例谈巧用三角代换解题的策略

一些代数问题,直接求解运算量大,难以奏效.但如果恰当进行三角代换,配之以众多三角公式,常能化难为易,顺利求解.下面按题型分别举例说明.一、证明不等式例1(2000年希望杯试题)已知a>b>c,求证:1a-b+1b-c+4c-a≥0.证明:∵a>b>c,∴a-b,b-c,a-c均为正数,又因a-b+b-c=a-c,故可设a-b=(a-c).cos2α,b-c=(a-c).sin2α,(0<α<π2)代入原不等式,即有sec2α+csc2α-4≥2+tan2α+cot2α≥4显然成立.故原不等式成立.例2设a,b∈R+,求证:a3b+b3a≥12(a+b)2.证明:设a+b=m,则可令a=m.cos2α,b=m.sin2α,α∈(0,π2)则原不等式等价于cos6αsin2α+sin6αcos2…     

巧用换元法 解题建奇功

一、代数增量换元例1 若a>b>c求证:(1/(a-b))+(1/(b-c))≥(4/(a-c)) 分析:若各字母间有明确的大小关系,可设它们的差为一个数,从而把实数问题转化为正实数问题. 证明:设a-b=m,b-c=n(m、n∈R),则a-c=m+n. 问题转化为证明:1/m+1/n≥4/(m+n).     

绝对值化简与求值例说

根据绝对值的定义,当a为有理数时,｜a｜=a(a>0),0(a=0),-a(a<0).!####"####$下面举例说明利用这一概念化简含有绝对值符号的式子与求值问题.例1三个数a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简｜b｜-｜c｜+｜a+b｜+｜a-c｜.解:由图可知a>0,b<0,c<0,a+b<0,a-c>0.故｜b｜=-b,｜c｜=-c,｜a+b｜=-(a+b)=-a-b,｜a-c｜=a-c.原式=-b-(-c)-a-b+a-c=-2b.评析:根据绝对值和数轴的直观性,分别找出绝对值里面有关量的变化情况,然后再回到非负数的性质与定义上.例2使｜a+2｜=｜a｜+2成立的条件是().(A)a为任意实数(B)a≠0(C)a≤0(D)a≥0解:按｜a｜≥0的性质,…     

一道课本习题的深化及应用

高中代数必修本下册 P33第9题是已知 a>b>c,求证:1/a-b+1/b-c+1/c-a>0证明:1/a-b+1/b-c+1/c-a=-a~2-b~2-c~2+ab+bc+ca/(a-b)(b-c)(c-a)=-[(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2]/2(a-b)(b-c)(c-a)     

△巧引妙连 再创佳绩

本刊1993年7—8期“贵多思,勤总结”一文,对题目:“已知(c-a)~2-4(a-b)(b-c)=0,求证:2b=a+c”给出了五种解法.作为前文的补充,这里再给出两种解法. 解法1 已知等式可化为(a-b)(b-c)=((c-a)~2)/4.①因为(a-b)+(b-c)=a-c,设a-b=(a-c)/2+t,则     

y=ax~2+bx+c 中的 a、b、c

一、y=ax~2+bx+c中a、b、c的几何意义 1.抛物线开口向上,则(a>0,抛物线开口向下,则a<0;2.抛物线与y轴交于x轴上方,则c>O,与y轴交于x轴下方,则c<0.3。抛物线的对称轴位于y轴左侧,则a、b同号,对称轴位于y轴右侧,则a、b异号。例1 二次函数y=ax~2+bx+c图象如图所示,试决定a、b、c符号。解∵抛物线开口向上,∴a>0,抛物线与y轴交于x轴上方,∴c>0,又对称轴位于y轴左侧,故a、b同号,由于a>0,∴b>0,∴a>0,b>0,c>0。     

Cauchy不等式的另一个较简证明

本刊86年第2期《Cauchy不等式的一个较简证明》一文先利用拉格朗日中值定理证明了一个辅助不等式(a-b)/ab>0),然后借助它证明Cauchy不等式(均值不等式)。本文对此证法作一点改进。     

例说和差代换求值

对于任意两个实数x和y,总有:x=x+y2+x-y2,y=x+y2-x-y2.若令a=x+y2,b=x-y2.则有x=a+b,y=a-b.这种代换称之为和差代换.下面谈谈这种代换在求值中的应用.一、求分式值例1已知a2+b2=6ab且a>b>0,则a+ba-b=.(2001年北京市初二数学竞赛复赛题)解设a=x+y,b=x-y,同时代入a2+b2=6ab中,得(x+y)2+(x-y)2=6(x+y)(x-y),化简整理,得x2=2y2,而a>b>0,所以x>y>0,故x2y2=2,xy=2.又知a+b=2x,a-b=2y,∴a+ba-b=2x2y=xy=2.二、求根式值例2计算14+65-14-65的值是()(A)1(B)5(C)25(D)5(2000年全国数学联赛题)解设14+65=a+b,①14-65=a-b.②①×②,得a2-b2=4.③①2+②2…     

两个题的简捷解法

在中学数学中,有相当一部分题目,若按一般方法和规律解答,繁琐冗长,若能根据题目的全部特征,灵活地运用某些特殊方法解答,则较简捷,现举二例如下。例1.已知a>0,b>0,a+b=1求证: (a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2。证明:∵a>0,b>0,a+b=1, 设a=1/2+δ,b=1/2-δ,-1/2≤δ≤1/2, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2=(1/2+δ+1/(1/2+δ))~2     

错在哪里

题目已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a 2+b 2+c 2=3,则c的取值范围是.解答∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,又∵a 2+b 2+c 2=3,∴a 2+b 2=3-c 2.根据均值不等式a+b 2≤a 2+b 22得1-c 2≤3-c 22,且该均值不等式成立的条件:a、b∈R,等号成立条件:a=0,b≥0或a≥0,b=0或a=b>0.解不等式1-c 2≤3-c 22得:1-c≤0,3-c 2≥0,或1-c>0,3-c 2≥0,()2≤3-c 22,∴1≤c≤3或-1≤c<1,综上可得:-1≤c≤3.