巧解一类复合最值题

若x₁,x₂,…,x_n（n∈N*）为正实数,则max{x₁,x₂,…,x_n}≥（x₁+x₂+…+x_n）/n≥（x_·x₂·…·x_n）^1/2≥min{x₁,x₂,…,x_n},当且仅当x₁=x₂=…=x_n时等号成立.这是一个浅显的结论,用它来解一些复合最值     

多条妙计智取解几压轴题

题目已知曲线C_n:x²-2nx+y²=0（n=1,2,…）.从点P（-1,0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n>0）的切线l_n,切点为P_n（x_n,y_n）.（1）求数列{x_n}与{y_n}的通项公式;（2）证明:x₁·x₃·x₅·…·x_2n-1<（（1-x_n）/（1+x_n））^1/2<2^1/2sinx_n/y_n.     

巧用方差公式解题

<正>方差公式是初中“数据的分析”一章中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,对于其他的一些数学问题,若能充分利用方差公式特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,我们就会取得意想不到的解题之效.方差公式 设n个数据x₁,x₂,…,x_n,■表示它们的平均数,则x₁,x₂,…,x_n的方差■显然S²≥0,当且仅当■时取等号.     

妙用方差解竞赛题

一组数据:x₁,x₂,x₃,…,x_n的方差公式可化为s²=1/n[（x²₁+x²₂+x²₃+…+x²_n）-     

二次函数的对称点式的求法应用

用待定系数法求二次函数解析式时,根据条件特点通常选用一般式y=ax²+bx+c或顶点式y=a（x-h）²+k或两根式y=a（x-x₁）（x-x₂）.当条件中有抛物线上的两个对称点（x₁,m）、（x₂,m）时,可设解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）+m.这就是二次函数的对称点式,易知,当m =0时,对称点式就变成为两根式.     

代数式求值的三把利器

先看这样一道题:已知x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两个根,求代数式（x₁²+2x₁-1）（x₂²+2x₂-1）的值.大多数同学采用以下方法进行的:原式=（x₁x₂）²+2x₁²x₂-x₁²+2x₁x₂²+4x₁x₂-2x₁-x₂²-2x₂+1=（x₁x₂）²+2x₁x₂（x₁+x₂）-（x₁+x₂）²+6x₁x₂-2（x₁+x₂）+1.再以x₁+x₂=-1,x₁x₂=-1代入,计算出结果为-1.由于上述变形较繁,容易出现失误.实际上,本题可利用方程根的定义轻松解决:因为x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两     

对第二个猜想不等式的再推广

文[1]末提出三个猜想不等式,其中第二个为:若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,则a/（b+c）+文[2]通过"构造函数,化曲为直"的方法,对①式给予了证明之后,将它推广为:若x₁,x₂,…,x_n是满足x₁+x₂+…+x_n=1的正数,则文[3]通过"构造函数,判断函数在区间上的凹凸性,再利用琴生不等式"的方法,先对①式给予了证明,然后把它推广到一般情形:若x₁,x₂,…,x_n是满足x₁+x₂+…+x_n=A的正     

数学奥林匹克问题

<正>本期问题高769设整数n≥3,a₁,a₂,…,a_n均为非负实数,x₁,x₂,…,x_n均为正实数.若a₁+a₂+…+a_n=x₁+x₂+…+x_n=1,求最大的常数C,使得a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n+Cx₁x₂…x_n≤1恒成立.高770如图1,△ABC内接于⊙O,AD为⊙O的直径,E为BC上一点,点D关于E的对称点为K.过点C、D、E的圆与OC交于点F,DF交AC于点P,PK分别交AB、BC于点Q、T,过点A、P、Q的圆与⊙O的第二个交点为S.证明:S、K、E、T四点共圆.     

由错位相减法求和引发的思考

引例求S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1.解析（法一）显然,a_n=n·2^n-1为等差乘等比型数列,可选择采用错位相减法.S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1,2S_n=1·2¹+2·2⁺+…+（n-1）·2^n-1+n·2ⁿ,则-S_n=(2⁰+2¹+2²+…+2^n-1)-n·2ⁿ=2ⁿ-1-n·2ⁿ,即S_n=（n-1）·2ⁿ+1.（法二）注意到a_n=n·x^n-1型以及（x_n）′=n·x^n-1,可选择以导数为工具,采用构造函数法.令f（x）=1·x⁰+2·x¹+3·x²+…+n·x^n-1,不难观察到,（x_n）′=n·x^n-1,所以f（x）=（x+x²+x³+…+xⁿ）′=((xⁿ⁺¹-x)/（x-1）)′=(n·xⁿ⁺¹-（n+1）xⁿ+1))/（（x-1）²）     

