谁的解法正确

题目:当k为何值时,方程(k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根?四位同学采取了如下四种不同的解法。甲的解法:∵△=[2(k+1)]2-4(k2-1)=8k+8.∴当8k+8>0,即k>-1时,方程有实数根。乙的解法:∵△=8k+8,∴当8k+8≥0,即k≥-1时,方程有实数根。丙的解法:∵△=8k+8,依题意有:k2-1≠08k+8≥0解之得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有实数根。丁的解法:分别讨论k2-1≠0与k2-1=0两种情:(1)设k2-1≠0,依题意有k2-1≠08k+8≥0解得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有两个实数根;(2)当k=1时,原方程为4x+1=0,有一个实数根;(3)当k=-1时,原方程为0·x+1=0,方程…     

错在哪里

1。湖北十堰市第十三中学数学组来稿 题:实数a为何值时,方程(x一2),”a(x一1)。有实数解,并求出其解。 解法一:原方程化为(x一2)艺“a① 山△少O,布计a夕引讨,原方程几fJ’实数解。其解是二二2土、a。 有错!因当“二州J’,出现了增根x二l。解法二:原方程有实数解的充要条件是:△>0且a寺1。即当a》0日.a等1时,原方程有实数解。其解是x二2士v一厅。 有错!因当a=1时,原方程有解x=3。 正确解法:由△>O得a》0,由x专1得a今1。但当a=1时,原方程有解“=3。所以原方程有实数解的条件是a》O。其解为: 当a>0且a午1时,x二2士了a, 当a=1时,况二3。 2.江…     

一元二次方程解法的分析

<正>初中数学学习中,一元二次方程解法是重要内容,通过此部分内容的学习可以为后期解答难度较大的方程类型问题奠定基础．因此,同学们一定要重视一元二次方程解法的学习,掌握一般与特殊一元二次方程的解法,从中提炼解题思想,锤炼同学们数学思维．一、一般一元二次方程的解法(一)公式法利用公式法可以解答所有的一元二次方程,可先将一元二次方程转化为一般式,即ax²+bx+c=0,然后根据判别式Δ=b²-4ac与0的关系确定一元二次方程的根的情况．如果Δ>0,则方程有两个不相等的实数根;如果Δ=0,则方程有两个相等的实数根;如果Δ<0,则方程无实数根．     

方程近似解法与实数完备性

实数完备性是指:基本数列(Cauchy列)收敛。更进一步,[a,b]中的基本列在[a,b]中收敛。实数这个特性,在方程近似解法中有广泛地应用。     

一道中考题的多种解法

2003年盐城市中考数学试卷中有这样一道试题: 已知:关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0 (1)求证:无论m取什么实数,方程总有实数根; (2)如果方程的两个实数根x1、x2满足x1=3x2,求实数m. 这是一道考查学生对一元二次方程根的判别式,配方法,非负数的性质、一元二次方程的根与系数关系、分类讨论思想、方程思想等等掌握情况的好题,它很受考生的欢迎.其解法灵活、多样,有助于学生数学能力的提高.现举其几种解法如下,仅供大家参考.     

子域上矩阵方程的解法及其应用

研究实数域的任一子域上的矩阵方程的求解问题．给出了它的相容条件及相容方程的解法,给出了它在矩阵分解理论与多项式理论上的应用．     

一类特殊方程的无解性的判别法

中学代数中,有些较为特殊的方程,在实数范围内无解,若依照一般解法,不但演算过程复杂,而且很难判定它们在实数范围内是否无解。本文试图给出这类无解方程的两个判定定理,可以简化解题过程,省时省力。定理1:若方程f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0无实数根,则方程f(x)=0无实数根。(其中f(x),g(x),f_1(y)均为代数函数,下面定理2假设相同。)。证明:设f(x)=0有实数根x_0,则有: f_1[g(x_0)]=0。令 y_0=g(x_0),则f_1(y_0)=0 即y_0是方程f_1(y)=0的实数根,与题设相矛盾。从而方程f(x)=0无实数根。定理2:若f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0有实数根y_1,y_2,…,y_n,但对于每一个y_i(1≤i≤n),方程g(x)=y_i都无实数根,则方程f(x)=0无实根。     

2003年一道中考题的多种解法

20 0 3年江苏省盐城市中考数学试卷中有这样一道试题 :已知关于x的方程x2 + 2 ( 2 -m)x + 3- 6m =0 .( 1 )求证 :无论m取什么实数 ,方程总有实数根 ;( 2 )如果方程的两个实数根x1、x2 满足x1=3x2 ,求实数m .这是一道考查学生一元二次方程根的判别式、配方法、非负数性质、一元二次方程的根与系数关系以及方程思想、分类讨论思想水平的好题 .其解法灵活多样 ,有助于学生数学能力的提高 .( 1 )证法一 :由Δ =4 ( 2 -m) 2 - 4( 3- 6m)=1 6 - 1 6m + 4m2 - 1 2 + 2 4m=4m2 + 8m + 4=4 (m + 1 ) 2≥ 0 ,可知无论m取何实数 ,方程必有实数根 .说明 …     

