弦中点问题“两连发”

巧设弦中点,妙用作差法,破解弦问题弦中点取决于弦两端点的坐标和,弦斜率取决于弦两端点的坐标差,这对两端点坐标的孪生兄弟,互帮互助,它们的直接关系孕育在设点代入、作差之中.在解决有关弦斜率、隐含弦中点的问题时,若巧设弦中点,妙用作差法,以弦中点坐标作辅助元,则往往可简捷获解.一、给出弦的斜率情况例1斜率为1的直线l与双曲线3x2-y2=1相交于不同的两点A,B,若A,B两点到直线4x-y-1=0的距离     

巧设弦中点 妙用点差法

弦的中点取决于弦的两端点的坐标和，弦的斜率由弦的两端点的坐标差而定，它们的直接关系孕育在设点、代人、作差之中．在解决有关弦的斜率、弦的中点的问题时，可巧设弦中点，妙用点差法．     

初探圆锥曲线中点弦的存在性

在平面解析几何中,经常会遇到这样的一类问题,已知如下条件(1)经过某点的直线与圆锥曲线相交两点,使这点为两交点的中点;(2)圆锥曲线     

“点差法”巧解弦中点问题

对于直线与椭圆的位置关系问题,我们经常联立方程,再利用二次方程的判别式与韦达定理进行求解.但是,这种方法运算量较大,有时候容易出错.对于一些与弦中点有关的问题可以借助另外一种方法——点差法进行求解.     

巧用圆锥曲线弦中点性质解题

直线与圆锥曲线问题,一直是高中数学研究的重点所在,而作为直线与圆锥曲线中特殊的点——弦中点问题,更是为我们平常之所见.一、椭圆与双曲线的弦中点性质设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.证明（点差法）如图1,设A(x₁,     

关于“伪中点弦”的思考

1问题的提出题目经过点P(1,1)的直线l和双曲线x2-y2/2=1交于A,B两点,并且P是弦AB的中点,问直线l是否存在,如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,说明理由.对于这道题,我们都非常熟悉,可以用点差法来处理,解题过程如下:解当直线l的斜率不存在时,显然不满足要求;     

圆锥曲线中弦的中点的表现形式

通过对多年各省高考试题的分析,发现有关圆锥曲线的弦的中点常见的几种表现形式,本文归纳总结了五种表现形式,并给出了处理此问题的较好的方法.图1如图1,圆锥曲线的弦被它的中点唯一确定.即当弦的中点坐标已知,则弦所在的直线方程也随之确定.各种文献对此问题的处理方式一般如下:设圆锥曲线C的方程为:Ax     

椭圆与双曲线中点弦的存在性研究

为了不失一般性,我们将椭圆与双曲线方程统设为x²/m+y²/n=1,其中m,n不同时为负数,当m>0,n>0且m≠n时,方程表示椭圆;当m·n<0时,方程表示双曲线.首先来熟悉一下椭圆与双曲线的中点弦性质:设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.说明（1）此性质可由"点差法"很容易得     

对圆锥曲线过焦点弦的中点性质探讨

文[1]、文[2]给出了圆锥曲线与顶点有关的一组对偶元素的性质,文[3]给出过焦点的直线与准线的性质,笔者通过合情猜想类比探究,发现圆锥曲线有一个与焦点有关的性质,结论如下:定理1已知椭圆     

“点差法”，差在哪？

中点弦问题是解析几何中的重点、热点问题。解圆锥曲线的中点弦问题，很多学生习惯于用所谓“点差法”：首先设出弦的两端点坐标，然后代入圆锥曲线方程相减，得到弦中点的坐标与所在直线的斜率的关系，从而求出直线方程。但是，有时候符合条件的直线是不存在的，这时使用“点差法”便会走入“误区”。下面问题中便有学生经常掉入“陷阱”。     

圆锥曲线中点弦的定值性质及其应用

对于方程形如Ax2+By2=1(A、B同正或异号)(*)的曲线,我们不妨称之为有心圆锥曲线.性质设AB是有心圆锥曲线(*)不与坐标轴平行的任一弦,O为坐标原点,点M为弦上的一点,那么点M为弦AB的     

探究：在细节中萌生--双曲线中点弦之“伪直线”探析

在双曲线中点弦的习题教学中，通过对一道典例的教学过程中，对其中“伪直线”进行了探析，揭开了它的神秘面纱同时，运用探究结论在解决“与弦的中点有关的问题”时，显得即重要而又实用．     

一道“中点弦”问题解法的背景研究

1问题的提出试题已知椭圆C:x²+4y²=16,过点P（2,1）作一直线l交椭圆C于A,B两点,若点P为交点弦AB的中点,求直线l的方程.这是一道我校"圆锥曲线与方程"一章阶段测试的试题,讲评试题时笔者采用的是"点差法"与"设而不求"两种常规方法,课后有一位同学提出教辅材料中介绍的一种简解方法如下:将点P（2,1）代入椭圆的切线方程x₀x+4y₀y=k,得2x+4y=k,点P（2,1）在此直线上得k=8,则直线l的方程为2x+4y=8即     

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1过椭圆x²/16+y²/4=1内一点M（2,1）引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.     

“点差法”在解析几何题中的应用

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）,代人圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”,此法有着不可忽视的作用,其特点是巧代斜率．本文列举数例,以供参考．     

椭圆(双曲线)的“e^2-1”

在有关椭圆(双曲线)的相关问题中,常常涉及中点弦的斜率,中心弦的斜率,切线的斜率,双曲线的渐近线上的线段与中心连线的斜率,有关椭圆上的两点与中心连线的斜率之积等问题,通过笔者研究发现,这些直线的斜率之间的关系往往与相应的"e^2-1"有密切联系.     

圆的直径式方程在解题中的妙用

<正>~~     

圆的直径式方程及其应用

圆的方程有标准式与一般式两种形式,如果已知圆的直径的两个端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),那么设P(x,y)是该圆上的任意一点,则借助于两个     

点差法巧解椭圆中的范围问题

正点差法,顾名思义"代点作差",是解决解析几何中点弦相关问题的重要方法,在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,作差,求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.其特点是计算简便,尤其是在椭圆中,运用起来方便、快捷,可以达到"设而不求"的目的,同时降低解题的运算量,优化解题过程.该方法的原型为:     

直线与圆锥曲线的位置关系

中点弦问题例1已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率e=3^1/2/2,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程.（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为（-a,0）,点Q（0,y₀）在线段AB的垂直平分线上,且（?）·（?）=4,求y₀的值.