基于HPM视角的二项式定理教学案例介绍与分析

<正>在"人教版"中,二项式定理是高中数学A版必修2-3第一章计数原理第三节的内容,先是用多项式乘法法则结合组合思想,得到(a+b)~2的展开式并进行分析,通过探究(a+b)~3和(a+b)~4的展开式,得到(a+b)~n的展开式,从而得到二项式定理。《普通高中数学课程     

两个重要数学知识点学习指津

一、从公式(a+b)《a-b)=a2-b2谈起现从平方差公式为例,谈谈学习乘法公式的方法。1.了解公式的结构特征在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中,左边是两个二项式的积,在这两个二项式中有一项(a)完全相同,另一项(b)和(-6)互为相反数;右边是完全相同     

灵活应用乘法公式解题

<正>学习了整式的乘法后,我们知道,关于整式的乘法公式有平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²和完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b².另外,(x+p)(x-q)=x²-(p+q)x+pq也可作为两个含有相同字母的一次二项式相乘的公式.     

第十四讲 代数式(之3)

(3)最重要的乘法公式:(a+b)~2从上一节已经知道:八个乘法公式中有6个可以从(a+b)~2直接或间接地导出,由此可见公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2的不平凡.这一节你将看到由这个公式可生长出很多有趣又有用的东西,它们让你惊奇,…     

分类解析二项式定理常考题型

二项式定理是对初中乘法公式的推广,是排列与组合知识的具体应用,是学习概率的重要基础.二项式定理是高考的必考内容,有利于培养学生数学运算的核心素养,通常以选择题或填空题的形式出现,大多属于简单题或中等题,本文将二项式定理常考题型进行归纳总结.     

教本探源求二项展开式的某项或某项的系数——谈组合推导法的应用

求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点,每年的高考题都有一定的题目出现,人们往往利用二项式定理的通项公式去解决,却忽视了推导二项式定理的原理,组合计数推导法,这是伟大的物理学家、数学家牛顿在1665年推导二项式定理的方法,我命名为"组合推导法",多项式的乘法本质是其结果由每个括号中取一项相乘的所有单项式合并同类项得到的.教材中二项式定理的推导就是将(a+b)n看成n个a+b相乘,从每个括号中     

二项式定理的一个证明

大家熟知的牛顿二项式定理是指下面的公式:(a+b)~n=c_n~0a~n+c_n~1a~(n-1)b+c_n~2a~(n-2)b~2+…+c_n~nb~n,(n∈N) (1)式(1)的右边的式子叫(a+b)~n的二项展开式,在教科书上,公式(1)的证明通常是采用数学归纳法,在本文中,我们将给二项式定理一种新的、有趣的证法,这种证法依赖于函数方程的解。     

代数式(之四)

(3)(a+b)2是宝库从上一节已经知道:八个乘法公式中有6个是可以从(a十b)2直接或间接地导出的,由此可见公式(a+b)2=a2+2ab+b2的不平凡.这一节你将看到由这个公式可生长出很多有趣又有用的东西,它们让你惊奇,…在公式(a+b)2=a2+2ab+b2中,让a表示自然数n,让b表示1,它就变成 (n+1)2=n2+2n+1. 这是一个恒等式.当n取某一个具体的自然数时,它就变成一个具体的数字等式.例如当n取99时,就得到     

浅谈在生长型初中数学课中落实核心素养的几点做法——“乘法公式(1)”教学设计及反思

<正>一、教材分析本课是苏科版数学教材七下第9章第4小节的内容,它是多项式乘法的后续,为之后的平方差公式的探索做准备,也为后续的因式分解做铺垫.本节课侧重让学生探索完全平方公式的形成过程,领悟完全平方公式的几何意义,并能用完全平方公式解决简单的实际问题,体会类比,整体,数形结合的思想方法,使学生获得探索数学的基本活动经验二、设计亮点1. 设疑引入,落实数学建模素养本课通过童话故事阿凡提的故事,让同学们比较a2+b2和(a+b)     

从失败走向成功——“二项式定理（第1课时）”的教学反思

“二项式定理”是人教版《全日制普通高级中学数学教科书（必修）》中的内容。它实际上是初中学习的多项式乘法的继续。教材试图让学生通过探究导出二项式定理的思维过程,深刻领会蕴含于其中的数学思想方法,特别是从特殊到一般的归纳推理方法,让学生充分体验作为学习主体进行探究获得知识的乐趣。本课的重心是引导学生自主归纳推理二项式定理,教师如何启发引导才能自然地让学生自主探索成了这节课的难点。     

求二项式展开式中"某某"项的系数问题

二项式定理的表达式为(a+b)n=C0nanb0+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnna0bn (n∈N?).二项式定理的"娱乐理解": (1)(a+b)n理解为n个人一起玩扑克牌,每个人手中都有两张扑克牌,分别是a和b.规定每个人只出一张牌,且必须出一张牌; (2)通项公式Tr+...     

