农妇卖蛋问题

问题一农妇去市场卖鸡蛋,第一次卖出全部鸡蛋的一半又半个;第二次又卖出剩下鸡蛋的一半又半个;第三次卖出前两次卖后剩下鸡蛋的一半又半个;最后又卖去所剩下鸡蛋的一半又半个,这时鸡蛋恰好卖完,问农妇原有鸡蛋多少个?由于这个问题是大数学家欧拉提出的,所以引起了众多数学爱好者的极大兴趣,于是许多人也对此探索出了许多解法.解法1设农妇原有鸡蛋x个,则第一次卖出了2x 21(个),余下x-(2x 12)=2x-21(个);第二次卖出了12(2x-21) 21=4x 41(个),余下(2x-21)-(4x 41)=4x-43(个);第三次卖出了12(4x-43) 21=8x 81(个),余下(4x-34)-(8x 81)=8x-87(个)…     

例析构造方程的两种方法

众所周知 ,“根与系数的关系”的应用之一是构造方程 ,但它不是构造方程的惟一方法 ,本文举例介绍构造方程的另两种方法 ,供同学们参考。例 1　求作一方程 ,使它的各根分别是方程x2 - 3x + 2 =0的各根的 3倍。解法一 :设所求方程的未知数为 y。由题意 ,得 y =3x ,即x =y3,代入原方程 ,得 ( y3) 2 - 3·y3+ 2 =0整理 ,得 y2 - 9y + 1 8=0 .解法二 :设所求方程为 y2 + py + q =0 ,由题意 ,得 y =3x ,∴ ( 3x) 2 + 3px + q =0 ,即 9x2 + 3px + q =0 .此方程与原方程是同解方程 ,∴19=- 33p =2q,∴p =- 9,q =1 8.则所求作方程为 y2 - 9y + 1 8=0…     

“取特殊值”在解题中的作用

一些复杂的数学思考题，刚读时发现似乎缺少某个条件，但在解题过程中，就会发现这个条件会被消去，根本不影响解题的质量，就好像解方程中的消元法。所以在解题时，可以把这个条件取特殊值，看作单位“1”，这样对解题十分有帮助。例1足球的门票5元一张，票价降低后，观众增加了一半，收入也增加了1/5，问门票降低了多少元?分析这题的原来观众人数不知道，可以看作单位“1”，则原来的收入是5元，现在的观众人数是1×(1+1/2)=3/2，现在的收入是5×(1+1/5)=6(元)，现在的票价是6÷32=4(元)，票价降低了5-4=1(元)。例2公共汽车每隔x分钟发出…     

一条线段三种求法三个答案

又省19韶年中考有这样一冤:万,知,如图,同。白刃直径刀E垂直于弦AC,垂足为G,延长孩刀D、过C交于点P,尸D二5,B一D二GC=3,刀C二3v/丁,求DC长。 (在运算过程或结果中一律不取近似值). 解法一,.’直径BE上AC,.’. AG=CG·二8。设PC=万,由割线定理得,rPC。P过=PD。PB即义(x:一6)=40。CDZ=PCZ十厂刀2一ZoPC·P刀c。:尹 二42一升52一2火琪只5)(了/8二6 :.CD=v/万. 解法三由解法一知AB=及了=3训丁,在Rt△A刀G中,。oSA一AG:AB=了丁/3。,.’乙BDC小艺A=180”,.’.coS乙BDC二一了丁/3,设CD=x,在△召CD中,丫刀CZ二刀DZ+CD…     

一道竞赛题的十种解法

题目实数x,y满足4x2-5xy 4y2=5,设s=x2 y2则1smax s1min=____________(.1994年一试试题)一思采用三角换元手段,并利用三角函数的有界性建立关于S的不等式.解法一易知S=x2 y2,设x=#scosθ,y=#scosθ$.代入4x2-5xy 4y2=5得sin2θ=8S5-S10于是8S5-S10≤1解得1013≤S≤130,所以Smax     

2005年各地中考数学试题精选 十、长春市

1.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒.当你抬头看信号灯时,是黄灯的概率为( ) (A)1/12. (B)1/3. (C)5/12. (D)1/2. 2.刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元和2元,共用人民币10元.设刘刚买的两种贺卡分别为x张、y张,则下面的方程组正确的是( )     

第5期“功课跳跳豆”答案

补字成文 苏、壮、嫩、育、呵、遥、衬、野、湿、郁、息、钻。 解法2:(米) 解法3:72(米)州朴,一含,=72一题多解1.解法1:设大船有x只,8x拓x(12,)=78解法2:设小船有x只,sx(12,)+份=78解法3:设小船共有x人,含+(78一)二8=’2解法4:设大船共有x人,6二(1一李+3一土 l6 解法4:设布的全长为杭,。3_,、,,,1列式:(示十3)x=3[(言解得x为72。 原来多少分x米,x+6j式式式兰+(78。):6=12 以上均可解得大船有9只,小船有3只。生丛些目Q〕=鱼旦3(3xlo)304_(4x7)_286(6x7)42二2.解法l:(56一2)二(1+=36(人)……男生 甲少得30分,相当于减少:月O-28=12(份)那么,,…     

