ab的值。分析 :整理 ,得 a2 2 a- 2…     

浅谈方程的公共根

两个或两个以上方程有公共根(解)的命题,由于参数的介入,字母较多,知识面广 学生往往难以下手,本文给出该类命题的四种解法.一、代入法 就是用公共根代入到有关方程中,从而寻找解题途径的一种方法.例1 已知两个二次方程x~2 ax b=0,x~2 cx d=0有一公共根1,求证:二次方程(?)x (b d)/2=0(*)也有一个根是1.证明:∵1是已知两个方程的公共根,∴有1~2 a·1 b=0 (1),1~2 c·1 d=0(1) (2)后,可得1 (a c)/2 (b d)/2=0,     

一类特殊方程组的解法技巧

在解形如 方程组时,常用的方法是代入法。这种方法在求解过程中显得不够简捷,这里例说二种较简捷的方法。 方法一 上述方程组是一种对称方程组,它可以看成是已知两个数x、y的和与积,求两数。由韦达定理可把x、y看成是二次方程z~2-az b=0的根。因为对称方程组的解是对称数组,二次方程的每个根都可以看作是x或y。所以原方程组解的个数决定于方程z~2-az b=0的根的个数。因此,当△=a~2-4b>0时方程组有两组不同的解。     

1994年合肥市高中数学竞赛

一、选择题(共40分,每小题5分) 1.设a,b为实数,cosa=b,cosb=a,则a与b的大小关系是( )。 (A)a>b (B)a相似文献   

a b c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,常常隐含着a+b+c=0,此时方程的根究竟有什么特征呢?下面我们来研究这个问题。首先,为了能更清楚地看到方程与系数的关系,我们可以先由a+b+c=0,得b=-(a+c),代入方程消去b,得ax2-(a+c)x+c=0,ax(x-1)-c(x-1)=0,(x-1)(ax-c)=0,哈,原来方程的两根为x1=1,x2=ca。由此,我们得到如下一个结论:当a+b+c=0时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根为1,另一根为ca。运用这个简单的结论解决一些相关的问题十分简洁。请看:例1解方程:穴3姨-2雪x2+穴1-3姨-2姨雪x+2姨+1=0分析:直接用解一元二次方程的方法求解显然很…     

(a·b)c=a(b·c)成立的充要条件

<正>我们知道,在向量数量积的运算中,不考虑(a·b)·c,这是因为数量积运算符号"·"只适用于两个向量之间,而不适用于数与向量之间,a·b是一个数,故(a·b)·c没有意义.但(a·b)c与a(b·c)都有意义,通常情况下,(a·b)c≠a(b·c),那么(a·b)c=a(b·c)在什么情况下成立呢?成立的充要条件又是什么呢?经探究,得知     

判别式与韦达定理的综合运用

解一些与一元二次方程有关的数学问题,我们必须综合运用判别式和韦达定理这样进行,才能获得正确的结果．例1已知a、b、c为正数,若二次方程ax‘＋bx＋c＝0有两个实数根,那么方程a‘x’＋6‘x＋c’－0（）（A）有两个不等的正根;（B）有一个正根和一个负根;（C）有两个不等的负根;（D）不一定有实数根．门又如年祖冲之杯初中数学邀请赛试题）解由二次方程axZ＋bx＋c＝0有两个实数根,那么西一矿4ac＞0,0＞4ac＞Zac．凸。＝b4－4G2C2＝（b‘＋ZQC）（6’ZC）,又62＋Zac＞0,bZ－Zac＞0,乙’＞0．二次方程a‘x‘＋b‘x＋c‘＝0…     

平方差公式的变形使用

平方差公式: (a+b)(a-b) = a2-b2.语言叙述: 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方的差.在理解平方差公式的基础上,要注意公式的变形应用.解题方法一、找准公式中的a和b例1　计算12a+23b23b-12a .分析　此式为两项之和与两项之差相乘的形式.但这两项在两个括号中的排列并不像公式中一样“规范”.由第二个括号中知,“两项之差”的前一项为13b,后一项为12a, 因此第一个括号中,利用加法交换律交换 2 项的顺序,使它们像公式中顺序一样“规范”,然后“套”公式.解　原式=23b +12a23b -12a=23b2-12a2=49b2 -14a2.例2　计算(-3x-2y)(3…     

关于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的证明

对于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|,高中教材的证明如下: ∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,∴-(|a| |b|)≤a b≤|a| |b|,即|a b|≤|a| |b|,(1)又 a=a b-b;|-b|=|6|,由(1)得|a|=|a b-b|≤|a b| |-b|即|a|-|b|≤|a b|,(2)由(1),(2)得|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|.显然上面证明中的(2)的证法不容易想到,本人在教学实践中采用了下面的证法,不但思路自然,且证明过程更为简捷,教学效果好,现提供同行参考.     

从集合{a,b}的子集说起

前言课内寻"根" 课外连"系" 问题1:写出二元集合H2={a,b}的所有子集. 对这个"简单"问题,相信同学们可以"一挥而就",迅速地写出答案:￠,{a},{b},{a,b},这个答案显然是正确的. 这是课本上的一道例题.     

条件为a+b+c=0的一个命题及其应用

命题　若实数 a,b,c满足 a b c=0 ,则　 ( ) a3 b3 c3=3abc;( )关于 x的方程 ax2 bx c=0必有一根为 1;( ) b2 ≥ 4ac.证明　 ( )由乘法公式 (a b c) (a2 b2 c2 - ab- bc- ca) =a3 b3 c3- 3abc知 ,当 a b c=0时 ,a3 b3 c3=3abc.( )当 x=1时 ,ax2 bx c=a b c= 0 ,故 x=1是方程 ax2 bx c=0的根 .( )当 a≠ 0时 ,ax2 bx c=0是一元二次方程 ,由 ( )知它有实数根 ,故△≥ 0 ,即b2 - 4ac≥ 0 ,b2 ≥ 4ac.当 a=0时 ,b2≥ 4ac显然成立 .这是一个重要的命题 ,它的应用极为广泛 ,利用它来解决条件中出现 (或可化成 ) a b …     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

a＋b＋c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果字母系数的和a＋b＋c=0，那么x1=1一定是方程的根，且另一根为x2=c/a；反之如果有一根为x1=1，则a＋b＋c=0．     

含条件a+b+c=0的若干性质及应用

性质1 若a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0有一个根是1. 证明:∵a+b+c=0,∴c=-(a+b).∴ax2+bx-(a+b)=0.∴(x-1)(ax+a+b)=0.∴x=1或x=-1-b/a.     

公式a·b=|a||b|cosθ的妙用

用向量的数量积公式 a·b=|a||b|cosθ(θ为向量 a 与 b 的夹角)推导正弦定理、余弦定理及射影定理时,简洁、明快.如图所示AB=AC+CB,设x轴、y 轴方向上的单位向量分别为 i、j,将上式两边分别与 i、j