乘法公式的类比记忆

初中代数中关于多项式的七个乘法公式,可用类比的方法增强初学者的记忆,并使之能够自然地将它们推广到更一般的情形。 1.两数和的平方与立方公式比较下列三式: (a+b)~1=a+b,(A_1) (a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(A_2) (a+b)~3=a~3+3a~2b+3ab~2+b~3.(A_3)可知这三个等式的右端具有下述特点: (1)它们都是与左端幂次相同的齐次式,即各项的次数均相同,都等于左端的幂次; (2)都按照字母a降幂排列,同时又都按照     

一定二通三性四法谈二项式

二项式定理是排列、组合知识应用的重要方面 .又是发现推导新的组合恒等式的重要途径 .二项式定理应用的主要方面有 :求展开式中的某一项或某一项系数的问题 ,求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题 ,求二项式某一项中字母的值的问题 ,求近似值的问题等等 .下面我们就其基本知识方法和作了一些归纳 ,希望对同学们有所帮助 .基本知识 :(一定 )即二项式定理本身 :( a + b) n =C0nan + C1nan- 1b +… + Crnan- rbr +…+ Cnnbn ( n∈ N * )(二通 )即通项公式 :Tr+ 1=Crnan- rbr( 0≤ r≤ n)(三性 )即二项式系数性质 :( 1)对称性 :…     

例析二项展开式的通项公式及应用

(a+b)n的展开式的通项为 Tr+1=Cnra(n-r)br(0≤r≤n). 应用通项公式Tr+1=Cnra(n-r)br时应注意以下几点:①通项公式是表示第"r+1"项,而不是 第r项;②展开式中第r+1项的二项式系数Cnr与第r+1项的系数不同;③通项公式中含有a, b,n,r.Tr+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求第五个元素,在有关二项式定理的问 题中,常遇到这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式, 把问题归蚋为解方程(或方程组),这里必须注意n是正整数,r是非负整数,且r≤n.下面就其应 用举例说明:     

二项式定理的研究及杨辉法则

1二项式定理：先看两个熟悉的乘法公式：由（1）知，乘积合并同类项以后，共有三项。第1项在两个二项式里都不取b而取a，只有一种方法得：a．a＝a2第2项在一个二项式里取b，另一个二项式里取a，共有of种方法，得：第3项在两个项式里都取b，有Ci种取方法，得：由（2）知，来积合并同类项以后，共有四个项。第五项在三个二项式里都不取b，而取a，只有～种方法，得：第2项在一个二：项式里取b，其余的两个项里都取a，共有of种方法，得：第3项在两个二项式里都取b，其余的一个．二项式里取a，共有c；种取法，得：第。1项在三个二项式里都取b，…     

二项式问题解法探究

二项式定理是乘法公式的推广,是排列组合的应用,也是学习随机变量及其分布的基础.高考中二项式定理的考查多以选择题和填空题的形式出现,难度基础或中等,主要体现在以下四个方面:1)应用通项公式;2)应用二项式系数的性质;3)应用二项式定理;4)应用转化与化归思想.     

高考中的二项式问题

解二项式问题,首先要熟悉二项展开式的通项公式,其次还要掌握以下三个方面:(1)(a+b)~n的展开式的二项式系数之和为2~n.(2)对于(a+b)~n而言,当n为偶数时,其展开式中只有中间一项,即第(n/2+1)项的二项式系数最大;当n为奇数时,其展开式中中间两项,即第(n+1)/2和(n+3)/2项的二项式系数最大.     

有图有真相 中看又中用——对“完全平方公式(1)”的教学思考

我们知道,完全平方公式是初中数学中一个普通又重要的公式.对于这样的公式,有的教师不重视公式的形成过程,而是直接让学生去计算(a+b)2、(a-b)2,得出完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,并侧重于记忆公式、反复训练(简单模仿居多),让学生在茫茫的题海中漫游,逐步变成知识的容器.这样,缺乏知识的形成过程,不利于学生思维的发展."为什么就计算这个问题",由于学生对公式本身没有进行深入的思考和探究,公式的思维价值没能得到充分挖掘,学生只能在教师指定的框架内机械操作.     

利用二项式定理求组合式的值

二项式定理是将(a+b)n 展开成多项式,其展开式的通项为Tk+1=Ckn an-kbk (k=0,1,…,n),其中Ckn称为二项式系数.利用二项式定理可以推导出C0n+C1n+…+Cnn=2n ,即证明了有n个元素的集合的子集个数为2n 个.因此,我们可以利用二项式定理计算有关组合数和(ax+b)n 展开式中xk ...     

二项式定理高考题分类解析

每年全国及各省市文理科的三十多套试卷中,大多有关于二项式定理的题目.本文对2009年的二项式定理考题归类解析,以使考生在备考复习中,克服盲目,明确方向,突出重点,提高效率.一、利用展开式的通项公式在(a+b)~n的展开式中,第r+1项是T_(r+1)=C_n~ra~(n-r)b~r.利用这个通项公式,可以解决展开式中某一指定项的问题,如常数项,含某字母若