上期《你会解答吗?》参考解答

初一年级1．解法一原方程可变形为则原方程的解是则任何实数都是原方程的解．解法二原方程可变形为则原方程的解是则任何实数都是原方程的解．2.方程组中的第2个方程可变形为由已知条件可知y－3≥0解法一设，则解之，得若y－3＜0，即y＜3，则原方程组无意义，从而无解．解法二先去掉绝对值符号，转化为一般的二元一次方程组来求解．若X＞5，y＞3，则原方程组变形为rs一卫5，MAt，fly＼卜一5．若x＜5，y＞3，则原方程组变形为若y＜s，则原方程组无意义．从而无解．3．由已知条件可知．方程组的解是原方程组的解．解此方程组，得（4由已知可…     

一元二次方程根的判别式的应用

众所周知,实系数一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的判别式是:Δ=b~2-4ac,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根。对于以上的结论,在代数、几何、三角的解题中都有广泛的应用。如果我们经常注意这类问题的解法,并在课堂上广为介绍,则有利于数学知识的相互沟通,还有利于理论联系实际,更有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。兹将一元二次方程根的判别式的应用,整理归纳如下,以供同志们参考。 1.用于讨论方程的根的性质     

例谈《利用二分法求方程的近似解》

求方程的近似实数解在实际应用中具有重要的意义,根据实际问题列出的方程多种多样,或是高次方程,或是超越方程,它们往往没有公式解法。由于实际问题对解的需求并不是严格的精确,而是满足一定的精确度即可。     

剖析复数运算的常见错误

复数是数的概念的一次扩展,伴随着复数的引入,产生了一些新的概念和运算法则,但是由于中学主要是在实数范围内学习数学,对实数的有关法则比较熟悉,从而在解有关复数方程时,往往与在实数集中解方程的有关方法相混淆而导致一些错误解法,现举例如下:     

深思出妙解

对某些问题如果从不同的角度来思考,会获得不同的解法．如88年吉林省的一道方程考题就有如下4种巧妙的解法．（88吉林）已知方程（x－l）（x－2）二k‘,儿为实数且k／0．证明：方程一根大于1,另一根小于1．分析（放缩法）由一元二次方程的求根公式,可求得方程的两根（面是关于字母k的代数式）．然后根据力的取值范围,对已进行适当的放大或缩小,使得放缩后的值为1．证法1原方程化成一般式,得xZ－3x＋2kZ＝0．西二9－“2－k）‘＝1＋4尸＞0．方程有两个不相等的实数根分析2（主无法）若把（X－1）视为一整体（主元）,即可得到关于（…     

一类无理方程解的讨论

中学代数中所研究的无理方程,主要是在实数集合范围内仅含有限个二次无理式的无理方程.其解法是通过移项,把方程的两边同时平方,从而把无理方程变形为有理方程来解.这种解法依据如下定理:定理如果 f(x)和 g(x)都是关于 x 的代数式,那么方程f~2(x)=g~2(x)是方程f(x)=g(x)的结果.     

一元二次方程根的分布问题例析

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且一个大于m,一个小于m,这是一元二次方程根的分布典型问题.本文就这一类问题的常规解法举例分析. 一、直接利用方程的根讨论     

一类圆锥曲线交点问题的常用解法

一类圆锥曲线交点问题的常用解法贵州省贵阳市汇文中学杨宝剑求两条曲线的交点．就是求这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解．这类问题的难点在于方程含参数时判断交点的个数和有交点的条件．对直线和圆锥曲线来说，直接利用方程组消元后所得一元二次方程根的判别式即...     

一元二次方程图象解法教学的一点做法

现行新编初中代数第四册中一元二次方程的图象解法(选学内容)一节,利用图象求方程x~2-2x-2=0的实数根,教科书上给出两种解法。其中第二种解法比较简便,但当遇到交点的纵坐标的绝对值比较大时,在作图的技术上带来一定的困难,怎样解决这些问题呢?我在教学中作了如下处理。在介绍了第二种解法后,向学生指出,利用二次函数的图象解一元二次方程的方法是很多的,要灵活运用。如将原方程     

解题时的思路走向

要点回顾1.数与式中实数、整式、分式、二次根式等知识的概念、性质、公式、法则等.2.方程(组)与不等式(组)中的定义、解法,以及方程(组)与不等式(组)解决实际问题.     

一类方程的简捷解法

经检验知原方程的根是x,。,1。 实数集内的方程J-兀可石不万士了了币万创.了武二)+h(,)士了g(二)④按常规解法要平方多次.运算过程繁复.为此,本文给出一种异常简捷的解法。其依据是 定理方程④的实根必是方程 h(二)[j(劣)一夕(劣)l=o⑧的实根。 证明:设劣。是方程④的任意实数根,则 Jj(劣。)+h(戈。)干护夕(x。) ,了厌瓦拜丽动干了五瓦万。两边平方整理可得 了[f(x。)+h(二。)]g(劣。) =护[夕(劣。)+h(劣。)]f(x。)].再平方整理可得 h(二。)[I(劣。)一夕(二。)]二O。 气又是方程⑧的实数根. 该定理简单易记,使用方便.由它得到解方程④的方…     

判别式的用处大

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac有下列性质:△＞0j方程有两个不相等的实数根;△=0(→)方程有两个相等的实数根;△＜0(→)方程没有实数根.这些性质反过来也成立,方程有两个不相等的实数根(→)△＞0;方程有两个相等的实数根(→)△=0;方程没有实数根(→)△＜0. 灵活运用根的判别式,可以解决有关一元二次方程的问题.现举几例说明.