有实根的二次方程与无实根的二次方程的比例

我们很容易判别一元二次方程ax~2+bx+c=0是否有实根.当判别式⊿=b~2-4ac>0时,有两个不相等的实根,当⊿=0时,有两个相等的实根;当⊿<0时,则方程没有实根。有实根的二次方程与无实根的二次方程都有无穷多     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…     

不能忽视α和△

解方程的实根问题容易忽视隐含条件,常见的有以下几种: 1.方程有两个实根时忽视a≠0 例1 当k为何值时,方程(k-1)x~2-2x+3=0有两个不相等的实数根?     

2006年湖北卷第10题的解法探究及应用

题目:关于x的方程(x~2-1)~2-|x~2-1| k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根,其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3分析:从方程的整体来看,可通过参数替换,将其转换为二次方程的结构t2-|t| k=0(令t=x2-1),但其含有绝对值,若采用分类讨论来去绝对值,再由二次方程实根分布的知识来处理,势必很烦琐,倘若考虑方程实根的几何意义,采取数形结合,便可迅速获解.图1解:令t=x2-1(t≥-1),则原方程可化为t2-|t|…     

一元二次方程根的分布问题的再探索

已知:x的方程x2+(2-k)x+3k-11=0,分别求满足下列条件的实数k的取值范围: (1)有两个大于2的实根; (2)一实根大于2,一实根小于2; (3)两实根都在(-2,4)内,一实根在(1,2)内; (4)一实根在(-4,0)内,一实根在(1,2)内. 这是一节“一元二次方程根的分布”公开课中的一道例题.最近听过几次有关“一元二次方程根的分布”的公开课,教师都是通过典型例题的分析讲解,归纳出两点: 1.解决这类问题是从函数的图像中分析出限制条件,并根据限制条件解出字母系数的范围.     

△=b~2-4ac的应用导学

△=b~2-4ac是一元二次方程ax~3 bx c=0的根的判别式,利用它可以不解方程,直接判别方程根的情况。实际上,在解题中,△=b~2-4ac的用途是相当广泛的。 1.△=b~2-4ac在“四个二次”问题中的应用 例1 已知方程(1)x~2-2kx k~2 k=O,(2)x~2-(4k 1)x 4k~2 k=0,(3)4x~2-(12k 4)x 9k~2 8k 12=0中至少有一个方程有实根,求k的取值范围。 分析 结论中“至少有一个方程有实根”的含义为:可能有一个方程有实根;可能有两个方程有实根;可能有三个方程有实根。 从分析看出,此题要用△≥0来解决。但情况复杂,解题繁琐,难以直接证明。因此,     

一元二次方程根与系数的关系探微

在实数范围内,一元二次方程ax2 bx c=0 (a≠0)有两个实根x1、x2,则x1 x2=-b/a,x1x2=c/a. 注意在实数范围内应用根与系数关系的前提条件是a≠0且△≥0.它的应用主要体现在不解方程或无法解方程的情况下,直接沟通方程系数与根之间的关系.现举例如下: 一、由根的性质求方程中未知数的值例1 已知关于x的方程2x2-mx-2m 1=0的两实根的平方和等于29/4,求m的值. 解:设方程的两实根为x1、x2则得x1 x2=m/2,     

实系数一元二次方程虚根的分布

对于实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0) (*)当△=b~2-4ac≥0时有实根,且实根的分布情况常借助抛物线y=ax~2+bx+c (a≠0)与x轴的交点来实现的。当△=b~2-4ac<0时,方程(*)无实根。由于在复数范围内,任何一个实系数一元二次方程都有两个根,因此,当△=b~2-4ac<0时,方程(*)只有两个虚根且共轭。显然,这两个虚根对应的点不在x轴上。那么虚     

一元二次方程问题错解例析

在解与一元二次方程相关的问题时 ,如果考虑问题不全面 ,思维欠缜密 ,就常常出现错误解答 .例 1　已知关于ｘ的方程 (ｍ - 1 )ｘ2 +2ｍｘ +ｍ =0有实数根 .求实数ｍ的取值范围 .错解 :∵方程 (ｍ - 1 )ｘ2 + 2ｍｘ +ｍ =0有实根 ,∴ ｍ - 1 ≠0 ,( 2ｍ) 2 - 4·(ｍ - 1 )·ｍ≥0 .解得ｍ≥0且ｍ≠1 .故所求的取值范围是ｍ≥0且ｍ≠1 .评析 :解答中忽视了两点 :一是已知条件没有肯定已知方程是二次的 ,而解答是按二次方程考虑的 ;二是方程有实根但题设没有指明有几个实根 ,因而有一个实根也应当是符合题意的 .正解 :分两种情况 :( 1 )当ｍ - …     

判别式与韦达定理

一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容 ,尤其是判别式和韦达定理的应用更是广泛 ,成为初中数学竞赛的热点 .一、基础知识1 .判别式 .设一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 ( )的判别式为Δ =ｂ2 -4ａｃ ,ｘ1、ｘ2 是方程的两个根 ,则Δ >0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ±Δ2ａ ;Δ =0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ2ａ;Δ <0 方程 ( )无实根 .2 .违达定理 .设ｘ1、ｘ2 是方程 ( )的两个根 ,则ｘ1 ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1ｘ2 =ｃａ .特别地 ,当Δ≥ 0时 ,有ａｃ>0 两根同号 ,且 ａｂ>0 ,两根为负 ;ａｂ<0 ,两根为负 .ａｃ<0 …     

