利用隐含条件解题

在许多数学题目中,都有一些条件隐含在题意中没有明确给出,这些条件就是所谓的隐含条件.而利用这些隐含条件,可以简捷地解题.下面通过几个例子加以说明.例1下列四式中与（a-3）（1/（3-a））^1/2相等的是A.（a-3）^1/2 B.-（a-3）^1/2C.（3-a）⁽1/2 D.-（3-a）^1/2分析此题的隐含条件是3-a>0,故（a-3）（1/（3-a））^1/2=（a-3）（（3-a）/（3-a）²）^1/2=（a-3）/（3-a）（3-a）^1/2=-（3-a）^1/2.故选D.例2已知实数a满足|2009-a|+（a-2010）^1/2=a,那么a-2009²的值是_<sub><sub><sub><sub>.分析此题的隐含条件是a-2010≥0,即a≥2010.故|2009-a|+（a-2010）^1/2=a可化     

对一道江苏高考题的思维历程

考题（2012年全国高考江苏卷理科第19题）:如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点分别为点F₁（-c,0）、F₂（c,0）.已知（1,e）和(e,(3^1/2)/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.     

两道IMO试题探秘

题1设x,y,z为非负实数,且x+y+z =1,则0≤xy+yz+zx-2xyz≤7/（27）.（第25届IMO）题2正实数a,b,c的和为1,求证:（ab）^5/4+（bc）^5/4+（ca）^5/4<1/4.（04年IMO中国国家队培训题）这两道题的形式、结构及其中的指数都不相同,从表面上看没有联系,然而,在本质上这两道题联系紧密.为了挖掘这两道题深层的联系,不妨先加强或推广这两道题.     

对一道暑假作业题的发散思考

<正>近日闲暇,翻看八年级暑假作业,在发现规律框题中见到一题,经探究有一些心得.原题设α+β=1,αβ=-1.设S_1=α+β,S_2=α²+β2+β²,S_3=α2,S_3=α³+β3+β³,…,S_n=α3,…,S_n=αⁿ+βn+βⁿ.(1)试确定S_2=______,S_3=______,S_4=_____;(2)通过观察,归纳,推断     

多视角解答一道高考最值题

高考原题（2011年高考浙江理科卷第16题）设x,y为实数,若4x²+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_<sub><sub><sub><sub><sub>,难度系数0.78利用重要不等式求最大值解法1∵1=4x²+y²+xy≥2·2xy+xy=5xy,∴xy≤1/5.令t=2x+y,则t²=（2x+y）²=4x²+y²+4xy=1-xy+4xy=1+3xy≤1+3/5=5/8,所以2x+y的最大值是2(10^1/10).     

对一道倍受争论概率题答案的再认识

先看人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3,第59页习题2.2,B组第一题:甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?教师教学用书给出了这样的解答:每局比赛只有两个结果,甲获胜或乙获胜,每局比赛可以看成相互独立的,所以甲获胜的局数X是随机变量,X服从二项分布.（1）在采用3局2胜制中,X^B（3,0.6）,事件{z≥2}表示"甲获胜".所以甲获胜的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=C₃²×0.6²×0.4+0.6³=0.648.（2）在采用5局3胜制中,X^B（5,0.6）,事件{X≥6}表示"甲获胜",所以甲获胜的概率为P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=C₅³×0.6³×0.4²+C₅⁴0.6⁴×0.4+0.6⁵=0.68256.可以看出在采用5局3胜制对甲更有利.长期以来,这个答案在教师与学生中引起了很大的争     

一道与正方形有关竞赛题的变式探究

<正>题目如图1,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为().A.((10)^(1/2))/2B.((17)(1/2))/2B.((17)^(1/2))/2C.((17)(1/2))/2C.((17)^(1/2))/3D. (2(10)(1/2))/3D. (2(10)^(1/2))/3本题是2011年北京市初二数学竞赛中的一道选择题,笔者曾在文[1]对本题的解法及变式进行了一定的研究,在不改变基本图形的条件下,只改变线段MN的构图方式,得到了一些有趣的变式.近期     

2012年高考数学四川理科卷第12题的再探究

2012年四川高考理科数学卷第12题是:设f（x）=2x-cosx,{a_n}是公差为π/8的等差数列,f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π,则[f（a₃）]²-a₁a₅=A.0 B.1/16π2 C.1/8π² D.13/16π²文[1]从不同角度给出了该题三种不同的解法,一解更比一解妙.在文[1]中李真福先生提到"因为下面的‘解法1’,所以众多师生认为该道高考题有超‘纲’（即高考考试大纲）和超‘标’（即高中数学课程标准）两重嫌疑,是一道劣质题.其根据是按高考考试大纲和高中数     