关于本刊“数学问题与解答”的几例探讨

贵刊"数学问题与解答"栏目中的数学问题,很多题目的难度与奥数题相当,且其解题方法新颖、构思巧妙,笔者读后深受启发.但其中不等式证明的一些题目,若应用AM—GM不等式或幂平均不等式等常规方法,可以获得另外的解答.请见以下各例.例1（2011年第2期《数学教学》865题）已知x₁,x₂,…,x_n为小于1的正数,且x₁+x₂+…+x_n=1,求证:     

对2011年高考山东卷理科22(Ⅰ)题的研究

题目已知直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+₂²和y₁²+y₂²为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D、E、G使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=(6^1/2/2)?若存     

变化中寻不变 探究中求推广

2011年北京大学自主招生考试试题中有这样一道题:题目已知（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃）是圆x²+y²=1上的三点,且满足x₁+x₂+x₃=0,y₁+y₂+y₃=0.证明:x₁²+x₂²+x₃²=y₁²+y₂²+y₃²=3/2.文[1]通过转化思想将本题转化为三角等     

探析弦长公式在“共线‘弦长’比”问题中的“另类”应用——兼谈弦长公式中弦长的本质和误区

我们知道,公式|AB|=1+k²（1/1+k²）|x₂-x₁|（或|AB|=1+1/k²（1/1+k²/1）|y₂-y₁|（k≠0））是是解析几何中,当斜率为k的直线与圆锥曲线相交时,用来求弦长的公式（其中x₁,x₂（或y₁,y₂）分别是两交点的横（纵）坐标）.然而,弦长公式只能用来求弦长吗?笔者在高三复习教学中发现,大多数学生只有在求直     

一道高考压轴题的解法赏析

<正>2012全国卷理科第22题已知函数f（x）=x²-2x-3,定义数列{xn}如下:x₁=2,x_n+1是过两点P（4,5）,Q_n（x_n,f（x_n））的直线PQ_n与x轴的交点的横坐标.（1）证明:2≤x_nn+1<3;（2）求数列{x_n}的通项公式.     

不等式的恒成立、有解、无解

题目（见2010年山东卷（理）22题）已知函数f（x）=1nx-ax+（1-a）/x-1,g（x）=x²-2bx+4,当a=1/4时,若对任意x₁∈（0,2）,存在x₂∈[1,2],使f（x₁）≥g（x₂）,求实数b的取值范围.     

不识庐山真面目 只缘身在此山中——一道好题的本质探究

一道好的数学题并不在于有多么难,而是能够充分考查解题者对数学问题本质的理解,更应该是可以成为数学探究活动的好题材,本文拟介绍这样一道好题.1.原题已知圆C₁:x²+y²=17和圆C₂:（x-2）²+（y-2）²=5的一个交点是P（1,4）,求过点P的直线l,使l被两个圆截得的弦长相等.2.原题解答2.1用代数方法求解解法1:易知直线l的斜率k存在,因此设直线l的方程为y-4=k（x-1）,即kx-y+4-k=0.设直线l与圆C₁的交点为P₁（x₁,y₁）、P₂（x₂,y₂）,直线l与圆C₂的交点     

一类不定方程整数解问题的求解策略

<正>1．基本问题的求解模型 问题n元一次不定方程x₁+x₂+…+x_n=m(m≥n≥2)的正整数解(x₁,x₂,…,x_n)的组数是多少？该问题可以用“隔板法”来解决,即构造模型：将m个相同的小球排成一排,产生m-1个空隙,用n-1个隔板插在某n-1个空隙中,将这m个小球分成n份,第i份的个数即xi的值,这样就得到一组     

从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题

题目（2011年高考山东省理科第22题）已知动直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两个不同点,且△OPQ的面积S△OpQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;     

一道椭圆考题的反思与探究

2011年山东理科卷第22题的第（1）问:直线l与椭圆x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）两点,△OPQ的面积是6^1/2,证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值.本题从两个动点出发,基于三角形面积的不变性,证明与动点有关的两个定值.行文简洁,引入深思.常规解法主要涉及直线方程、弦     

由一道文科高考压轴题引出三次函数的一个性质

2010年高考湖北卷文科压轴题第21题:设函数f（x）=1/3x³-a/2x²+bx+c,其中a>0.曲线y=f（x）在点P（0,f0）)处的切线方程为y=1.（1）确定b,c的值;（2）设曲线y=f（x）在点（x₁,f（x₁））及（x₂,f（x₂））处的切线都过点（0,2）.证明:当x₁≠x₂时,f’（x₁）≠f’（x₂）;（3）略.本题第（2）问命题组提供的答案是: