圆中常见辅助线的作法

<正> 对以圆为载体的几何问题,常用以下方法作辅助线: 一、过某些特殊点作园的直径、半径、弦例1 如图1,⊙O的半径为R,以⊙O上的点A为圆心,r(r相似文献   

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

2006年第11期问题

61.如图,O是△ABC内任一点,直线AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于D、E、F,AO、BO、CO分别交EF、FD、DE于G、H、I.问OGAG OBHH OCII是否为定值,若为定值,求出该定值;若不为定值,说明理由.(湖南省长沙市十五中410007厉倩提供)62.如图,⊙O1与⊙O外切于P,⊙O2与⊙O内切于Q,MN是⊙O1与⊙O2的内公切线.若⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R,求证:MPQN22=(R r1)R(2R-r2).(江苏如皋市教师进修学校226500徐道提供)63.已知a>0,b>0,2≥λ>0,求证:#a aλb$ #b bλa$≤AB CEDF GHOIOQO1PO2NM两相交构成△C1C2C3,使△…     

两圆外切的一个基本图形及其应用

学习平面几何,如果能积累一些重要的、常见的基本图形,熟悉它们的有关性质,对开拓解题思路,提高证题技巧是大有益处的.初中几何(人教版)第三册有这样一道题:题目如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.证明过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC     

关于圆滚动问题的探讨

关于圆在曲线上滚动的周数的争论,已有多篇论文见诸于国内中学数学杂志,但鲜见说明透彻且浅显易懂,能为学生接受的.本文给出一种浅显的解释.1圆在直线上滚动的问题图1众所周知,若半径为r的⊙O在直线l上自点A起滚动一周到点B,则AB=2πr.反之,若半径为r的⊙O在直线l上自点A滚动到点B,则当AB=2πr时,⊙O在l上正好滚动了1周,即2AπBr=1.(图1)一般地,若半径为r的⊙O在直线l上自点A滚到点B,设AB=a,则⊙O滚动的周数n=2aπr.此时圆心O平移到O′,设OO′=a′,则a′=a.所以⊙O滚动的周数n也等于2aπ′r.2圆在折线上滚动的问题(1)当半径为r的…     

赛题研究

题目如图1,⊙O1、⊙O2在⊙O内滚动且始终保持与⊙O内切,切点分别为P、Q,MN是⊙O1和⊙O2的外公切线．已知⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R．求证：MN2/PQ2为定值．     

为什么这样做——一道中考定值问题解题策略赏析

正请看2010年广东省广州市中考第24题及其问题(2)的解法:如图1,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长;(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;(3)记△ABC的面积为S,若,求△ABC的周长.略解:∠ACB是定值.理由:     

"切点三角形"的探究性学习

题目如图1,已知⊙O1和⊙O2外切于点P,AB是⊙O1和⊙O2公切线,A、B是切点,求证:PA上PB(人教版<几何>第三册p.129例4).     

两圆相切的一个重要性质

本文介绍两个半径不相等的圆当它们内切或外切时的一个重要性质及其应用 .命题 1　设半径分别为 R,r(R>r)的两个圆内切于 T点 ,自大圆上任意一点 P向小圆作切线 (P与 T不重合 ) ,切点为 Q.那么PT=PQ RR- r.命题 2　设半径分别为 R,r(R>r)的两圆外切于点 T,自大圆上任意一点 P向小圆作切线 (P与 T不重合 ) ,切点为 Q.那么PT=PQ RR+r.1　命题 1的证明设半径分别为 R,r的两圆⊙O,⊙O1 内切于点 T,过大圆⊙O上任意一点 P作小圆⊙ O1 的切线 ,其切点为 Q(P≠ T) .连结 PT交⊙ O1 于 A点 ,再连结 O1 A和 OP.在△ O1 AT与△ OP…     

几何证明中的定值问题

在几何证明题中,有一类题目是求证某些几何量之间具有定长、定比、定值、定角或者定方向等等的问题,这类问题统称几何定值问题。 [例1] 已知菱形ABCD外切于⊙O,MN是与AD、CD分别交于M、N的⊙O的任一切线,求证AM·CN=定值。     

两个结论的证明和应用

如图１，已知⊙O１和⊙O２外切于点C，两外公切线相交于点P，其夹角为α，A、B为切点，R、r分别是⊙O１和⊙O２的半径．求证：（１）AB＝２Rr√；（２）sinα２＝R－rR＋r．证明：连结O１O２、O１A、O２B，作O２D⊥O１A于D．显然O１A⊥AB，O２B⊥AB，ADO２B是矩形．∴O１D＝O１A－O２B＝R－r．由⊙O１和⊙O２外切于点C，知O１O２＝R＋r．由圆的对称性可知，点P在直线O１O２上．由O２D∥AP，知∠O１O２D＝∠O２PA＝１２α．在Rt△O１DO２中：（１）AB＝O２D＝O１O２２－O１D２√＝（R＋r）２－（R－r）２√＝…     

数学问题与解答

806．如图1，已知PA切⊙O于A，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，求证：HC-HB/BC为定值。     

去掉“如图”,变化多(初三)

一个几何问题,如果给出了图形,那么除了直观这一功能之外,还可能限制人们更广泛的自由思考.下面就是一例: 如图1,⊙O1和⊙O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于C,与⊙O2交于点D.经过点B的图1直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.求     

从一个轮子悖论谈起

<正>1问题呈现如图1所示,亚里士多德说:有两个大小不等的同心圆,半径分别为R和r(R>r).大⊙O从A点出发,沿直线L1滚动一周到A1,线段AA1的长度应等于大⊙O的周长2πR.大⊙O和小⊙O是固定在一起的同心圆,大⊙O滚动一周,小⊙O也滚动一周,这样就应该有BB_1=2πr.因为AA_1=     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

切点三角形在几何证明中的应用

初中《几何》第三册第144页例4：已知⊙O1与⊙O2相切于点A，CB是⊙O1与⊙O2的公切线，切点是C、B．求证：AB⊥AC。     

涉圆最值问题归类解析

<正>前几年中考中常考的几何最值是"将军饮马"模型及其变式,动点轨迹是直线型,近几年中考中常考的几何最值常常与圆有关,动点轨迹是圆.基本模型如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.     

到底转了多少周?(初三)——关于课本一个“想一想”及其解答的争论

九年义务教材(人教版)初中《几何》第三册第189页的“想一想”题目如下:如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm,⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动.⊙B转动6周回到原来位置,而⊙A只需要转动4周就回到原来位置.想一想,为什么?     

一题三问 一问三解

题目已知,如图1,点P在x轴上,⊙P切y轴于O,直线y=-33x+1与⊙P相切于C,交坐标轴于A、B两点.(1)求⊙P的半径;(2)求点C的坐标;(3)求过A、C、P三点的抛物线的解析式.分析与解(1)思路1根据直线y=-33x+1与坐标轴交于A、B两点,易求得两点的坐标分别为A(3,0)、B(0,1),即BO=1,AO=3,于是可得AB=2.又因⊙P切y轴于O,切直线AC于C,故BO=BC=1,AC=AB+BC=3.如图2,连接PC,在RtACP中,设⊙P的半径为r,根据勾股定理得:(r+3)2-r2=32,解得r=3.思路2由RtAOB∽RtACP,有OAAC=OBPC,即33=1r,得r=3.思路3运用切割线定理,设⊙P与x轴的另一交点为D,…     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…