三角形面积公式在几何证题中的巧用

三角形面积公式S△=21ah是同学们熟知的,由于同学们对它理解不深,觉得它的用处不大.如果在理解它的基础上,将它的一些性质与平面几何的有关知识“串联”起来解决几何问题,就显得简捷巧妙,省时省力.举例应用如下:例1已知,如图1,在△ABC中,DE∥BC,AF为BC边上的中线,且交DE于G.求证:DG=EG.图1分析点F为中点,易知S△ABF=S△ACF,DE∥BC,连结DF,EF,则S△ADF=S△AEF,联想到作高.证明连结DF,EF,分别过D,E作DN⊥AF,EM⊥AF.因为AF为BC上的中点,所以S△AFB=S△AFC.因为DE∥BC,所以S△DFB=S△EFC.所以S△AFD=S△AFE…     

立体几何中的“五心”

一、重心有关的定义、定理:(Ⅰ)在三棱锥中,若各个侧面在底面上的射影面积相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的重心.(Ⅱ)设G是△ABC的重心,AG的延长线交BC于D,则有(1)BD=DC;(2)AG∶AD=2∶3;(3)S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC;(4)AD2=14(2AB2+2AC2-BC2).例1三棱锥V-ABC三侧面与底面所成的二面角分别为30°,45°,60°,底面积为3,顶点在底面上的射影是底面的重心,求三棱锥的侧面积.解设顶点在底面的射影为G,依题意知,G是△ABC的重心.由平面几何知识得S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC=1.由面积射影定理知S△VAC…     

与梯形面积有关的几个结论

探索:如图1,将梯形ABCD沿它的两条对角线剪开,得四个小三角形.这四个三角形之间、它们与梯形之间有着怎样的联系? 发现一:在梯形ABCD中,AB∥CD, 得S△ABC=S△ABC. 而S△ABC-S△ABO=S△ABD-S△ABO, 有S△BCO=S△ADO. 发现二:利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比,DO/BO=S△CDO/A△CBO=S△ADO/S△ABO.不妨设S△CBO=S△ADO=x,     

巧用构图法解题

[题目]如图1所示,AF=2FB,FD=2EF,直角三角形ABC的面积是36平方厘米,求平行四边形BCDE的面积。[一般解法]如图2所示,连接BD,设△FEB的面积为S,由FD=2EF可知,S△FBD=2S△FEB=2S。同理由AF=2FB可知,S△AFD=2S△FBD=4S,又S△BCD=S△DBE=S△FEB S△FBD=S 2S=3S,所以S△ABD=S△AFD S△FBD S△BCD=4S 2S 3S=9S。由直角三角形ABC的面积为36平方厘米可知,9S=36,则S=4。因为平行四边形BCDE的面积等于三角形BCD面积的2倍,即6S,所以平行四边形BCDE的面积为     

对2002年天津市中考数学一试题的分析

20 0 2年天津市中考试卷第一题的第 1 0小题为 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ,若S△AOB =4 ,S△COD =9,则四边形ABCD的面积S四边形ABCD 的最小值为A 2 1　B 2 5　C 2 6　D 36图 1我们给出如下解法 ,对试题给出分析与评价 .解　如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE=h2 ,BD=a ,OD=x ,则OB=a -x .由已知条件可得12 (a-x)h1=S△AOB =4 ,12 xh2 =S△COD =9.从而 ,h1=8a-x,h2 =1 8x. ( 1 )又S四边形ABCD =S△AOB S△COD S△BOC S△AOD =S△BOC S△AOD 1 3.于是 ,求四边形…     

2002年天津市中考数学一试题的探索

题目 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O .若S△AOB=4 ,S△COD=9,则S四边形ABCD的最小值为 (　　 ) .(A) 2 1　 (B) 2 5　 (C) 2 6　 (D) 36我们给出如下解法 ,对试题与解法进行探索 .图 1解 :如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE =h2 ,BD =a ,OD =x .那么 ,OB =a -x .由已知条件可得12 (a -x)h1=S△AOB=4 ,12 xh2 =S△COD=9.从而 ,h1=8a -x,h2 =1 8x.①又S四边形ABCD=S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD=S△BOC+S△AOD+1 3.于是 ,求四边形ABCD面积的最小值问题转化为求y =S△BOC+…     

一类面积关系的探究与应用

问题 如图1,△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上,且AE、CD、BF交于点O,设S△BOE=S1,S△OEC=S2,S△OCF=S3,S△OFA=S4,S△OAD=S5,S△ODB=S6,则S1·S3·S5=S2·S4·S6.     

平分三角形面积的直线的方程

本文介绍一个求平分三角形面积的直线方程的方法.首先证明一个定理: 若点M在△ABC的边BA上,定比λ=BM/MA满足0≤λ≤1,那么过点M且平分△ABC面积的直线l分CA于定比1-λ/1+λ的点N处.如图1,连接MC,并设S△ABC=S,S△BMC=S1,S△AMN=S2,S△MCN=S3.由题意有:S2=S/2.因为BM/MA=λ,所以AB/BM=1+λ/λ图 1又因为△BMC与△BAC等高,     

共高三角形与相似三角形性质的综合应用

共高三角形的性质:共高三角形的面积比等于对应底边的比.题目:如图1,S△ABD=12BD·h,S△ADC=12DC·h,从而S△ABD S△ADC=12BD·h12DC·h=BD DC.特别地,当AD为△ABC中线时,S△ABD=S△ADC.在相似三角形的学习中,此性质常与相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质综合使用,现举两例说明.例1如图2,△ABC与△DEC重叠的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点,且AB//DE.若△ABC与△DEC的面积相等,     