由错位相减法求和引发的思考

引例求S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1.解析（法一）显然,a_n=n·2^n-1为等差乘等比型数列,可选择采用错位相减法.S_n=1·2⁰+2·2¹+3·2²+…+n·2^n-1,2S_n=1·2¹+2·2⁺+…+（n-1）·2^n-1+n·2ⁿ,则-S_n=(2⁰+2¹+2²+…+2^n-1)-n·2ⁿ=2ⁿ-1-n·2ⁿ,即S_n=（n-1）·2ⁿ+1.（法二）注意到a_n=n·x^n-1型以及（x_n）′=n·x^n-1,可选择以导数为工具,采用构造函数法.令f（x）=1·x⁰+2·x¹+3·x²+…+n·x^n-1,不难观察到,（x_n）′=n·x^n-1,所以f（x）=（x+x²+x³+…+xⁿ）′=((xⁿ⁺¹-x)/（x-1）)′=(n·xⁿ⁺¹-（n+1）xⁿ+1))/（（x-1）²）     

一道竞赛题的再推广

原题（2011年全国高中数学联合竞赛一试试题第11题）作斜率为1/3直线l与椭圆C:x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且P(3 2^1/2,2^1/2在直线l的左上方.（1）证明:ΔPAB的内切圆的圆心在一条直线上;（2）略.文[1]将（1）的结论推广到一般情形:     

“对几个猜测的回答”的质疑

《中小学数学》初中版2012年第5期刊登了北师大王世强教授的文章:对几个猜测的回答.笔者对王教授的钻研精神深表敬佩,但细细分析发现,该文的结论值得质疑.王教授证明了,n^1/2+（n+1）^1/2+（n+2）^1/2+（n+3）^1/2、n^1/3+（n+1）^1/3、n^1/3+（n+1）^1/3+（n+2）^1/3等为超越数,本文予以否定.实际上,这些数都是代数数..在代数数理论中有下面的定理:两个代数数的和是代数数.证明:设α和β是代数数,它们分别是有理系数     

一道椭圆考题的反思与探究

2011年山东理科卷第22题的第（1）问:直线l与椭圆x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）两点,△OPQ的面积是6^1/2,证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值.本题从两个动点出发,基于三角形面积的不变性,证明与动点有关的两个定值.行文简洁,引入深思.常规解法主要涉及直线方程、弦     

2011爱沙尼亚国家队选拔题简证及推广

2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a²+b²=9c²,证明:（2c）/a+c/b≥3^1/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a²+b²     

从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题

题目（2011年高考山东省理科第22题）已知动直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两个不同点,且△OPQ的面积S△OpQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;     

08年高考数学模拟试题(5)

一、选择题1.若α,β∈（0,π/2）,cos（α-β/2）=3^1/2/2,sin（α/2-β）=-1/2,则cos（α+β）的值等于（） A)-3^1/2/2.（B）-1/2.（C）1/2.（D）3^1/2/2.2.如果复数（m²+i）（1+mi）是实数,则实数m=（） （A）1.（B）-1.（C）2^1/2.（D）-2^1/2.3.已知向量OA^→:（1,-3）,OB= （2,-1）,OC=（m+1,m-2）.若点A、B、C能构成三角形,这实数m应满足的条件是（） （A）m≠-2.（B）m≠1/2.（C）m≠1.（D）m≠-1.4.设有三个函数,记第一个为y=f（x）,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数关于直线y=-x对称,则第三个函数是（）     

第十五讲 代数式(之4)

（4）两个自然数公式的导出下面我们再介绍与S₁相关的另外两个公式:1²+2²+3²+…+n²=（n（n+1）（2n+1））/6 1³+2³+3³+…+n³=[n（n+1）/2]²这就是从1开始的n个自然数的平方和.从1开始的n个自然数的立方和.将它们依次记作S₂,S₃.     

对一道解析几何高考题的探究

例题（2009年高考山东理科卷第22题）设椭圆E:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a,b>0）过M(2,2^1/2),N(6^1/6,1)两点,O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆E的方程.（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且（?）⊥     

坐标式三角形面积公式及其应用

<正>高考题1(2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上O,A,B三点不共线,设OA→=a,OB→=b,则△OAB的面积等于()A.(a²*b2*b²-(a·b)2-(a·b)²)2)^(1/2)B.(a(1/2)B.(a²b2b²+(a·b)2+(a·b)²)2)^(1/2)C.1/2(a(1/2)C.1/2(a²b2b²-(a·b)2-(a·b)²)1/2D.1/2((a2)1/2D.1/2((a²*b2*b²+(a·b)2+(a·b)²)1/2答案:C.这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式:定理1若三点O,A,B不共线,则S_(△OAB)=1/2     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y     

一道考题的多解及反思

<正>在一次单元测试中考查了一道这样的题目:已知sinα+cosα=(1-3^(1/2))/2,且0<α<π,则tanα的值为()(A)-3(1/2))/2,且0<α<π,则tanα的值为()(A)-3^(1/2)/3(B)-3(1/2)/3(B)-3^(1/2)(C)3(1/2)(C)3^(1/2)/3(D)3(1/2)/3(D)3^(1/2)本题短小精炼,难度适中,多数学生可以做出正确答案.但讲解过后却感觉意犹未尽,于是尝试从三角函数的角度多种方法解答本题,不料却发现解法众多,且各有所长,各有侧重.以下解法可见一斑.