五种证明不等式的常见方法

一、比较法(包括“作差法”和“作商法”)“作差法”即根据“‘a≥b’等价于‘a-b≥0’”,将要证明的“a≥b”型不等式转化为“a-b≥0”型不等式去证.其基本步骤是:1.作差;2.变形;3.与0比较大小.其中的“变形”可以变成平方和,也可以变成因式的积或常数.“作商法”即根据“a,b>0时,‘a>b’等价于‘ba>1’”,将要证明的“a>b”型不等式转化为“ab>1”去证.其基本步骤是:1.作商;2.变形;3.与1比较大小.例1若a,b缀R+,n,k缀N,且n>k,求证:an+bn≥akbn-k+an-kbk(当且仅当a=b时,取“=”号).证明an+bn-(akbn-k+an-kbk)=(ak-bk)(an-k-bn-k).又k,(n-k)…     

构造有理化因式解题

利用互为有理化因式的意义(“两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式”),构造有理化因式解题,常能起到以简驭繁、化难为易的作用. 例1 若a=1996/(?)1997-1,则a5-2a4-1996a3的值为____. 解:由题设有a=(?)1997+1,又设b=(?)1997-1,则a-b=2.ab=1996.因此,原式=a5-(a-b)a4-ab·a3=a5-a5+a4b-a4b=0. 评注:这里构造的(?)1997+1的有理化因式(?)1997-1,将求值式中的“2”、“1996”分别用a-b、ab替换,将代数求值题转化为整式运算,使     

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法。就是将代数式中的某一部分用一个新字母(元)来替换。此法用于多项式的因式分解,能使隐含的因式比较明朗地显示出来,从而为合理分组、运用公式等提供条件,使问题化难为易。例1分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)。解:设x2+y2=a,xy=b,则原式=(a+b)2-4ab=(a-b)2=(x2-xy+y2)2。例2分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2。解:设x+y=a,xy=b,则原式=(a-2b)(a-2)+(b-1)2=a2-2ab-2a+4b+b2-2b+1=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=〔(1-y)(x-1)〕2=(y-1)2(x-1)2。例3分解因式(x2-4x+3)(x2-4x-12)+56。解:设x2-4x=y,…     

例谈活用平方差公式巧解数学题

对于平方差公式a~2-b~2=k,若a与b分别表示一个一次整式,k是一个整数,把等式左边分解因式得(a+b)(a-b)=k,然后根据左右两边都是整数,把k也解为两个整数相乘,     

一个值得发掘的多项式

“’+乙’十。’一3。乙‘是一个值得发握的多项式.它具有很多功能.某些数学题借助于它,可获得巧妙的解法. 如果我们把它分解因式可以得到: a3+b’+〔’一3abe二(a+b+c)(a’+b’+cZ一a吞一乙c一ac)(1) 或a’+乙3+c’一3a乙e结论1: 结论2:结论3:如果。十。六一。一那么、一已a3+b“+e3=3晶c一’(8)如果a+占+c>0,那么,”+乙’+c3)3abc(4)如果a>O,西>O,‘>O,那么竺粤汽)“丽(5) 1,_:,、、一,_=.二了(“午乙宁‘夕红气‘了一口产 名根据上面两式,2+(6一c)’+(c一a)2〕(2)我们还可以得到如下结论: 在a二乙二e时,(4儿(3)两式中等号成立。 一下面…     

极化恒等式在平面向量中的应用

<正>在平面向量中,我们把式子a·b=(a+b)²-(a-b)2-(a-b)²/4称为极化恒等式,其中a+b与a-b的几何意义是以向量a、b为邻边的平行四边形的两条对角线。可以使用极化恒等式的条件是a-b和a+b其中之一是可知的。在每年考查平面向量的高考题     

求分式值的常用技巧

<正>解题的切入点是解题的重要方向,是解题的有效钥匙.分式求值有哪些切入点呢?下面本文结合例题归纳求分式值的六个常见切入点,供同学们借鉴.一、改变运算符号点拨对于两个分母互为相反数的分式相加减,只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来,即可化成同分母分式进行相加减.例1求b22a-b+4a2b-2a.解原式=b22a-b-4a22a-b=b2-4a22a-b=-4a2-b2     

逆用完全平方公式解题

完全平方公式的代数式表示为 (a+b)2=a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2. 逆用它们,能把形如a2±2ab+b2的代数式化为形如(a±b)2的代数式.这种和差化积的思想方法,可帮我们巧妙地解题.     

活用公式 巧妙分解

运用公式法分解因式是因式分解的一种基本方法,这种方法就是利用平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)和完全平方公式a~2±2ab+b~2=(a±b)~2分解因式。但在许多情况下,对于给定的多项式,往往无法直接运用公式分解,必须根据多项式的特征,灵活运用公式才能分解。现就怎样活用公式分解因式举例进行说明。     

用恒等式解题

用恒等式解题,大体上有两个途径:一是应用已知的基本恒等式求解;二是根据问题的特点推证出一个适用的恒等式,这通常需要相当高的运算技巧和能力.例1设a、b、c都是正数,满足条件(a2 b2 c2)2>2(a4 b4 c4).求证:a、b、c一定是某个三角形的三边长.证明先把条件改成2a2b2 2b2c2 2c2a2-a4-b4-c4>0.应用恒等式(这是一个较常见的因式分解)2(a2b2 b2c2 c2a2)-a4-b4-c4=(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b),得(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0,即(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0.若上式左边有两个因式为负(另一个因式为正),例如,若a b-c<0,b c-a<0,两式相加得b<0,这…     

