七(上)数学寒假自测题(二)

(45分钟　满分 1 0 0分 )一、选择题 (每小题 4分 ,共 1 6分 )1 .若a是有理数 ,则｜a｜+1 一定 (　　 ) .(A)大于 1　　 (B)小于 1　　 (C)不等于 1　　 (D)不小于 12 .若 ｜a｜=2 ,｜b｜=3 ,且a >b,则a+b =(　　 ) .(A) -1或 -5　　　　　　　　 (B) -1(C) -5　　　　　　　　 (D)以上答案都不对3 .用一个平面去截一个正方体 ,不可能出现的截面是 (　　 ) .4.如图 1 ,以下判断 :( 1 )若∠AOC =∠BOD ,则OC ,OB分别是∠BOD和∠AOC的平分线 ;( 2 )若∠AOB =∠COD ,则∠AOC =∠BOD ;( 3 )若∠AOB =12 ∠AOC ,且∠AOB =13 ∠…     

在解析几何中用向量(高二、高三)

例1 双曲线 (x2/a2)-(y2/b2)=1(a>0,6>0)的离心率e=(1+5~(1/2))/2,点A与点F分别是双曲线的左顶点和右焦点,B(0,b),求∠ABF的值.     

初二数学期中测试卷(人教版)

第一部分 (满分 10 0分 )一、填空 (每空 2分 ,共 2 8分 )1.-7ab -14abx+ 49abx2 =-7ab() .2 .x4 -9=(x2 + 3 ) (x2 -) .3 .若x2 -2mx + 9=(x -3 ) 2 ,则m =.4.已知a(a + 2 ) =b(b + 2 )且a≠b ,则a+b的值是 .5 .当x时 ,分式 x + 12x -1有意义 ,当x=分式｜x｜-1x-1的值为零 .6.若a2 +b2 -2a-4b + 5 =0 ,则ab -1的值是 .7.约分ax2 -bx2bx-ax =.8.三角形的三边长分别是 2 ,5 ,x ,其中x为奇数 ,则此三角形的周长是 .9.若等腰三角形的一边长为 8,另一边长为 4,则此三角形的周长为 .10 . ABC中 ,若∠A∶∠B∶∠C =1∶ 2∶ 3 ,则 ABC为三角形…     

对一道高考题的反思与探究

题目 过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,＞0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,点分别是A,,若∠AOB=120°(O为坐标原点),双曲线C的离心率为____.     

善用“中点”解决问题

<正>本文通过一道解三角形问题,多角度利用"中点"条件解决问题.题目在ABC中,点D是BC边上的中点.若∠BAC=60°,AB=2,AD=3/2,求AC.解法1利用互补角设BD=DC=x,AC=y,由cos 60°=(2²+y2+y²-(2x)2-(2x)²)/(2·2y),得4x2)/(2·2y),得4x²-y2-y²+2y-4=0.(1)由cos∠BDA+cos∠CDA=0,得     

倍角三角形三边关系的一个命题

定理　在△ABC中 ,∠A =n∠B ,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边 ,a、b、c的关系记为 fn=fn(a ,b,c) =0 ,则有 (记N =14( 2n + ( -1 ) n +1+ 1 )fn=∑nk =1( -1 ) k- 1C2k - 1n b[4a2 c2 -(a2 -b2 +c2 ) 2 ]k - 1(a2 +c2 -b2 ) n- 2k+1-a( 2ac) n - 1.证明 :由 (cosB +isinB ) n =∑nk=0 Ckncosn -kB·(isinB) k=cosnB +isinnB ,得　sinnB =∑Nk=1C2k- 1n ( -1 ) k- 1sin2k- 1B　·cosn - 2k+1B .①又由sinAsinB=sinnBsinB =ab ,sinnB =absinB ,代入①即得∑Nk=1( -1 ) k - 1C2k- 1n sin2k- 2 B·cosn - 2k+1B -a =0 .②由余…     

两个题的简捷解法

在中学数学中,有相当一部分题目,若按一般方法和规律解答,繁琐冗长,若能根据题目的全部特征,灵活地运用某些特殊方法解答,则较简捷,现举二例如下。例1.已知a>0,b>0,a+b=1求证: (a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2。证明:∵a>0,b>0,a+b=1, 设a=1/2+δ,b=1/2-δ,-1/2≤δ≤1/2, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2=(1/2+δ+1/(1/2+δ))~2     

活用根的定义解题

解有的方程,按常规解法,运算繁琐,实难奏效,如能灵活应用根的定义求解,则格外简捷,令人拍案称绝。例1 设关于x的方程 2x~6-3ax~4-2ax~3+3a~2x~2+a~2-a~3=0(0≠a∈R),有两个相等的实根,求a的值。解化原方程为(a-x~3)~2=(a-x~2)~3。令x=x_0为方程的一个实根,则由根的定义,有(a-x_0~3)~2=(a-x_0~2)~3,且a-x_0~2≥0. ∴ (a-x_0~3)~(1/3)=(a-x_0~2)~(1/2)。又[a-((a-x_0~3)~(1/3))~3]~2=[α-((α-x_0~2)) ~2]~3, 因此(a-x_0~3)~(1/3),(a-x_0~2)~(1/2)也为原方程的实根。取x_0=(a-x_0~3)~(1/2),x_0=(a-x_0~2)~(1/2), 则a=0(合去),a=2。例2 若a≠b≠c,解方程组     

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

第一试一、选择题(每小题5分,共50分)1.a、b 为实数,集合 M={b/a,1},P={a,0},f:x→x表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x,则 a+b 的值等于().A.-1 B.0 C.1 D.±12.若函数 f(x)满足 f(2/(x+|x|))=log_2(x|x|)~(1/2),则 f(x)的解析式是().A.log_2x B.-log_x C.2~(-x) D.x~(-2)3.若关于 x 的方程(3/2)x=(2+3a)/(5-a)有负数根,则实数 a 的     

