巧解直线与圆锥曲线相交的中点弦问题

中点弦问题是直线与圆锥曲线相交的典型题型,可通过一元二次方程的根与系数的关系或用点差法求解.若在客观题中解决圆锥曲线的中点弦问题用这两种方法未免耗时太多.应用圆锥曲线的中点弦公式,能快速解决这类圆锥曲线中点弦的客观题.     

相交弦中点所在直线过定点问题探究

文章给出了椭圆相交弦中点所在直线过定点问题的一些常规解题方法,以及不用联立即可得出定点的方法,并且将题目条件一般化,提高学生的解题能力.     

圆锥曲线弦的垂直平分线的截距性质

本文给出圆锥曲线弦的中点坐标与该弦的垂直平分线的截距之间的关系 ,并举例说明它的应用 .定理　设圆锥曲线中与坐标轴不平行的弦Ｐ1Ｐ2 的中点为Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 ) ,该弦的垂直平分线ｌ与ｘ轴的横截距为ａ ,与 ｙ轴的纵截距为ｂ .(1)对于椭圆或双曲线　 ｘ2Ａ + ｙ2Ｂ =1　 (Ａ >0 ,Ｂ >0或ＡＢ <0 ) ,有　ａ=Ａ-ＢＡ ｘ0 ,　ｂ=Ｂ-ＡＢ ｙ0 ;(2 )　对于抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ　 (ｐ ≠ 0 ) ,有　　ａ=ｘ0 + ｐ ,　ｂ=ｙ0ｐ(ｘ0 + ｐ) ;(3)对于抛物线ｘ2 =2 ｐｙ　 (ｐ≠ 0 ) ,有　　ａ=ｘ0ｐ(ｙ0 + ｐ) ,　ｂ =ｙ0 + ｐ .证明　 (1)　设Ｐ1(ｘ1…     

圆锥曲线中点弦的一条性质

文[1]研究了2008年全国高考安徽卷理科第22题第（Ⅱ）问,得到了结论的一般形式,并揭示其背景,进而得到圆锥曲线切点弦的一个统一性质．现摘录如下：     

圆锥曲线中点弦的性质及其应用

1 问题的提出解析几何中,与圆锥曲线中点弦有关的问题较多,如何能快速、简捷地解决这类问题?本文将以“圆锥曲线中的中点弦斜率公式”为基     

圆锥曲线的中点弦方程和中点弦长公式

设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)两点在椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>b>0)上,M(x_0,y_0)是AB的中点,则有(?)由③-④得     

圆锥曲线的中点弦问题

在学习圆的知识时,我们知道,以圆内某一点为中点的弦有以下结论：     

圆锥曲线的中点弦方程及应用

性质 1　圆 (ｘ -ｈ) 2 (ｙ-ｋ) 2 =ｒ2 中 ,以Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ0 ≠ｈ或ｙ0 ≠ｋ)为中点弦的所在的直线方程为(ｘ0 -ｈ) (ｘ-ｘ0 ) (ｙ0 -ｋ) (ｙ- ｙ0 ) =0 .当ｈ =ｋ=0时方程变为ｘ0 (ｘ -ｘ0 ) ｙ0 (ｙ - ｙ0 ) =0 .证明　设弦所在直线与圆交于Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,所以有(ｘ1-ｈ) 2 (ｙ1-ｋ) 2 =ｒ2 ,(1)(ｘ2 -ｈ) 2 (ｙ2 -ｋ) 2 =ｒ2 . (2 )(2 ) - (1)得　　 (ｘ2 -ｘ1) (ｘ1 ｘ2 - 2ｈ)　　 =- (ｙ2 - ｙ1) (ｙ1 ｙ2 - 2ｋ) .当ｘ2 ≠ｘ1时 ,可变为ｘ1 ｘ2 - 2ｈｙ1 ｙ2 - 2ｋ =- ｙ2 - ｙ1ｘ2 -ｘ1.又Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0…     

圆锥曲线平行弦性质探究

文献[1]给出了双曲线平行弦的2个优美性质:性质1过双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP与AQ平行,则|OP|2=21|AR|·|AQ|.性质2MN是过双曲线x2a2-by22=1(a>0,b>0)焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP与MN平行,则|OP|2=2a|MN|.在此基础上,笔者对椭圆与抛物线的平行弦做了探究,有些结论令人惊喜.图1定理1如图1,过椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)顶点A的弦AQ交y轴于点R,过椭圆中心O的半弦OP与AQ平行,则|OP|2=21|AR|·|AQ|.证明设OP的参数方程为x=tcosα;y=tsinα,(α为倾斜角,t为参数)将x,y代入椭圆方…     

圆锥曲线平行弦性质探究

文[1]给出了双曲线平行弦的两个优美性质:性质1:过双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=21|AR|·|AQ|.性质2:MN是过双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)的焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP∥MN,则|OP|2=2a|MN|.在其基础上,笔者对椭圆     

圆锥曲线中点弦问题解法探究

<正>直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一,也是高考的热点问题,这类问题一般有以下几种类型:(1)求中点弦所在的直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等,但最常用的方法为点差法和待定系数法.一、求中点弦所在直线方程问题【例1】已知一直线与椭圆x24+y22=1交于A、B     

圆锥曲线中点弦的两种求法与应用

圆锥曲线的中点弦的问题,是高考的考点,常规做法是用点差法计算.作者通过对一般情况进行推导得到中点弦所在直线的斜率的公式,利用求两圆公共弦的方法得出中点弦所在的直线的方程,这样可降低计算量,减少出错可能.     

关于圆锥曲线＂中点弦＂问题的思考——点差法的应用

本文将重点阐述在圆锥曲线中利用代点相减法、设而不求的思想来解决中点弦及相关问题。     

圆锥曲线定长弦中点的轨迹方程

本通过几个定理给出圆锥曲线定长弦的中点的轨迹方程。     

圆锥曲线中点弦方程求法新探

研究者通过对偏对称式的研究,给出圆锥曲线中点弦的一种新求法.     

巧用圆锥曲线弦中点性质解题

直线与圆锥曲线问题,一直是高中数学研究的重点所在,而作为直线与圆锥曲线中特殊的点——弦中点问题,更是为我们平常之所见.一、椭圆与双曲线的弦中点性质设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.证明（点差法）如图1,设A(x₁,     

也谈圆锥曲线相交弦定理

2006年第10期《数学教学》上有文[1],“由一个例题到圆锥曲线‘相交弦定理’的探索”,读后很受启发．经过思考,发现圆锥曲线相交弦定理是圆的相交弦定理的推广,而且是圆锥曲线的牛顿定理的特例．     

圆锥曲线与中点弦有关的一个性质

本文介绍圆锥曲线与中点弦有关的一个性质.性质1如图1,已知点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的弦MN的中点,与MN平行的直线交椭圆于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,则CD∥AB.证明:设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,C（x₃,y₃）,D(x₄,     

圆锥曲线的相交弦定理及其推广

类比圆的相交弦定理,推广得到圆锥曲线的相交弦定理,再对圆锥曲线的相交弦定理进行推广.