有图有真相 中看又中用——对“完全平方公式(1)”的教学思考

我们知道,完全平方公式是初中数学中一个普通又重要的公式.对于这样的公式,有的教师不重视公式的形成过程,而是直接让学生去计算(a+b)2、(a-b)2,得出完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,并侧重于记忆公式、反复训练(简单模仿居多),让学生在茫茫的题海中漫游,逐步变成知识的容器.这样,缺乏知识的形成过程,不利于学生思维的发展."为什么就计算这个问题",由于学生对公式本身没有进行深入的思考和探究,公式的思维价值没能得到充分挖掘,学生只能在教师指定的框架内机械操作.     

让学生成为研究者

荷兰数学家费赖登塔尔指出:“数学知识既不是教出来的,也不是学出来的,而是研究出来的。”教师采用“满堂灌”的传统模式来完成一堂课,学生学起来感觉乏味,更谈不上有兴趣,掌握知识的程度也就可想而知。改变这一局面,教师可以对每一章节的知识背景进行揭示,带领学生进行研究、探索,拓展学生的思维,启迪学生的智慧。例如在“二项式定理”的教学中,教师可设计许多问题来逐步达到猜想出公式的目的。提问:同学们是否还记得(a+b)2=?(a+b)3=?学生回答:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。再问:有谁能得出(a+b)100=?学生讨论热烈,这时教师可…     

一道代数证明题证法的探究“历程”

数学学习离不开解题学习,数学教学离不开数学解题的教学,本文记录了笔者在函数一章复习课时遇到的一道代数证明题,充分展现了学生解题的思维发展全过程,揭示了解题方法的发展和形成过程.希望以此例做个示范,教学生学习如何解数学题,教学生学会数学地思维.1教学片断笔者在高一教学的一次作业讲评中,有这样的一道题:已知a>0,b>0,a+b=c.求证:(1)若r>1时,a~r+b~rc~r.1.1类比联想,首次迁移笔者投影了学生A的第(1)问的证明过程:∵c~2=(a+b)~2=a~2+b~2+2ab,∴c~r=(a+b)~r=a~r+b~r+X(X为中间项),     

巧用均值凑数法证明一类不等式

高中教材中基本不等式a+b2 ≥ab(a>0 ,b >0 )是证明不等式时经常要用到的 ,等号成立的条件是“a=b” .若对a +b =P(定值 )当且仅当a =b=P2 (定值 )时 ,ab才取得最大值 .利用这一结论 ,我们可以证明一类不等式 :例 1　已知a、b都是正数 ,且a +b =1,求证 :　　　a+1+b+1≤ 6.证明　由a +b=1,知当a =b=12 时有a +1=b +1=32 ,于是有a +1· 32 ≤a+1+322 ,b+1· 32 ≤b+1+322 ,两式相加 ,得a +1· 32 +b +1· 32≤ a+b +2 +32 =3 ,即　　a+1+b+1≤ 6.上式的证明过程中先凑出了一个数32 ,这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的 (即在条…     

一个公式的巧用

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)     

《完全平方公式》教学设计

一、学情分析:知识链接:1.同类项的定义;2.合并同类项法则的正确应用;3.多项式乘以多项式法则;4.平方差公式的内容。二、教学目标:学生通过求面积的几何题了解完全平方公式的几何意义,经历探索完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2的过程,并能运用公式进行简单的计算.通过自主探究,合作交流,让学生更好地理解公式内容,并为公式的应用打下坚实的基础.     

从方差的角度解读完全平方公式:教学意义提升的一则案例

1引言学生在学习完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,常把公式记成或写成(a+b)2=a2+b2.教师则是不厌其烦反复强调,但总是还有那么几个学生弄错.用教育学的话说,这是课堂教学中的"生成性资源".教师如何挖掘"生成性资源"的内涵,从而从根本上消解学生的困难呢?本文用高     

一个等式的解题功能初探

在解题过程中 ,我们经常遇到形如a +b +c =0的条件 ,笔者在教学中发现 ,在此条件下有许多简捷、优美的结论 ,且有着广泛的应用。为此 ,本文探讨在条件a +b+c=0下的结论及相应的解题功能 ,供参考。1　结论结论 1　若a +b +c =0 ,则b2 ≥ 4ac或a2 ≥ 4bc或c2 ≥ 4ab。证明　因为a +b +c=0 ,所以b =-(a +c) ,b2 =(a +c) 2 =a2 +c2 +2ac≥ 2ac+2ac=4ac ,即b2 ≥ 4ac,同理可得a2 ≥ 4bc,c2 ≥ 4ab ,命题得证。结论 2　若a +b+c=0 ,则a3+b3+c3=3abc。证明　因为a +b +c=0 ,所以有a +b =-c,(a +b) 3=-c3,即a3+3a2 b +3ab2 +b3+c3=0 ,也即a3+3ab(a +…     

