公式sin~2α+cos~2α=1的应用

同角三角函数基本关系式之一——公式"sin2α+cos2α=1"在解决三角式的求值和化简,三角恒等式的证明、三角条件等式的证明、不等式的证明及解方程中都有广泛的应用,主要从正用、逆用和巧用三个方面举例说明。     

sin~2α+cos~2α=1用于解析几何

sin~2α cos~2α=1是三角恒等式中最基础的公式之一,也是很多恒等式推导的前提.它在解析几何中的应用更加体现了它的重要性.     

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同角三角函数关系式“sin~2α cos~2α=1”在三角恒等变形中具有广泛的应用．本文作一介绍,供大家参考．一、正用例1已知tanα=m≠0,求sinα．解:由sin~2α cos~2α=1,sinα/cosα=tanα,可得tan~2α=sin~2α/cos~2α=1-cos~2α/cos~2α= 1/cos~2α-1,所以cos~2α=1/1 m~2,可得cosα=±1/(?)~(1/2)．又m≠0,知α终边     

妙用公式“sin~2α+cos~2α=1”

公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos…     

sin~2α+cos~2α=1在非三角题中的应用

一、求最值(或值域)例1 (1993年全国高中数学联赛)满足4z。一5xy+4y。=5,设1s=X2+3,。测盎+瓦1:由s:zz十一设l z。2∞钮, 【v。~/Ssina.代入422—5删+4y2=5,得s=F二=_瓦10荔. 又一1≤sin2a≤1,.·.五10≤s≤竽. 一 S～。S商。一51 1 8‘ ● ● 例2 求函数Y=6+~/厂_的值域. 解 ‘.。z+(1一.27)=1且0≤z≤1. 设{;j墨≥.a∈鸭M y。oosa州na=扼sin卜十号)·.‘0≤a≤詈,.·.号≤a十号≤萼,.·.1≤sin(a+号)≤拒,即所求函数值域为[1,应].例3(1999年“希望杯”高～培训题)设以、b、C>0,ab=2,高中截学教与学2002置a。+b。+f。=6,求口f+bc的最大…     

sin~2α cos~2α=1的运用

“,“2“斗一cOSZ“一1是一个十分重要的公式,灵活运用它解三角题,可以沟通已知与未知的内在联系,达到化繁为简、化难为易的月的.下而介绍它在四个方面的运用. 5 insa十eossa 5 insa(5 inZaeosgaeosZa)‘ 一 C/万走), 小/万走)”(2k2十3k2)‘(2电十3今)ks(2 3)4k8丝625一用s:n,a eos‘。一1转化条件用a~(sinZa eos,a)a化三角式例1(1994年高考)已知sin6 eoso~冬,。任(。,O例4(第16届哈尔滨市高中数学竞赛试题)已知二),贝。tgo的值是:将已知等式两边平方,得tgx-丫下一,求eos4x一eosZrsin23工的位.如解S‘nZ“一十2·‘no·o·夕 一“一矗…     

“sin~2α cos~2α=1”在解题中的转化功能

高中数学新教材,对三角函数的教学要求与传统教材比较有很大的变化,删除了能用基本公式推出的多个公式,但对应用基本公式解决问题的能力提高了要求.本文从几个方面例谈公式“sin2a cos2α=1”的转化功能,以期引起重视.1 利用该公式构造转化构造转化即利用“sin2α cos2α=1”中量与量之间的关系构造出新函数,进行解题.例1 锐角α,β满足(sin4α)/(cos2β) (cos4α)/(sin2β)=1.求证:α β=π/2.证明由已知可设(sin2α)/(cosβ)=(cosθ),(cos2α)/(sinβ)=sinθ     

利用sin~2α cos~2α=1进行三角代换

平方关系是三角函数之间的一种基本关系,恰当运用千方关系,不仅能简化问题,而且还能加强数学各部分知识之间的相互渗透,本文略举数例说明其应用。 例1 已知a>b>c,求证1/(a-b) 1/(b-c) 4/(c-a)≥0。 证 由已知a>b>c得a-b>0,b-c>0,a-c>0,又因(a-b) (b-C)=a-C令:a-b=(a-C)cos~2d b-C=(a-c)sin~2d(其中0<口<π/2)。原不等式等价于1/((a-c)cos~2θ) 1/((a-c)sin~2θ)-4/(a-c)≥0即:1/(a-c)[(1 tg~2θ) (1 ctg~2θ)-4]≥0。 显然,不等式1/(a-c)(tgθ-ctgθ)~2≥0成立。故原不等式成立。 例2 已知f(x)=ax b,且2a~2 6b~2=3,证明:对任意实数x∈[-1,1],都有|f(x)|≤2~(1/2)。 证 由已知2a~2 6b~2=3,得(((2/3)a)~(1/2))~2     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

函数式sin~2α cos~2α的几何意义

将公式sin~2α cos~2α=1与圆的方程x~2 y~2=1进行比较,易见若点 A(x,y)是角α终边与单位圆x~2 y~2=1的交点,则有x=cosα,y=sinα.考虑点     

浅谈三角恒等式“sin~2x cos~2x=1”的应用

一个很简单的数学关系,如果能深入下去,善于联想。往往能结出丰硕之果。因此,从简单的数学关系出发,引导学生深入思考。启迪学生勇于联想,实在是培养学生发明创造能力,训练学生灵敏思维的好方法,为此。本文以三角恒等式“sin~2x cos~2x=1”为例,探求其在数学领域运用的踪迹。 1 恒等变形功能 三角恒等式sin~2x cos~2x=1具有一般恒等式的功能,即恒等变形功能。从左端至右端的组合变形,一般用以简化计算。而从右端至左端的分解变形,往往是解题的关键。     

巧用Sin~2α+Cos~2α=1解题

一、正用例1已知sinα+cosα=m,sinαcosα=n,则m,n的关系是().A.m=n B.m=2n+1 C.m~2=2n+1 D.m~2=1-2n解将sinα+cosα=m两边平方,得sin~2α+2sinαcosα+cos~2α=m~2,     

函数y=sinαcos~2α单调性的应用

函数y=sin αcos~2α(或y=cosαsin~2α)在区间(0,π/2)上的单调性可用导数求解,函数y可变为y=sin α(1-sin~α)=sinα-sin~3α,求导数,有     

"sin2α+cos2α=1"在解题中的转化功能

高中数学新教材,对三角函数的教学要求与传统教材比较有很大的变化,删除了能用基本公式推出的多个公式,但对应用基本公式解决问题的能力提高了要求.本文从几个方面例谈公式"sin2α+cos2α=1"的转化功能,以期引起重视.     

运用关系式cosα=-1/√1＋tan^2α解题

在三角函数关系式中,因为 sin^2α＋cos^2α=1     

"sin2α+cos2α=1"的神奇功效

同角三角函数的基本关系主要是指:平方关系:sin2α cos2α=1:商数关系:sinα/cosα=tanα.它反映了同一个角在不同三角函数间的联系,其精髓在"同角".下面就sinα2 cos2α=1概述其常见的运用.     

sin^2α＋cos^2α=1的应用

sin^2α cos^2α=1是一个重要的三角恒等式，一些数学题，若能灵活运用它来解，则能使解法简捷明快．收到事半功倍的效果．     

公式α(1+x)~2=A应用举例

在学习了一元二次方程的解法后,我们经常会遇到这样一类题型:α(1 x)2=A.在这个公式中,α称为原来基数(也常取作1),A为变化后的目标数,x为变化率(x>0表示增长,x<0表示下降或减少),2表示变化2次.     

Z_3-Z_1=K(Z_2-Z_1)(cosα+isinα)的应用

在复平面内,若21.2:.2:表示复数务.介,.一-今~-~~~4幻,且Z:Z:与2:23夹角为a,}寥{一、,则!2122}孔一之:,k(燕一君,)(eosa+1 sina). 此命题的正确性,可由复数减法,乘法的几何意义证明(略)。而利用此结论来解某些数学问题,却显得很方便。一警+奈 例2.从圆劣2+,,二1上点月(1.0),引弦注B,且AC工AB,}AC卜}AB}.求C点的轨迹方程. 解:在复平面内,设点C表示复数:.点B表示复数了,则:‘一,一(一1)(。。s干+‘S‘·干) 例1.已知正方形两相对顶点是1+2￡,3一3i求其它两顶点表示的复数. 解:(如图)设B, 忿‘,之i一f+l将双点表示的复数丫,代入圆的复数…