双圆四边形的一个性质

定理设双圆四边形ABCD的边长AB=a．BC二b，CD=c，DA=d，R、r、△分别表示外接圆和内切圆的半径和面积，     

涉及两个双圆四边形的不等式

在△ABC和△A′B′C′中,有如下的不等式1/aa′+1/bb′+1/cc′≥1/RR′　　　(1)其中a、b、c、R,a′、b′、c′、R′分别为△ABC和△A′B′C′的三边和外接圆半径,等号成立当且仅当a=b=c且a′=b′=c′。本文将其推广到双圆四边形(即既有外接圆又有内切圆的四边形),并给出几个猜想。定理　设双圆四边形ABCD、A′B′C′D′的边分别为a、b、c、d,a′、b′、c′、d′。它们的外接圆半径为分别为R、R′,则1/aa′+1/bb′+1/cc′+1/dd′≥2/RR′　　　(2)等号成立当且仅当a=b=c=d且a′=b′=c′=d′证明:首先我们有a2+b2+c2+d2≤8R2　　…     

谈双圆四边形的一个性质

《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).…     

欧拉不等式的链

设三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R,则2r≤R。对于上述著名的欧拉不等式,本文给出它的一个链,同时还给出欧拉不等式在四边形中的推广及其链。一、欧拉不等式的链定理1 设三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R,三边为a、b、c,则2r≤(abc/(a+b+c))~(1/2)≤R。     

双圆四边形中一个关联四圆的不等式

定理　设ABCD为双圆四边形 ,R、r分别为外接、内切圆半径 ,r1、r2 分别为△ABC、△ADC的内切圆半径 ,则有R≥4r (r -r1) (r-r2 )r1 r2.①证明 :记AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,△ABC、△ADC的面积分别为Δ1、Δ2 ,四边形ABCD的面积为Δ ,半周长为 p ,则Δ1=12 r1(a b AC) ,Δ2 =12 r2 (c d AC) .由Δ =Δ1 Δ2 ,得2Δ =r1(a b) r2 (c d) AC(r1 r2 ) .由文 [1 ]知Δ =abcd ,R =14(ab cd) (ac bd) (ad bc)abcd12 ,∴AC =(ac bd) (ad bc)ab cd12 =4RΔab cd≤4RΔ2Δ =2R ,∴ 2Δ≤r1(a b) r2 (c d) 2R(r1 r2 )…     

Milisavljevi不等式的加强及逆向

1978年,B.M.Milisavljevic建立关于三角形边长a、b、c与外接圆半径R、内切圆半径r的一个几何不等式[1]Rr≥31∑ba+c.(1)Milisavljevic不等式形式优美,且加强了著名的Euler不等式[2]R≥2r,引起了不少人的兴趣.1996年,宋庆先生撰文[2]指出,Milisavljevic不等式强于不等式Rr≥43∑b+ac;(2)该文中,作者建立了一个较(2)式强但与Milisavljevic不等式不分强弱的不等式Rr≥98???∑b+a c???2.(3)本文统一加强上述不等式,并给出一个逆向不等式.定理设a、b、c为△ABC的三边长,s、R、r分别为三角形的半周长、外接圆半径、内切圆半径,则29???∑s?a…     

欧拉不等式一个加强的再改进

<正>设△ABC的三边为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,则有著名的欧拉不等式R≥2r.文\[1\]中建立了如下三角形式的加强.定理1设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径,则有(Σ表示循环和)■当且仅当△ABC为正三角形时取等号.由于式(1)可改写为■,由熟知的不等式■,可知式     

穿“心”引线，证明一类不等式

本文设△ABC 边 a、b、c 上的高分别为 h_a、h_b、h_c,半周长为 s,内切圆半径为 r,外接圆半径为 R.命题1、如图1,设 p、k、l 分别为△ABC 内的点 G到边 a、b、c 的距离,则有(a/p) (b/k) (c/l)≥6 3~(1/2)(1)证明:由柯西不等式,     

不等式R≥rsecπ/n的加强

1765年,数学泰斗欧拉(L.Euler)首先发现:任意一个三角形的外接圆半径R、内切圆半径r与其两圆心距d恒满足关系R~2=d~2 2Rr, ①从而由d~2≥0,得R≥2r. ② 这就是众所周知的欧拉不等式. 1798年,欧拉的学生富斯(N·Fuss)又证明:同时有外接圆和内切圆的四边形,其外接圆半径R,内切圆半径r与其两圆心距d恒满足关系(1/(R d)~2) 1/(R-d)~2=1/r~2,R~2=d~2-r~2 r(r~2 4R~2)~(1/2).据此,由d~2≥0即可得R≥(2r)~(1/2). ③ 这便是所谓的富斯不等式. 1988年,刘健将②、③推广成:设双圆n边形(既有外接圆又有内切圆的n边形)的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥rsecπ/n. ④ 近年来,我国学者还相继给出④的多种证法,并有人将其延拓到一般多边形的情形. 我们追寻先达时贤之笔迹,通过深入分析研究发现,④可以进一步加强为     