一题多解殊途同归

解二元一次方程组的基本思想是消元,即化“二元”为“一元”,而消元的方法多种多样.下面仅举一例,介绍几种解二元一次方程组的常用方法.例:解方程组3(x-1)=y+5,5(y-1)=3(x+5) .解法1:代入消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 由(1)得:y=3x-8.(3)(3)代入(2),得:3x-5(3x-8)=-20.解得摇x=5,代入(3)得摇y=7.因此,原方程组的解为x=5,y=7 .解法2:加减消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 (1)-(2),得4y=28,所以摇y=7.把y=7代入(1)得摇3x-7=8,所以摇y=5.所以摇x=5,y=7 .评注:代入消元法与加减消元法是解二元一次方程组的基本方…     

一个值得研究的三元一次方程组

一、题目有三个数,两两相加,分别等于3,4,5,求这三个数。算术解法：根据题意,得这三个数和的2倍等于3,4,5的和,即12。故这三个数的和为6,于是,这三个数是1,2,3。代数解法：设这三个数分别为x,y,z,根据题意,得{x＋y=3①,y＋z=4②,z＋x=5③。①＋②＋③,得x＋y＋z=6。把①,②,③,分别带入④得z=3,x=2,y=1。     

“小题”必须“大做”

有些同学在做不等式的习题时,曾因一道题目的两种不同解法而争论不休,现把他们的解法原原本本地写下,仔细分析一下,以防再犯类似错误.题目:设x、yR+且x+2y=1,求1x+1y的最小值.解法一:∵x,yR+且x+2y=1∴1=x+2y叟22xy姨穴1雪即xy燮18,从而1xy姨叟8姨=22姨(2)∴1x+1y叟21xy姨=21xy姨∴1x+1y叟2×22姨=42姨,∴1x+1y的最小值为42姨.解法二:∵x,yR+且x+2y=1∴1x+1y=x+2yx+x+2yy=3+2yx+xy叟3+22yxxy姨=3+22姨∴1x+1y的最小值为3+22姨.以上两种解法看似都正确,其实不然.解法一是错的,而解法二是对的.那么解法一究竟错在哪里呢?还是让我们回…     

一道可以再探究的好题

问题:甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1·5,现要在一块长为200m宽为100m的长方形土地上种植这两种作物。怎样把这块地分成两个长方形,使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数)。一、分析原题因为土地是长方形ABCD(如图1),要将其分成两块长方形,并使它们的总产量的比为3∶4,所以很容易想到分别沿土地的长、宽作平行线EF,如图2,有两种不同的分法。图1图2解法一:设AE=x,BE=y,则:x y=200100x∶(100y×1·5)=3∶4解得:x=1051175y=94127即作EF距AD约为106米的地方,即可使所划分的面积满足条件。解法二:设BE=x,EC=y,由题意,…     

一元二次方程学习要点

一元二次方程是贯穿于初、高中数学的重要知识点,也是中考命题的“热点”,故本文以一些典型题目为例,介绍一元二次方程学习中的要点.一、掌握一元二次方程的三种解法要牢固掌握一元二次方程的配方法、因式分解法和公式法三种解法.例1用换元法解方程2x2-2x2+3x-1姨=3-3x.分析:这是一个无理方程.初中阶段不学习,但用初中知识也可解.解法1(配方法)设y=2x2+3x-1姨,显然y≥0.原方程即为y2-y-2=0.∴(y-12)2=94.解得y1=2,y2=-1(舍去)∴2x2+3x-1=4,解得x1=1,x2=-52.解法2(因式分解法)同解法1,得y2-y-2=0,即(y-2)(y+1)=0.∴y1=2,y2=-1(舍去).下同解法…     

要正确掌握多位数的一般表示法

一道题目: “计算1994 x 199319931993一l卯3 x 19941卯41望拜,’, 文工的解法是 “解:设a二1994,b=1卯3,则 原式=ax品b一bx~二ax占x 111一占x axlll=0,’。. 文11认为“a=1卯4,b二1卯3,都是四位数,而不是一位数,故而笋6x 111,石石撼。、111,显然,等式。、丽一6、石石=。、‘、川一‘’、。、l一l不成立。,,并给出了如下解法: “设a=1燮州,b=l卯3,则 原式=ax丽石一香交石石 =a x b x 10[X)1《】X)1一b x a xl(X X)1(X洲)1二0。” 为叙述方便,我们.将文工、文n的解法分别称作犷解法一”和“解法二”。「 实际上,解法一固然不对,解法二也有…     