用主元法分解二次多项式

在解一些含多个字母的二次多项式的因式分解题时，我们可以考虑选择其中一个字母作为主元，那么已知多项式可整理成关于主元的二次三项式，然后利用十字相乘法进行分解，这种分解因式的方法称为主无法．下面举例介绍它的具体应用‘例1分解因式：x’～a’－Zx—Za·解以X为主元，则原式一x’－Zx－（a’＋Za）一x’－Zx－a（aW2）。（x＋ca）Cx一（a＋2）〕＝（x＋a）（x－a－2）．例2分解因式：4。’－4ah＋b’－。’月以。为主元，则原式一4a’－4b·a＋（b’－c’）。4a’－4b·a＋（b＋c）（b－c）＝＋2a一（b＋c）〕CZa一（b－c）〕…     

因式分析解与三角形

一、判断三角形的形状例1已知a、b、c分别是△ABC的三条边,且a~2+ac=b~2+bc,试判断△ABC的形状．解析：由a~2+ac=b~2+bc．得a~2- b~2+ac-bc=0．将此式的左边分解因式,得(a-b)(a+b+c)=0．因为a、b、c是△ABC的三条边．所以a+b+b＞0．故a-b=0．从而a=b,于是△ABC是等腰三角形．     

运用公式法测试题

一、坡空厄(每小题3分，共27分) 1.蛇一李六(孤)(3x). 4‘2.在多项式4x41中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是_.(只填一个即可) 19爪阵+n乍()2. 4.a一砧份解因式的结果是5.若a4彻+9是一个完全平方式，则。的值为_. 6.若二次三项式尤2+4劣科有一个因式是劣+2，则另一个因式是_. 7.分解因式:矿州劝+与、一”’一’一一”-一4-—- 8.用简便方法计算迎为2二()任9.若矿+b、6，(a+b)、8，则(a--b)、二、选择班(每小题3分，共18分) 10.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是() A一m月一n’B一1阮2矿C.1212衬D.9了刊…     

运用a~3 b~3 c~3-3abc的分解因式解题几例

a3 b3 c3一3abc =(a b)3 c3一3“b(a b)一3“bc ~[(a b) c〕[(a b)2一(a十b)c cZj 一3ab(a十b十c) =(a b c)(aZ bZ cZ一ab一bc一ca). 下面举例介绍aa ba ‘3一3obc的分解因式在解题中的应用,供同学们学习时参考. 例1已知a b ‘~6,矛 夕 ‘2~14,矿 b3 ca~36,求abc的值. 解由。 b ‘~6得 a含十b盆 c,十加b Zbc十Zca=36,.’.口b bc ‘“~11.丫a3 b3 ca一3abc ~(口 b十c)(“Z bZ c足一“b一bc一c召), 1,,:。“bc~令「a“ b3 ‘3一(d b ‘)·一’一一3‘一’一’一、一’-(aZ bZ cZ一。b一bc一ea)〕 例2‘5~0. 解一合〔36一6(14一11)j一6.已…     

配方法在解题中的应用

配方法是初中数学中一种重要的解题方法．配方法是指通过拆项、添项等手段把一个代数式或代数式的几个部分变形成完全平方式．借助它，可使很多问题获得巧妙而又迅捷的解答．下面以近年来的竞赛题为例，介绍配方法在解题中的几个应用．一、用于分所因式例1分解困式X‘－7X’十及一＿．门994年“祖冲之杯”初中数学邀请赛初二试题）问原式一（x‘＋ZX’＋1）一gX’一（X’＋n‘一（3X）’一（X叶3x＋1）（x’一3x十I）．例2分解因式a’－b’＋4a＋Zb＋3一．（1992年郑州市初二数学团体赛试题）用原式一（。‘＋4。＋4）－tb’－Zbchl）…     

完全平方公式的变形应用

(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2统称为完全平方公式。熟练地掌握了这两个公式的应用后,在解题中,我们还要注意它们的变形应用。     

应用“当且仅当…时取等号”解题

在关于不等式的许多命题中,都有一个“当且仅当…时取等号往往不被重视,其实,在解题时它们是很有作用的。本文介绍解题的一些例子。例1.设a,b,c是三角形的三边,则此三角形为等边三角形的充要条件是:a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)=3abc (1) 证明:令b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z, 则z,y,z>0,     

“轮换差”三例(初一、初二、初三)

轮换对称式(a-b)、(b-c)、(c-a)有一个独特的性质:三个因式中的任何一个因式都可用其它两个因式来表示.利用这个特性,在解答有关轮换对称式的问题时,往往能简化解题过程.现举例说明.1.求值例1 设b≠c,且满足     

一道中考求值题的几种解法

题目已知a+Zb十3c一20,a+3b+sc一31,则a+b+c的值为.(1998年陕西省中考题) 本题已知两个三元等式,求含这三元的多项式的值,这类题在近年竞赛题中也经常出现.为了开拓同学们的解题思路,总结这类题的解题规律,现介绍几种方法,供大家参考. 解法1设a十b十c一k,从而解以下方程组 !a十Zb十3c=20,① 找a+3b+sc=31,② Ja十b十c一k.移 ②一①,得b+2c一 1 1.④ ①一③,得b+2c一20一k.⑤ ①一⑤,得一9十k一o,…k一9,即a十b十‘一9. 解法2把已知等式中的a、b看做未知数,‘看做常数,用c分别来表示a,b,解由它们组成的方程组,得 a一c一2,b一11一Zc. :。以+…     

“三角”不等式的应用(高一)

教材中的定理: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,也称为“三角形不等式”,由此容易得到|a+b|≥||a|-|b||,|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≥||a|-|b||,|a-b|≤|a|+|b|,取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≤0,ab≤0. 利用这些规律解题,常会带来很多方便. 1.求值域例1 函数y=x+1/x的值域. 解因为