根的定义用处大(初三)

大家知道,如果x1,x2(x1≠x2)是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根,则有ax12 bx1 C=0,ax22 bx2 c=0. 反之,若ax12 bx1十c=0,ax22 bx2 c=0,x1≠x2,则x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根.     

系数和为0的方程

如果一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的系数和a＋b＋c=0,则不难发现：x=1满足方程ax2＋bx＋c=0,即x=1是该方程的一个根．反之,如果x=1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的一个根,     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

一元二次问题的内在联系

一元二次型问题包括一元二次式(ax2+bx+c)、一元二次方程(ax2+bx+c=0)、二次函数(y=ax2+bx+c)、一元二次不等式(ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0)这四类,这四类问题都有一个共同点:都含有一个相同的代数式:ax2+bx+c,但反映的又是不同类型的问题,对这类形似而非的问题总是能引起学生广泛的兴趣,并激发好奇心——它们之间究竟有什么联系?本文将通过多个例证与广大师生及数学爱好者来探讨这个问题,并努力揭示这种内在的深层次的联系,以供大家参考.     

一元二次方程与二次三项式的因式分解

形如ax2＋bx＋c的多项式叫做x的二次三项式，这里a、b、C都是已知数，并且。羊a≠0对于二次三项式的因式分解，首先应考虑采用提公因式或乘法公式、十字相乘等方法．当使用这些方法都有困难时，我们可以利用求出一元二次方程的根来把二次三项式分解因式．如果用公式法求得一元二次方程ax‘＋bx＋C＝0的两个根x1和x2，那么由根与系数的这就是说，在分解二次三项式ax’＋bx＋c的因式时，可先用公式求出一元二次方程ax‘－ta－c—0的两根xl、xZ，然后把。x’＋bx＋C直接分解成。（C一二1）（—－JZ）的形式．即。x‘＋bx＋c—a（x－xl）（x…     

一个代数恒等式的应用

人教版初中《代数》第三册给出了一个重要的代数恒等式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次方程ax2+bx+c=0的两个根,也是二次函数y=ax2+bx+c与x轴两个交点的横坐标.巧妙地运用这一恒等式解题可使解题思路明显,过程简捷.下面以若干竞赛题为例说明这一恒等式的应用.     

构造一元二次方程解题时应注意的问题

一般而言,对于二次方程ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0(a,b,c为常数,且a≠0),其中的x1,x2可看作方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的前提是x1≠x2,这是因为当x1=x2时,x1与x2并不能完全保证是方程ax2+bx+c=0的两根,此时存在两种可能:     

函数y=|ax~2+bx+c|(a≠0)的图象性质及其应用

函数y=｜ax2 +bx+c｜ (a≠ 0 )是一个常见函数 ,以它为载体考察函数的各种性质的试题和以它为背景考察方程与不等式的试题屡见不鲜 .解决这类题目一般都需要进行数形结合 ,以形助数 ,直观处理 .因此 ,掌握该函数的图象与性质就成为解题的关键 .本文拟介绍函数 y =｜ax2 +bx +c｜ (当a >0时 )的图象性质及其应用 .一、函数 y =｜ax2 +bx +c｜ (a >0 )的图象与性质(1)当Δ=b2 -4ac≤ 0时 ,恒有ax2 +bx+c≥ 0 ,则函数 y =｜ax2 +bx+c｜=ax2 +bx +c的图象为抛物线 ,其性质众所周知 .　　 (2 )当Δ =b2 -4ac>0时 ,函数y =｜ax2 +bx +c｜ 图象为“…     

三次函数的性质和应用

三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数.本文给出并证明三次函数的三个性质,并例说性质的应用.函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的导函数为f/(x)=3ax2 2bx c.导函数的对应方程为f/(x)=0即3ax2 2bx c=0,其判别式Δ=4(b2-3ac).若Δ>0,设其两根为x1、x2,并设x1相似文献   

活用“三个二次”的关系解题

本文中的三个"二次"是指:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次不等式ax2+bx+c>0或<0(a≠0).在初中数学学习中,二次函数、一元二次方程是中考的必考内容,尤其二次函数综合性较强,使得学生难以理解和掌握,一元二次不等式虽不是初中阶段     

