塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法

平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法. 现将两个定理叙述如下: 塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则 AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1) 梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则 AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2) 为了证明定理,先给出一个简单的引理: 若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1.     

共三面角的棱锥体积比例定理及其应用

本文提出的定理如下: 定理 平面α、β截顶点为S的三面角得两个三棱锥S—ABC与S—A_1B_1C_1,它们的体积分别为V和V_1,则V/V_1=(SA·SB·SC)/(SA_1·SB_1·SC_1)。     

Steiner定理及其逆定理与四道几何赛题的新证

Steiner定理[1]设D,E是△ABC的边BC上两点,且∠BAD=∠CAE.则有AB2=B-DD·BE.其逆命题也成立,即有 Steiner定理的逆定理设D,E是△ABC的边BC上的两点,若有AB2/AC2=BD·BE/CD·CE,则∠BAD=∠CAE.     

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数

一、梅涅劳斯（Menelaus）定理简介 如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点,则：AM/MB·BN/NC·CK/KA=1。     

梅涅劳斯定理的推广

本文对平面几何中著名的梅涅劳斯定理进行剖析,然后作出推广。定理一(梅涅劳斯定理)一直线l分别截△ABC的三边(或边的延长线)AB、BC、CA于D、E、F.则AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在许多教科书里的介绍中,都是直线l与△ABC的两条边相交,与第三边的延长线相交.其实,若直线l与三角形三条边都不相交,其结论仍是成立的。     

巧用托勒密定理求值域例说

托勒密定理是几何中的著名定理.本文通过托勒密定理揭示—类函数的特殊性质,从而给出其值域的一种巧妙的求法.函数f(x)=aA(x) bB(x),(a≥b≥0,A(x)≥0,B(x)≥0)的定义域.为D,A~2(x) B~2(x)=d~2,(d>0为定值),那么,以AC=d为直径作圆O,如图,令AB=A(x),BC=B(x),CD=a/(a~2 b~2)~(1/2)·d=kd,DA=b/(a~2 b~2)~(1/2)·d=hd.则四边形ABCD内接于圆O,且f(x)=(a~2 b~2)~(1/2)·(AB·CD BC·DA)/d     

梅涅劳斯(Menelaus)定理的十种证明

<正>梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要作用,其具体内容为:设直线l分别与△ABC的三边(或边的延长线)相交于点D、E、F,则有AF/FB·BD/DC·CE/EA=1.直线l与三角形的三边相交,有两种情形:(1)其中两个交点在边上,一个交点在边的延长线上,如图1;(2)三个交点均在边的延长线上,如图2.     

“a·b=c·d±e·f”型命题的三角证法

在平面几何中,求证线段等式a·b=c·d±e·f一类命题,是比较繁难的问题之一。本刊84年第1期发表的《“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法》。介绍了这类命题的几何证法,本文谈谈这类命题的三角证法。这类几何命题,可用正弦定理证明,也可用余弦定理证明。设a、b、c、d、e、f都是已知图形中的线段,用正弦定理证明a·b=c·d±e·f,其方法是: 第一步,利用正弦定理,考察已知图形中有关的边和角之间的关系,写出c·c±e·f/a·b的三角表达式; 第二步,根据已知条件,将这个三角表达式化简,证明它的值等于1。例1 在△ABC中(图1),已知∠A=2∠B, 求证BC~2=AC~2 AB·AC。证明设∠B=θ,则∠A=2θ,∠C=180°-3θ。在△ABC中,由正弦定理得     

三角形分角线性质定理及应用

容易证明如下定理: 定理如图,D为△ABC的边BC(或其延长线)上任一点,则BD/DC=AB·sin∠BAD/AC·sin∠CAD。证明:在△ABD与△ACD中,分别由正弦定理,得BD/in∠BAD=AB/sin∠BDA ①DC/sin∠CAD=AC/sin∠CDA 又∠BDA ∠CDA=180°(或∠BDA=∠CDA)。∴sin∠BDA=sin∠CDA ① ②,即得     

正三角形的一个最值问题

定理 设边长为a的正三角形内(或边上)任一点P到三顶点的距离分别为d_1,d_2,d_3。则 1/d_1 1/d_2 1/d_3≥(4 2/(3~(1/2)))·1/a。等号当且仅当P为正三角形一边上中点时成立。 为证上述定理,需用到以下两个引理。     

根与系数关系的应用

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.这就是一元二次方程的根与系数的关系,又称"韦达定理".由韦达定理可得:     

初中毕业班数学辅导与练习

一、复习要点:(1)弄清垂线、斜线、四种命题、外心、内心、垂心、重心、外切、内切等基本概念。(2)要围绕公理和定理进行复习,如三角形中的公理、定理,各种特殊四边形的性质和定理,相似三角形的有关定理,在圆中,弧弦角的定理,切线割线的定理,与多边形的关系定理。(3)掌握计算公式,如三角形而积 S=1/2ah_a=1/2absinC,正、长方形面积,平行四边形面积 S=ah_a=absinα(α为 a·b夹角),菱形面积 S=aha=a~2sinα=1/2L_1L_2     