神通广大的判别式

大家都知道,二次方程ax~2+bx+c=0…①的根与判别式△=b~2-4ac的关系:△>0圳①有两个不等实根;△=0圳①有两个相等实根;△<0圳①没有实根.“运用之妙,存乎一心”.判别式看似简单,实在神通广大,请看数例:例1已知ba+ca=1,求证:b2+4ac≥0.分析已知式可整理为a-b-c=0,由此可知方程ax2-bx-c=0有根x=1,所以△=(-b)2-4a(-c)≥0,即b2+4ac≥0.例2求正整数n,使28+211+2n为完全平方数.分析设x=24,原式就是x2+27·x+2n,要使它是完全平方数只要△=(27)2-4·1·2n=0,可解得n=12.例3求二次函数y=ax2+bx+c的最值.分析本题可用配方法解,也可以用判别式解决.函…     

例说韦达定理在解题中的应用

<正>韦达定理及其逆定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,它在求代数式的值,解方程(组)等方面都有着很广泛的应用.下面举例说明,供大家参考.一、求字母的值例1 已知关于x的一元二次方程x²-2(m-1)x+(m2-2(m-1)x+(m²-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α²+β2+β²=4,则m=___.解∵α,β是方程x2=4,则m=___.解∵α,β是方程x²-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m²-1,且Δ>0.     

利用一元二次方程的变形解题

一、变形1:ax2=-bx-c. 例1已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实根,则α4+3β=     

江苏卷第21题的别解

21题 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实根且f（x）=0的实根都是g（f（x））=0的实根；反之，g（f（x））=0的实根都是f（x）=0的实根．[第一段]     

一元二次方程实根范围的判定及其几何解释

如所周知,关于实系数一元二次方程Q_o:ax~2 bx c=0(a≠0)有两项重要的充要条件: 1.Q·有相异两实根△>0, Q_o有相等两实根△=0, Q_o有共轭两虚根△>0,(其中△=b~2-4ac) 2.复数x_1、x_2是方程Q_o的两根     

它山之石可攻玉——补集法解题浅析

1.问题的提出 例1 如果下列三个方程x~2 4ar-4a 3=0,x~2 (a-1)x a~2=0,x~2 2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围。 分析:正面理解题目中的关键词“至少”,可得如下三类: (1)只有一个方程有实根,有三种情形; (2)只有二个方程有实根,有三种情形; (3)二个方程都有实数根,有一种情形。 从反面,即从否定的角度理解“至少”,只有一种情形:三个方程均无实根。 从正反两方面的“并”的角度审视下,a的范围是     

隐含条件—数学中的“陷阱”

很多数学题的设计 ,将条件隐含在题目之中 ,若不注意 ,很容易忽略 ,这就给解题带来一定困难 ,甚至不能求解 ,以至掉入“陷阱”,因此 ,我们在解题中 ,必须注意挖掘隐含的条件 ,初中数学中 ,隐含条件的设置大体有以下几种情况。一、在方程中设置“隐含条件”例 1 .k为何值 ,一元二次方程 kx2 -( 2 k 2 ) x k 5= 0有实根 ?【误解】∵一元二次方程 kx2 -( 2 k 2 ) x k 5=0有实根 ,∴方程的根的判别式Δ≥ 0 ,即〔-( 2 k 2 )〕2 -4 k( k 5)≥ 0 ,解之 ,得 k≤ 13.因此 ,当 k≤ 13时 ,原方程有实根 .【分析】要使一元二次方程有实根 ,必须注意二次…     

隐含条件不可忽略

数学命题中的隐含条件常常容易被学生忽略,故而导致解题错误。 例1.已知关于x的方程mx~2-2(3m—1)x gm-1=0有两个实根,求m的范围。 错解 ∵方程有两个实根, ∴△≥0。 即△=[2(3m—1)]~2-4m(9m-1)≥0, 4(-5m 1)≥0, m≤1/5。 分析 根据方程有两个实根隐含条件:此     

警惕一元二次方程中的"陷阱"

一元二次方程知识是中考重点考查内容之一,而命题者也常常利用同学们容易混淆的概念或容易忽视的知识点精心设计“陷阱”.现归类剖析几例,望同学们引以为鉴.一、利用一元二次方程的概念设计“陷阱”例1关于x的方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实根,求k的取值范围.错解:∵原方程有两个不相等的实根,∴△=(2k+1)2-4k2>0.解得k>-14.∴k的取值范围是:k>-14.剖析:方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实根的条件是:(1)二次项系数k2≠0;(2)△>0.解题者只注意了(2),而忽视了(1),即忽视了二次项系数不为零的情况,故正确答案是:k>-14且k≠0.二、利…     

“判别式”在解题中的应用

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(其中a≠0)的判别式Δ=b~2-4ac,与方程的根,有下列关系存在: >0时,方程有两个不等的实根; Δ=b~2-4ac =0时,方程有两个相等的实根; <0时,方程没有实根。从几何意义上来看,二次函数y=ax~2+bx+c(其中a≠0)的图象是一条抛物线,也有下列关系存在: >0时,抛物线与x轴有两个交点(相交); Δ=b~2-4ac =0时,抛物线与x轴有一个交点(相切); <0时,抛物线与x轴没有交点(相离)。