开放数学课堂教学 提高学生数学素质

培养创新精神和实践能力是素质教育的重点,它改变了学生以单一地接受教师传授知识为主的学习方式.我在教学中积极为学生构建开放的环境,提供多渠道获取知识的方法,并将学到的知识加以综合应用,培养学生的创新精神和实践能力.具体做法如下:一、激发学生探索创新的欲望,培养学习兴趣教学中让学生做到“三勤”:勤动手、勤动脑、勤动口,充分调动学生的积极性和主动性,使他们对数学产生浓厚的兴趣.例如,在不等式证明的教学中,教材中有两道例题及一道练习题.例1已知a,b∈R+,且a≠b,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.例2如果a,b∈R+,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab…     

渗透结构意识,例说一组不等式的应用

在不等式单元中,有这样一组重要不等式: a2+b2≥2ab(a、b∈R),a2+b2/2≥(a+b/2)2(a、b∈R),a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a、b、c∈R)以及a+b/2≥√ab(a、b∈R+).在这组不等式中,后三个不等式均是由第一个不等式推导出来的,其结构特点:①不等式左右两端同次幂,②具有对称性,③等号成立时的瞬时相等性.若将这组不等式联用、迭用或逆用,通过分析条件、研究结构、合理变形等手段,就能收到培养学生能力,开发学生智力,激活学生思维的效果.特别是它在解决一类有关最值、取值范围以及解证不等式等问题中解题效果尤为突出,现举例说明.     

发散思维在数学教学中的应用

发散思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考,它不局限于既定的理解,也可提出新问题,探索新知识或发现多种解答和多种结果的一种思维方式。也就是说它的思考方向是向外散发的,思路较为开阔,易于探索到新结论。若把发散思维运用到数学教学中,易于使学生在亲身探索问题中,掌握数学知识间的内在联系,加深理解所学的知识,提高学生的解题能力,在解决问题中学习一种创造性思维。本文根据笔者在数学教学的过程中,加强发散思维训练中,谈谈对几个发散点的体会。 一、定理公式发散 在定理公式的教学中,既要重视定理公式的推导过程,又要注意公式的联系和应用,能根据公式的特点挖掘发散因素,灵活地运用公式,提高学生的创造性思维能力。例如:在教学二项式定理时,可以让学生思考a、b的多种取值,从而得到一些代数恒等式。 (1)当a=b=1时,得 (2)当a=1,b=-1时,得 即: (3)当a=2,b=1时,得 (4)当s=1,b=-2时,得 即: (5)当a=1,b=x时,得 又如:在复习“两角和与差的三角函数”一章时,让学生去思考公式间的联系,从而列出关系表。     

课题 6.2算术平均数与几何平均数（一）

[教学目标](1)使学生掌握基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)及其推论,并能应用它证明一些不等式. (2)通过对定理及其推论的证明与应用,培养学生应用综合法进行推理的能力. [教学手段] 利用实物教具,实物投影仪及计算机辅助教学. [教学过程]     

代数式(之四)

(3)(a+b)2是宝库从上一节已经知道:八个乘法公式中有6个是可以从(a十b)2直接或间接地导出的,由此可见公式(a+b)2=a2+2ab+b2的不平凡.这一节你将看到由这个公式可生长出很多有趣又有用的东西,它们让你惊奇,…在公式(a+b)2=a2+2ab+b2中,让a表示自然数n,让b表示1,它就变成 (n+1)2=n2+2n+1. 这是一个恒等式.当n取某一个具体的自然数时,它就变成一个具体的数字等式.例如当n取99时,就得到     