巧用四边形性质 妙解一类问题

下面来看四边形一个性质: 如图1,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,设S△AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3,S△OOD=S4,则有如下结论: S1S2=S3S4. 证明:因为S1/S3=OD/OB=S4/S2,     

高考复习的几个策略之二——第三轮复习

一、加强基础复习策略（抓住选择题和填空题特点,加强训练） 例1 设点P是△ABC内任意一点,S△ABC的面积,λ1=S△PBC/S△ABC=S△PCA/S△ABC,λ1=S△PAB/S△ABC,定义f（P）=（λ1,λ2,λ3）,若G为△ABC的重心,f（Q）=（1/2,1/3,1/6）,则（ ）．     

两道“希望杯”赛题的多种解法

例1 (第14届"希望杯"全国初一数学邀请赛第一试试题)如图1,△ABC的面积为25cm2,AE=ED,BD=2DC,则阴影部分的面积为____cm2,四边形CDEF的面积为____cm2. 解法一:如图2,连结DF. 设S△DEB=m,S△AEF=n. 因为AE=ED, 所以S△DEB=S△AEB=m, S△DEB=S△AEF=n.     

关于三角形面积的一个有趣结论

如图 1 ,P为△ABC内一点 ,AP、BP、CP分别交对边于D、E、F ,记△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面积分别为S1、S2 、S3、S4 、S5、S6 .则有1S1 1S3 1S5=1S2 1S4 1S6.证明 :因为S△PBDS△PDC=S△PABS△PAC,所以 ,S1S2=S5 S6 S3 S4.同理 ,S3S4=S1 S2S5 S6,S5S6=S3 S4 S1 S2.从而 ,S1S3 S1S4 =S2 S5 S2 S6 ,S3S5 S3S6 =S1S4 S2 S4 ,S1S5 S2 S5=S3S6 S4 S6 ,S1S3S5=S2 S4 S6 .①②③　① ② ③ ,得S1S3 S3S5 S1S5=S2 S4 S4 S6 S2 S6 .上式左边除以S1S3S5,右边除以S2 S4…     

怎样理解V排=S△h?

在教阿基米德定律F浮=ρ液gV排时正确理解"V排"是关键,而通过液面升高来求V排这类问题,学生往往只知其然而不知其所以然,下面谈谈怎样理解V排=S△h.(S为柱形容器的底面积,△h指液面升高的高度.)     

对一道高考选择题的思考

题目设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PCA/S△ABC，λ3=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1，λ2，λ3），若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2，1/3，1/6），则（）     

利用比例关系求解

【题目】由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，如右图所示。即已知S△AED=2，S△AEC=5，S△BDF=7，S△BCF=3，那么S△BEF=——。     

“平行线分线段成比例”定理的另一证明方法

四年制《几何》第二册第五章第二节的平行线分线段成比例定理的证明较繁琐。第三步中“对于ABBC是任何实数”的证明又比较抽象,没有直观有理有据的推证,学生只能靠想像去理解。对于理解能力稍差一点的学生,结论的得出显然就不够直观、明了。下面推荐一个直观、简洁的证法:如图:设直线AD//BE//CF,连接AE、EC、DB、BF,则S△ABE=S△DBE,S△BEC=S△BEF,设△AEC的高为EH,△DBF的高为BH',那么S△ABES△BEC=12AB·EH12BC·EH=ABBC,同理S△DBES△BEF=DEEF,由此可知S△ABES△BEC=S△DBES△BEF,故ABBC=DEEF。…     

梯形的又一性质及拓展应用

性质:如图1,在梯形ABcD中,AD∥Bc,则s△』(Ⅻ=s￡coD且S幺jo月=S幺∞D=S△加D·Js△f。B 略证:。。‘S△ABc一5△DBc又。.‘S△^0B一5△^Bf～S△矗。c,.s△∞D=.‘.5△帅B:5,1foD.A D 图1S＆nBc—S＆奴,·.‘意一甏①,淫一器②'自①×②得,S己∞,,·5△(瑚一5△∞D·5△彻骨,.’.5幺_∞一5盖∞D一5△。。·5△一,在有关的解题中运用上述结论常可达到事半功倍的效果. 例1 如图2,梯形ABCD中,AD∥Bc,Ac与_BD相交于A D图2蠛黧霎以鏖B逡ABcD变为凸四边形 /\升 /1丌时,若0为凸四边形 //u\\ /森 \ABcD的对角线Ac上.∥ \。.∥…     

介绍一条等积定理——兼谈图形的拼合

探索:将一个三角形沿着一条中线剪开,得两个面积相等的三角形.如图1,沿中线AD将△ABC剪开,得△ABD和△ACD,有S△ABD=S△ACD.再研究一下这两个三角形的边与角,发现AD=AD,BD=CD,∠ADB+∠ADC=180°.猜想:如果两个三角形的边与角之间满足上述条件,这两个三角形面积相等吗?如图2,在△ABC和△A'B'C中,BC=B'C'=a,AC=A'C'=b,∠ACB+∠A'C'B'=180°.我们试将这两个三角形拼合,使A'C'与AC重合.∵∠ACB+∠A'C'B'=180°,∴B'在BC的延长线上.又∵BC=B'C',∴C是△ABB'的边BB'的中点.∴S△ABC=S△A'B'C'.(等底等高)这说明…     

Δh=V_排/(S_容-S_物)对吗

笔者在辅导学生物理习题训练时,遇到这样一道题:一底面积为S物的物块,投入一装有水、底面积为S容的柱形容器中,物块漂浮在水面上,容器中水未溢出,则容器内水面上升的高度△h为