哪种解法正确

题目　一种货物 ,连续两次以 1 0 %的幅度降价后 ,售价为 4 86元 .则降价前的售价为元 .( 1 999,云南省昆明市中考题 )对于此题 ,出现了如下四种不同的解法及结果 :解法 1 :设降价前的售价为ｘ元 ,则有ｘ =4 86× ( 1 + 1 0 % ) 2 .解得ｘ =588 0 6 .故降价前的售价为 588 0 6元 .解法 2 :设降价前的售价为ｘ元 ,则有ｘ( 1 - 2 0 % ) =4 86 .解得ｘ =6 0 7 5.故降价前的售价为 6 0 7 5元 .解法 3:设降价前的售价为ｘ元 ,则有ｘ =4 86× ( 1 + 2 0 % ) .解得ｘ =583 2 .故降价前的售价为 583 2元 .解法 4 :设降价前的售价为ｘ元 ,则有ｘ( 1 -…     

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题 :实数x ,y满足 4x2 - 5xy +4 y2 =5,设S =x2 +y2 ,则 1Smax+1Smin的值为 .下面给出这道题的多种解法 .解法 1　由题设易知S =x2 +y2 >0 ,设x =Scosθy =Ssinθθ为参数 ,代入 4x2 - 5xy+4y2 =5,得 4Scos2 θ- 5Ssinθcosθ +4Ssinθ=5,所以sin2θ =8S - 105S ,于是有｜8S - 105S ｜≤ 1,所以1013≤S≤ 103,所以Smax =103,Smin =103,所以 1Smax+1Smin=310 +1310 =85.解法 2　由x ,y为实数可知 :x2 +y2 ≥ 2 ｜xy｜所以 - x2 +y22 ≤xy≤ x2 +y22 .又 4x2 - 5xy +4 y2 =5,得 5xy =4x2 +4 y2 - 5所以4x2 …     

概率与统计

基础篇 课时一　离散型随机变量的分布列诊断练习一、填空题1.设某篮球运动员投篮投中的概率为 P =0 .3,则一次投篮时投中次数的分布列是 .2 .已知随机变量ξ的概率分布如下表 ,则 x的值是.ξ 12 34 5P 115215x 41513　　 3.一只盒中有 8张分别标有 1,2 ,3,… ,8的数字卡片 ,任取 1张 ,返回后再取 1张 ,两张卡片上数字之和为ξ,则 P(ξ <5) =,P(ξ≥ 13) =,P (ξ≤13) = .4 .从一副 52张 (去掉两张王 )的扑克牌中任取 5张 ,其中黑桃张数的概率分布公式是 ,黑桃不少于 1张的概率是 .二、选择题5.投掷均匀硬币一次 ,随机变量为 (　　 )( A…     

由一道抛物线最值问题受到的启发

题目:定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y=x2上移动,求AB的中点M到x轴距离的最小值.某同学对此题有以下两种解法.解法1:设A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0),x1≠x2,则由中点公式得,y0=y12 y2=x212 x22≥-x1x2.当且仅当x1=-x2(不妨设x1>0,x2<0),即A、B为抛物线上关于y轴对称的两点     

一种“不科学”的好解法

解几个方程,其中x/x2 1 x2 1/x=5/2学生中有两种解法,引起全班激烈争论.解法1设x/x2 1=y,则x2 1/x=1/y,原方程变形为:y 1/y=5/2,整理得:2y2-5y 2=0,解得:y1=2,y2=1/2,当y=2时,x2 1/x=1/2,2x2-x 2=     

如何善用课本例习题

纵观近年来高考很多试题源于课本高于课本,因此在高三数学复习中利用好课本的例习题对于提高复习的针对性、有效性至关重要,兹举两个例子加以说明.一、研究解法【例1】在椭圆4x52 2y02=1上求一点P,使它对两焦点F1、F2张直角.(以下称原题)解法1:设欲求点为P(x0,y0),又知左、右焦点为F1(-5,0)、F2(-5,0),由∠F1PF2=90°,有kPF1.kPF2=-1,即y0-0x0 5.xy00--50=-1,得x02 y20=25①又由椭圆方程得4x520 2y002=1②联立①、②解得x02=9,y20=16.再由对称性知所求的点为(3,4),(-3,4),(-3,-4),(3,-4).解法2:由题设知F1F2是过点P、F1、F2三点的圆…     

估算教学,不妨站得高一点——人教版三年级上册估算教学解疑

人教版小学数学三年级上册第70页的估算问题,是教学的一个难点.题目大意是:每张门票8元,29个同学参观,带250元够吗?教材中呈现的解法是:“因为29接近30,30×8=240.所以29×8≈240(元).”