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数 y=ax2 bx c(a≠ 0 )的图象及性质在初中代数教材中占有重要地位 ,这部分知识与前后内容联系紧密 ,灵活性、综合性较强。下面着重介绍二次函数 y=ax2 bx c(a≠ 0 )与一元二次方程 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )之间的关系。一、一元二次方程 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的根的情况决定着抛物线 y=ax2 bx c(a≠ 0 )与x轴交点的情况。下面是二次函数 y=ax2 bx c(a>0 )的图象 ,观察图象 ,回答 :x取何值时 ,y=0。　 (甲 )　　 (乙 )　　 (丙 )由 (甲 )图可以看出 ,抛物线y=ax2 bx c与 x轴交于两点(- 1,0 )与 (3,0 ) ,也就是说 ,有…     

应用“韦达定理”改进“十字相乘法”

由一元二次方程根与系数的关系知道,二次三项式ax~2 bx c=a(x-x_1)(x-x_2)(?)x_1 x_2=-b/a,x_1x_2=c/a。由此可对“十字相乘法”作如下改进: 作变换ax~2 bx c=1/a[(ax)~2 b(ax) ac]。令ax=y,则ax~2 bx c=1/a(y~2 by ac)。若有x_1、x_2,使x_1x_2=ac,x_1 x_2=-b,则ax~2 bx c=1/a(y-x_1)(y=x_2)=1/a(ax-x_1)(ax-x_2),于是有定理对于二次三项式ax~2 bx c,若能找到x_1、x_2,使得ac=x_1x_2,x_1 x_2=-b,那末,ax~2 bx c     

探析二次函数中数形结合思想的运用

<正>在初中数学教学中,数形结合思想在二次函数中有着广泛的运用.学生通过解决"一元二次方程ax2+bx+c=0的实根与二次函数y=ax2+bx+c的图像同x轴交点的关系"、"二次函数y=ax2+bx+c的图像分布情况与一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≠0等)解集的关系"、"二次函数中,其自变量在规定的取值范围内函数的最值问题"等诸如此类的问题,逐渐学会用数形结合思想来解决数学问题,毋     

构造一元二次方程解题例举

构造一元二次方程是一种重要的解题技巧,它可以使一些看似与方程无关的问题,用方程的知识得以简捷地解决.那么,应根据什么来构造一元二次方程呢? 一、利用一元二次方程根的意义我们知道,若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则有ax12+bx1+c=0、ax22+bx2+c=     

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

一元二次方程及其根的判别式

一元二次方程是初中代数的重要内容,它是一种只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).学习了一元二次方程根的意义、解法及其根的判别式后,灵活利用它们,可迅速地解答一些竞赛试题.一、灵活利用根的意义若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,那么ax_0~2+bx0+c=0,反之,若ax_0~2+bx0+c=0(a≠0),那么x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例1 已知a是方程x2-3x+1=0的根,则2a2-5a-2+3/a2+1的值是__.(1996年昆明市初中     

活用构造 解题变妙

构造一元二次方程法在数学解题中有着广泛的应用,下面举例说明.一、因符合方程一般形式而构造方程若实数x1,x2满足ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,则可构造一元二次方程ax2+bx+c=0,并将x1,x2视作方程的两个实数根来解决问题.     

巧用根的定义

如果x0是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根,那么ax0^2＋bx0＋c=0;反过来,如果ax0^2＋bx0＋c=0,那么x0是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的一个根．这就是一元二次方程的定义．由此可见,根据定义可以正用,也可以逆用,还可以与韦达定理联用．     

一个有趣性质的应用

<正> 性质在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a+b+c=0,则该方程必有一根为1. 证明∵a+b+C=0,且a≠0,∴a=-(b+C). ∴ax2+bx+c=-(b+c)x2+bx+C =-bx2-cx2+bx+c     

二次函数与一元二次方程联袂解题

二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0有着密切的联系.对于二次函数或一元二次方程问题,我们依据题目的特征,灵活处理,则能使某些问题得到简捷、巧妙的解决. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的根、判别式△=b2-4ac的符号关系如下表: 一、求方程的根 例1(2014年柳州卷)小兰画了y=x2+ax+b的图像如图1所示,则关于x的方程x2+ax+b =0的解是().