三角形的最小内接正三角形

1　问题的提出若△DEF的三个顶点分别在△ABC的三边上 ,图 1称△DEF是△ABC的内接三角形。如图 1 ,△DEF是△ABC的内接三角形。文 [1 ]讨论了三角形的内接正三角形的存在性问题 ,指出三角形的内接正三角形是存在的 ,并给出了一种作图方法。文 [2 ]指出任意三角形都存在无数个内接正三角形 ,给出了另一种作图方法。那么 ,一个给定的三角形的无数个内接正三角形中 ,有无边长最小的三角形 (最小内接正三角形 )呢 ?本文研究这一问题 ,给出最小内接正三角形的边长和位置。2　最小内接正三角形的边长设在△ABC中 ,∠C是最大角 ,△DEF是…     

关于一类几何不等式猜想的研究

通过剖析一个几何不等式的猜想及其一类问题的产生与最新发展，否定了涉及三角形及其内接三角形的若干猜想，同时给出三个结论更漂亮的几何不等式。     

椭圆的内接三角形的一个性质的简证及其推广

本文简单证明了椭圆内接三角形的性质：若椭圆的内接三角形的重心与椭圆中心重合．则内接三角形的面积为定值．另给出并证明的椭圆外切三角形的性质：若椭圆的外切三角形的重心与椭圆中心重合．则外切三角形的面积为定值．     

椭圆内接直角三角形的充要条件及结论推广

文[1]给出椭圆内接三角形为直角三角形的一个充要条件,读后颇受启发．本文给出椭圆内接三角形为直角三角形的又一充要条件,并将结论推广,介绍如下．     

垂足三角形的周长和面积

早在古希腊时期，海伦就发现了下面的事实：锐角三角形的垂足三角形是它的所有内接三角形中周长最小的三角形．到了近代，数学大师施瓦尔兹又利用反射给出了简洁明快的证明，使它的流传更广了．[第一段]     

三角形内外接正三角形面积的最值

用几何方法证明任意三角形最大外接正三角形所处的位置和面积,并以此来推导出三角形的最小外接正三角形的位置和面积.证明任意三角形外接正三角形和内接正三角形位置和面积的关系,给出任意三角形内接正三角形的几何作法,推导出任意三角形最小内接正三角形和最大内接正三角形的面积和对应位置.     

抛物线外切三角形的一个性质

文[1]中给出了抛物线外切三角形与内接三角形的一个美妙性质．笔者经研究，又发现了抛物线外切三角形的一个性质．     

封闭二次曲线内接多边形面积最值的推广

文[1]、文[2]分别讨论了封闭曲线（圆、椭圆）内接三角形和内接四边形面积的最大问题，笔者尝试利用琴生不等式和面积射影定理给出另证和推广，供读者参考．     

也谈“圆内接三角形是锐角三角形的概率”

2009年第5期《中学数学教学参考》（上旬）杂志刊登了张巧凤老师的《“圆内接三角形是锐角三角形的概率”的探究》一文．文中张老师利用构造法,把原问题转化为线性规划问题,得出结论：圆内接三角形是锐角三角形的概率为1、4,是钝角三角形的概率为3、4,是直角三角形的概率为0．     

用“转化”思想破解与三角形有关的问题

与三角形有关的三角问题一般包含两类，一类是给出三角形中边或角的一些关系，来研究边角的其他关系或求出某些边角的值，利用正弦定理、余弦定理等，将问题转化为“边”或转化为“角”，统一条件和结论是解决这类问题的关键；另一类是以航海、测量等为背景，考查实际问题中的长度、面积等．解决它的关键是将实际问题转化为研究某个平面图形，再对平面图形进行割补，将其转化为三角形．     

再探“圆内接三角形是锐角三角形的概率”

《中学数学教学参考》2009年第5期上旬刊刊登了张巧凤老师的“‘圆内接三角形是锐角三角形的概率’的探究”一文,文中张老师提出并解决了问题：设圆上的点是等可能分布的,作圆内接△ABC,     

椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形构造

椭圆中有关内接三角形和内接平行四边形面积的最值问题,近年在专业杂志上有过一些同行们各具匠心的研究和结论.笔者在研究2010年上海市数学高考的压轴试题时,结合过去的一些解题经验,发现了椭圆中几类相交弦斜率之积的有趣的共性结论,并由此深入,探究了有关面积最大的椭圆内接三角形和内接平行四边形的一般构造方法.本文特将笔者的探究...     

三角形内点的垂足三角形性质及应用

本文给出关于三角形内点垂足三角形的两个性质，并用之解决几道难度较大的竞赛题．     

关于“是非明点”的证明探讨兼问题③之回答

1．斯飞鸣老师在文[1]中提出“是非明点”即：在三角形内或边界上到三角形三边距离之和最小（大）的点． 文中对此进行了缜密探究，并最终圆满解决，方法别致，但颇有难度．其实，要解决这一问题并不特别复杂和困难，只需初中几何中以下简单知识即可：     

三角形的三边关系及其应用

在三角形中，“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．”这个结论在解决三角形的有关问题时，起着重要的作用．本文举例说明：     

三角形内最大的长方形

画出任意三角形的内接长方形．①怎样使长方形的面积最大？②长方形的面积与三角形的面积是什么关系？     

外接圆一定的整边三角形

在直径为整数的圆的内接三角形中,有多少三边都是整数的三角形(整边三角形),如何求出它们,是一个较困难的问题.本文通过两个引理,给出整边三角形的一种求法.引理1 若整边三角形△(a,b,c)的外接     

一个对偶问题的论证

用凸函数方法可以证明：圆的内接三角形中，面积最大的是正三角形：圆的外切三角形中，面积最小的是正三角形，称此两问题为对偶问题，由此，笔者想到猜想1、既是对偶问题，能否建立起两者的联系，从而通过一方而了解另一方?     

椭圆内接n边形的最大面积

《数学通报》87年第三期刊出了“关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积”一文,方法虽属初等,但过于繁琐,三角形与四边形的证明不能统一,更不能推广到内接n边形上来;本刊88年第10期刊出了“椭圆内接四边形最大面积的简证”一文,其中用到了导数的知识,作为用高等数学知识解决初等数学问题的一个例子,倒也值得一提,但要     

三角形的内接矩形

如果矩形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个矩形称为此三角形的内接矩形．[第一段]