从高考题看含参数不等式恒成立问题的解题策略

已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一,是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点.这类问题以含参不等式＂恒成立＂为载体,镶嵌函数、方程、不等式等内容,综合性强,思想方法深刻,能力要求较高,因而成为近几年高考试题中的热点.为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识,本文以2010年高考试题的解法为例,对此类问题的解题策略作归纳和提炼,供大家参考.     

挖掘隐含条件 探求解题途径——谈一类参数取值范围问题的解法

<正>含有参数的函数不等式恒成立时,求参数的取值范围问题,是高考的热点和难点问题.解法因题而异多种多样,其中有一类题目条件设置巧妙,试题隐藏一个相同信息:不等式等号恰好在区间端点处成立,这一隐而不露的条件是命题人精心设计的点睛之笔,也是解题者解决问题的突破口和思维的起点.它启发解题者思考:若函数在区间上单调,则不等式恒成立,从而求出参数的取值范围,这个取值范围就是不等式恒成立的充分条件.     

几类能转化为“恒成立”的问题解析

<正>恒成立问题是高考考查的一个重点,这类问题通常都可转化为求函数的最值问题,而导数是求最值最有效的工具.在高考复习中,恒成立问题成为函数部分老师要重点讲解的内容,大多数学生对恒成立问题的解法有系统的掌握.高考试题中除直接给出恒成立问题外,还有一些试题可以转化为恒成立问题.下面笔者举例说明.1.已知函数的单调性求字母的取值范围问题     

能用拉格朗日中值定理解决不等式恒成立问题吗

<正>不等式的恒成立问题一直是高考数学的热点,大致可以分为两种类型:一是含参不等式恒成立,求参数的取值范围;二是证明不等式成立.用拉格朗日中值定理来解决不等式的恒成立问题具有高等数学背景,通常情况下解题过程简洁,解题方法新颖.但这样做对吗?如果对,其依据是什么?如果不对,那问题又出在哪里?下面来研究这一问题.1含参不等式恒成立,求参数的取值范围例1已知函数f(x)=ex+x-1,若对任     

运用导数解决含参函数问题的策略

以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围.     

构造函数思想在不等式恒成立问题中的应用探讨

在高中阶段,不论是必修部分,还是选修部分,都有不等式的踪影,恒成立问题更是其中的一个难点,其考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的取值范围.不等式恒成立的问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何等知识进行了有机的结合,形式灵活、思维性强、具有不同知识点融会贯通的特点.     

以静制动:用分离参数法确定参数范围

对于含有多个变量的不等式或方程问题大致可以分为两类:(1)已知参数的取值范围,求函数的值域和求不等式或方程的解;(2)求使不等式或方程有解和求不等式或方程恒成立的参数的取值范围.     

用零点邻域探析不等式恒成立问题

<正>纵观2015年各地高考中,含参的不等式恒成立问题仍然占据着函数导数压轴的主战场.该类经典问题的求解通法一般有两种:一是函数最值法——通过对所求参数的讨论来研究目标函数的单调性,将目标函数的最值或值域用所求参数表示,进而解关于参数的不等式确定其取值范围;二是分离参数法——通过不等式的等价变形,分离出所求的参数,求不等式另一端无参函数的最值或值域,即可确定参数的取值范围.然而,这两种     

例析含参不等式恒成立问题

<正>已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题是高中数学的重要内容之一.这类问题以含参不等式恒成立为载体,镶嵌函数、方程、不等式等内容,综合性强,思想方法深刻,能力要求较高,因而成为高考试题中的热点问题.新教材将导数知识增加到高中数学教学内容中,无疑为多角度、高观点解决含参不等式恒成立问题提供了强有力的工具.我们以下面一道经典的导数题来谈一谈含参不等     

浅谈中学导数应用

导数是研究函数性质的重要工具,其在函数中的应用一直是高考命题的重点、热点. 试题往往融函数、导数、不等式和方程等知识于一体,重点解决探索函数的单调性与极值、最值,求几何曲线的切线,以及不等式的恒成立与参数的取值范围等问题,考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等多种数学思想方法.     

运用导数解决含参函数问题的策略

以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向．运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围．解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过不断地转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．解决的主要途径是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参函数的最值讨论．     

对一道不等式恒成立问题解法的三重反思

这是湖北武汉2007年高三调研卷中的一道题:已知函数 f(x)=x~2+2x+alnx.(1)若函数 f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围;(2)当 t≥1时,不等式 f(2t—1)≥2f(t)—3恒成立,求实数 a 的取值范围.此题要利用导数知识作工具,研究函数的单调性,处理不等式恒成立问题.     

解析不等式恒成立问题

纵观近年来各地高考数学试题,有关不等式恒成立问题屡见不鲜。这类问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来,具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点。考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的值或取值范围。解决这类问题的关键是转化,     

一类取值范围问题的解法思考

在近几年全国各地的高考试题中,利用导数求不等式中某一参数的范围问题非常活跃,且常以压轴题的形式出现.它的一般形式是:若关于x的不等式f(x,a)≤0(或≥0)对区间I中一切x都成立,求a的取值范围.一般的解法有两种:一是求出f(x,a)在I中的最大值(或最小值),进     

含参数的不等式恒成立问题

正1考点回顾含参数的不等式恒成立问题,是近几年高考的热点,它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体,具有一定的综合性.解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,根据不等式的结构特征恰当地构造函数,从而转化为含参数的函数最值讨论.含参数的不等式恒成立问题,常见的是函数中的不等式恒成立问题,另外还有数列中的不等式恒成立问题.涉及题型一般有2类:一是已知不等式恒成立,求参数的取值范     

“利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值范围”的重要方法

本文主要以近两年高考试题为例来说明利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值范围的重要方法.主要介绍了分离参数法、特值入手推导一般法、放缩法.     

一道2019年高考导数解答题的探究

<正>1 试题(2019年高考全国卷Ⅰ,文20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.试题以三角函数为背景,考查了正(余)弦函数的性质、函数零点、含参数不等式恒成立以及导数在解决函数问题中的应用,考查了学生分析问题与解决问题的能力以及数形结合、设而不求等数学思想方法.试题与函数、     

高考不等式恒成立问题参数取值范围的求解策略

纵观近几年的全国高考,由“不等式恒成立”去确定参数的取值范围的试题越来越受到命题者的青睐．因为,从内容上讲,这类试题的覆盖面广,涉及函数、导数、数列（一类特殊的函数）、不等式等方方面面;从考查能力的角度讲,该类试题不但可以很好地考查考生的“双基”,而且可以考查考生对数学的感悟力、穿透力与创造力,是展示考生综合能力的一个平台．但同时我们必须看到“不等式恒成立”问题确是我们数学教学中的一大难点,     

高观点视角下的函数极限保不等式性问题及高考应用

在导数压轴题中,不等式恒成立求参数范围问题,是高考中的热点问题,利用函数极限保不等式性可以降低这类试题的难度,简化解题过程,提升学生逻辑推理等核心素养,本文以2023年六道高考导数题为例,探讨函数极限保不等式性在导数题中的应用,以期抛砖引玉.     

“端点效应法”的有效性与局限性

求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围,是高考中的常考题型。解决这类问题的基本方法有三种:分离参数、构造函数求参数取值范围;构造含参函数,通过讨论参数取值范围将问题转化为求函数最值问题;通过所构造函数在定义域端点处满足的条件,缩小参数的取值范围,求出使不等式恒成立的必要条件,再证明充分条件,得出参数的取值范围,即所谓的“端点效应”。本文重点探究第三种方法——“端点效应法”的有效性与局限性。