一道不等式题的推广与证明

1988年全国高中数学联赛第一试第五题介绍了不等式:若 a,b>0且 a~(-1)+b~(-1=1,则(a+b)~-a~n-b~n≥2~2~n-2~(n+1),n∈N.(1)(1)式可推广为:若 a,b>0,则对 n∈N,总有(a+b)~n-a~n-b~n≥(2~n-2)(ab)_2~n≥2~n(2~n-2)(a~(-1)+b~(-1))~(-1).(2)本文将(2)式推广到多个变量的情形.定理若 k∈N,a_1,…,a_h>0,则对     

寻求简单优美的解法(高一、高二、高三)

题1 在△ABC中,a=2,b=22~(1/2),求∠A的取值范围. (第14届03年"希望杯"高二培训) 解法1 由题知即 c∈(22~(1/2)-2,22~(1/2) 2).由余弦定理得c2-42~(1/2)ccosA 4=0 (*)问题即为A取何值时,方程(*)在(22~(1/2)-2,22~(1/2) 2)内有解. 令f(c)=c2-42~(1/2)ccosA 4,则 f(22~(1/2)-2)·f(22~(1/2) 2)<0 f(22~(1/2)-2)>0,     

两个最值命题及应用

本文拟谈由恒等式(a+b)~2=a~2+b~2+2ab引出的两个最值命题及应用。用这两个最值命题解答一些数学习题,解答简捷,巧妙。命题1 若a+b=s(定值),则当ab取最大值P(最小值Q)时,a~2+b~2取最小值S~2-2P(最大值S~2-2Q)。命题2 若a~2+b~2=S(定值),且a+b>0,则当ab取最大值p(最小值q)时,a+b取最大值(S~2+2p)~(1/2)(最小值(S~2+2q)~(1/2))。     

一类不等式的巧证

利用“等号成立条件”证明一类具有轮换对称式的不等式,会给人带来一种“出奇制胜”的美的感受. 例1 若a、b>0,且a+b=1,求证: (2a+1)~(1/2)+(2b+1)~(1/2)≤2 2~(1/2). 分析;显然,当a=b=1/2时,上述不等式等号成立,而此时有2a+1=2b+1=2. 证明:∵ a、b>0, ∴ (2a+1)2~(1/2)≤(2a+1)+2/2=2a+3/2,①     

有心二次曲线直心角的性质及其应用

从椭圆、双曲线的中心O作两条互相垂直的半径OP、OQ,我们称∠POQ为有心二次曲线的直心角.本文探讨它的性质及其应用. 命题1 若直线l:Ax+By=1与椭圆x2/a2十y2/b2=1(a>b>0)交于P、Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),则(1)1/|OP|2+1/|OQ|2=1/a2+1/b2=A2+B2;(2)|PQ|=     

a~l=b~l+c~l(a、b、c∈R~+,t∈R且t≠0)型问题的一种解法

借助下面的数学模型,可方便地解决一些有关问题. 定理若a~1=b~1+c~1(a、b、c∈R~+,t∈R且t≠0),则对任意的k∈R,有 a~kb~k+c~k(k/t>1),(3) 证明:由条件可得 (a1/2)~2=(b1/2)~2+(c1/2)~2令 b 1/2=a 1/2sinθ, (0<θ<π). c 1/2=a 1/2cosθ,     

高屋建瓴举一反三

题目设椭圆x2/a2+x2/b2=1(a＞6＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,若椭圆上存在点P,使得∠F1PF2为钝角,求该椭圆的离心率的取值范围.     

用增量代换法解题

利用增量代换来解答和处理问题的方法叫做增量代换法。增量代换法是中学教学中的一种重要方法,在解决众多的数学问题中表现出奇妙的作用。一、解方程例1 解方程 (2x~2-3x+7)~(1/2)-(2x~2-3x+2)~(1/2)=1。解;由此方程的特征,可设 (2x~2-3x+7)~(1/2)=1+a, (1)则(2x~2-3x+2)~(1/2)=a(a≥0)。 (2)(1)~2-(2)~2得a=2。∴ (2x~2-3x+2)~(1/2)=2。解得 x_1=2,x_2=-1/2。经检验知,均为原方程的根。二、证不等式例2 设a,b,m∈P~+,且aa/b。证明:由已知不妨设b=a+a(a>0),则     

一道高三质检试题的解法赏析

题目已知M,N为直线3x+4y-10=0上两点,O为坐标原点,若∠MON=π/3,则ΔMON的周长最小值为______.解法1:如图1,作OH⊥MN于H,则OH=d=10/√3²+4²=2,设∠HOM=α,则∠HON=π/3-α,OM=2/cosα,ON=2/cos(π/3-α)HM=2tanα,HN=2tan(π/3-α),于是ΔOMN的周长l=2/cosα+2/cos(π/3-α)+2tanα+2tan(π/3-α).     

利用无理根成对定理解—竞赛题

定理若e+f~(1/2)(e,f∈Q,且f>0)是方程ax~2+bx+c=0(其中a,b,c∈Q且a≠0)的一个无理根,则e-f~(1/2)也为此方程的根。 (该定理容易证明,在此从略) 下面利用这一结论解决1990年四川省初中数学联合竞赛第一试第一大题的第5小题,题目如下:设(28)~(1/2)-10 3~(1/2)是方程x~2+ax+b=0的一个根(其中a,b∈Q),则ab为     

利用体积解立体几何题

和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))