梅涅劳斯定理在空间的推广及应用

定理1 设在△ABC三边(所在直线)AB、BC、CA上各取一点X,y,Z(异于顶点A,B,C),则此三点共线的充分必要条件是 AX/XB·BY/YC·CZ/ZA=1. 这是平面几何中的梅涅劳斯(Menelaus)定理,它是证明三点共线的一个有力工具。本文将此定理在空间作一推广,供大家参考。 定理2 (如图1)设在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上各取一点P,Q,M,N(异于顶点A,B,C,D),则此四点共面的充分必要条件是     

两个著名定理的等价性

本文给出两个著名定理:西姆松线定理与托勒密定理等价性的证明.为方便,将两个定理写在下面:托勒密定理:若四边形ABCD是圆内接四边形,则AB·CD AD·BC=AC·BD.西姆松线定理:三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线.1 用西姆松线定理证明托勒密定理文[1]已给出证明,简述如下:证明 ABCD是任一凸四边形,连接AC,如图,过D向△ABC各边作垂线,垂足分别为 C_1、A_1、B_1,连结C_1B_1,B_1A_1,由西姆松线定理得:     

浅谈一元二次方程根与系数的关系

1基本内容1)如果ax~2 bx c=0(a≠0)的2根是x_1、x_2,那么x_1 x_2=-b/a·x_1·x_2=c/a.一元二次方程根与系数的关系叫做韦达定理.2)以2个数x_1、x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1 x_2)x x_1x_2=0.这种根与系的关系叫做韦达定理的逆定理.     

四边形面积的一个性质与若干数学竞赛题

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等. 证明:如图1,记∠AOB=α,△AOB、△COD△AOD、△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3、S_4,则由三角形面积公式有S_1·S_2=1/2AO·BO·sinα·1/2CO·DO·sinα,S_3·S_4=1/2AO·DO·sin(180°-α)·1/2BO·CO·sin(180°-α)故得,S_1·S_2=S_3·S_4。     

斯图瓦尔特(Stewart)定理及其应用

1斯图瓦尔特定理斯图瓦尔特市是18世纪英国数学家.1746年,他在《一般定理》一书中证明了如下定理:已知△ABC,D是BC边上任意一点,AB~2·DC+AC~2·BD-AD~2·BC=BC·BD·DC(如图1).这个定理就称为斯图瓦尔特定理.它可以用于计算三角形某些线段的长度,如中线、垂线、角分线等.但是,尤其在证明与三角形有关线段的乘积或比例等问题中有很广泛的应用.在平面几何复习过程     

一个群论定理的推广

对群论定理“设a,b为群（G,·）之二元．如 1）a·b=b·a,2）（o（a）,o（b））=1,则o（a·6）=o（a）×o（6）″进行推广．首先,仅变更2）为2′）（o（a）,o（b））=d,得到定理1：设a,b为群（G,·）之二元,如 1）n·6=b·a．2′）（o（a）,o（6））=d,则o（a·6）=o（a）/d×o（b）/d×q,q∈N且1≤q≤d;其次,不仅变更2）为2″）（o（ai）,a（aj））=1,i≠j,i,j=1,2,…,n,且变更1）为1′）ai·aj=aj·ai,i≠j,i,j=1,2,…,n,得到定理2：设a1,a2,…,an为群（G,·）之n（≥2）元,     

Stewart定理的空间推广

Stewart定理设P是直线BC上任一点,A是任意一点,则AP~2=PC/BC·AB~2 BP/BC·AC~2-PC·BC／BC·BC·BC～2.(1)图1Stewart定理是欧氏几何的一个重要定理,它反映了平面几何的一类重要度量关系.笔者经过探索得到了它的两类有趣的空间中的推广形式,兹介绍与读者共享.1与ΔA1A2A3相关的推广定义1设P是ΔAiAjAk(i,j,k∈{1,2,3,},i,j,k互不相等)所在平面上任意一点,记ΔPAiAj的面积为Δk.若P,Ak在直线AiAj同侧,令-Δk=Δk,若P,Ak在直线AiAj异侧,令Δ-k=-Δk,则称Δ-k为关于ΔAiAjAk的ΔPAiAk的有向面积.引理1P是ΔA1A2A3所在…     

中线定理的应用

中线定理 设△ABC的∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,AD为边BC上的中线。则AD~2=1/2b~2 1/2c~2-1/4a~2。 证明 如图,由余弦定理得 c~2=AD~2 a~2/4 -2·AD·a/2cosα, b~2=AD~2 a~2/4 -2·AD·α/2cos(180°-α)。 两式相加,整理即得所证。