一个不等式的改进

文[1]给出三角形不等式: ∑m2a/bc≥2+r/2R (1) (其中a,b,c;mb,mc;s,R,r分别表示△ABC三边长,三中线长,半周长,外接圆和内切圆半径).     

《数学通报》1438号问题的美妙证明

问题设△ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆和内切圆半径为R、r,面积为△,半周长为s,求证:1/a2 1/b2 1/c2≤3√3/8R/△·r     

双圆半径的几何性质

本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC=     

关于垂足三角形的一个对偶恒等式

文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式     

Euler不等式加强式的改进及逆向

176 5年 ,著名数学家 Euler建立了关于三角形外接圆半径 R与内切圆半径 r的一个重要不等式 [1 ]R≥ 2 r. ( 1 )文 [2 ]给出上述不等式一个十分漂亮的加强形式R≥ 2 r+ 18R[( a- b) 2 + ( b- c) 2 + ( c- a) 2 ],( 2 )其中 a,b,c为三角形的三边长 .本文进一步加强 Euler不等式并给出其逆向形式 .定理　 a,b,c,R,r分别为△ ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径 ,则11 6 R( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 + 2 r≤ R≤ 2 r+ 11 6 r( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 .( 3)证明　 ( 3)式中左边不等式等价于R- 2 r- 11 6 R( | a- b| + …     

仅与边有关的Euler不等式的加强

<正>众所周知,在△ABC中,若R、r分别为其外接圆和内切圆半径,则有R≥2r.这是著名的Euler不等式,本文给出其三个仅与边相关的最新加强.命题1在△ABC中,a、b、c为其三边长,R、r分别为其外接圆和内切圆半径,则有R/2r≥(b~2+c~2)/2bc.(1)证明记S为△ABC面积,由熟知的三角恒等式abc=4RS及S=(1/2)r(a+b+c)知,     

例谈内切圆代换下的不等式证明

△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r. 上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明. 为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的. 如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r.     

有关双圆四边形内点的一个几何不等式

文[1]介绍了如下Carlitz-Klamkin不等式.设P是△ABC内任一点,P到BC,CA,AB的距离分别为r1,r2,r3,AB=c,BC=a,CA=b,s=(a b c)/2则2331121()()()()()()r r r r rrs?b s?c s?c s?a s?a s?b≤.(1)笔者经研究发现,在双圆四边形中也有定理设P是双圆四边形ABCD内任意一点,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,P到AB、BC、CD、DA的距离分别为r1,r2,r3,r4,s=12(a b c d),则有1223()()()()rrr rs?a s?b s?b s?c 34411()()()()r r r rs?c s?d s?d s?a≤.(2)证明由文[2]得a c=b d=s,∴1223()()()()rrr rs?a s?b s?b s?c 3441()()()()r r r rs?c s?d s?d …     

关于三角形旁切圆半径的又一个不等式

文[1]、文[2]分别建立了关于三角形旁切圆半径的两个优美不等式: 设△ABC 的三边长为 a、b、c,其旁切圆、外接圆、内切圆的半径分别为 r_a、r_b、r_c,R 与r,则有(2-r/R)~2≤∑(r_ar_b)/a~2≤(R/r-r/R)~2 (1)(2-r/R)~2≤∑(r_a~2)/(bc)≤(R/r-r/R)~2 (2)其中∑表示循环和(下同).本文建立与之相关的又一优美不等式:定理设△ABC 的三边长为 a、b、c,其旁     

几个著名不等式的加强

著名的Gerretsen不等式是:若s、R、r为△ABC的半周长及外接圆、内切圆半径,则16r-5r~2≤s~2≤4R~2+4Rr+3r~2 (1) 不等式(1)在证明三角不等式时有着广泛的应用。本文先给出s~2≤4R+4Rr+3r的一个加强: 命题1 s~2≤R(4R+r)~2/2(2R-r) (2) 证明 设a、b、c为△ABC三边长,将三角形中恒等式s-a=r/tg(A/2)和a=2RsinA相加,整理得:     

双圆半径的几何性质

定理1 设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则有:4Rr2=a0b0c0