巧用等比数列求和公式证明不等式

等比数列求和公式为Sn=a1(11--qq n)(q≠1),有时用此公式证明不等式可简化证明过程.将数列知识与不等式知识相融合,既可培养学生思维的灵活性和创造性,又可简化思路、优化解题过程.一、直接公式法例1求证:1+21!+31!+41!+…+n1!<2(n≥2,n缀N).证明1+12!+31!+41!+…+n1!<1+12+212+123+…+21n-1=1×(11--121n)2=2-12n-1<2(n≥2,n缀N).故原不等式成立.小结本题直接运用等比数列求和公式,起到了立竿见影的效果.二、求和公式的逆用例2已知等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中a1=b1=a,a2=b2=b(b>a>0).求证:当n>2且n缀N时,bn>an.证明an=a+(n-1)(b-a)…     

警惕“陷阱”谨慎解题

在中考数学命题中,命题者为了考查学生对所掌握的知识的灵活运用能力,常常故设“陷阱”.学生解题时,如果审题不严、思考不周就会误入“陷阱”.本文对求解中考“陷阱”题的一些方法进行归纳总结,供同学们学习参考.一、理解概念,越过“陷阱”命题者往往围绕数学概念设置“陷阱”,只要我们透彻理解了课本中的每个数学概念,就能灵活运用,越过“陷阱”.　例1　若二次根式a+b9a和a+8b是同类二次根式,则ab的值是　　　　.本题“陷阱”设在a+b9a不是最简二次根式.解　∵a+b=2,∴a+b9a=3a+ba.由同类二次根式的定义知a+b=2,a=a+8b.解得a=2,b=0.∴ab=2…     

对乘法公式教学的一点建议

以平方差公式为例,人教版初中课本中的乘法公式是这样引入的: 我们来计算:(a+b)(a-b) (a+b)(a-b) =a2-ab+ab-b2=a2-b2, 即(a+b)(a-b)=a2-b2 ① 然后把①式当作公式,并列举了大量形式多变的例子来套用此公式.课本的这种编排方式简明扼要,逻辑性强,可以充分体现用字母代替数字的优越性以及字母可以代替更为复杂的代数式这一优越的数学符号思维.展现了数学的简洁美.     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的证法及推广

现行教材中三元基本不等式 :“若 a,b,c∈R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,当且仅当 a =b =c时 ,等式成立 .”是用因式分解方法证明 ,但分解需要一定技巧 .笔者在教学中了解 ,学生除了欣赏很难掌握 .笔者从学生已有的知识出发 ,通过证明一般的情况 ,导出三元基本不等式的证明 .要证上述“若 a,b,c∈ R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,不等式成立 .”学生已有的知识是 :若 a∈ R+ ,a≥ a成立 ,(a∈ R也成立 )若 a,b∈ R+ ,a2 + b2 =2 ab成立 ,当且仅当 a =b时 ,等式成立 .(a,b∈ R也成立 ) ,自然联想 :a,b,c,d∈ R+ ,a4 + b4 + c4 +d4≥ 4abcd是否成…     

问题是如何产生的?

现代教学观要求教师用发展的观点看待学生 ,着眼于调动学生学习的积极性和主动性 ,教给学生学习的方法 ,培养学生的学习能力 .在实际教学活动中 ,教师要为学生创设问题情境 ,提供适当的问题 ,引起他们的思维 ,启发他们的思考 .本文举例谈谈如何创设问题情境 .例 1　已知实数a ,b ,c满足a+b +c=0 ,利用这个条件请你设计一个数学问题 .设计 1　直接利用a ,b,c三数之和为零这个条件 .对于实数a和b,总有a(a+b +c) =b(a+b +c) ,所以有a2 -b2 =bc-ac.于是可设计题目 :已知实数a,b ,c满足a+b +c=0 ,则有a2 -b2 =bc-ac.设计 2　利用数零自乘再对a+b …     

循序渐进的数学题组

学生做数学题应重“质”,而非重“量”。教师可根据教材内容,学生的学习层次,由易到难,精选不同的题目,编成题组。学生在做这些题组时,知识循序渐进,达到了事半功倍的学习效果。一、巩固性题组(为重现、熟悉基本知识、方法而设置)1.当x>0时,求证x+≥8;2.求函数y=3x2+的最小值;3.已知x>0,求证2-3x-的最大值为2-43√;4.已知0<θ<,求证:tanθ+cotθ的最小值是2;16xπ24x12x25.求证lgx+logx10≥2(x>1);6.已知x,y,z∈R+,求证++≥3。二、发展型题组(为提高应用知识、方法的能力而设置)1.已知a,b,c∈R+,求证:(1)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc;(2)a+b+c≥a…     

“三角形正切、余切公式”的应用

在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1　设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 …