引入公差 巧解非数列问题

我们知道，三个数a、A、b成等差数列的充要条件是a＋b=2A。在某些非数列问题中，有时也会直接或间接地出现形如“a＋b=2A”的条件，这时如能联想到等差数列，巧妙地引入“公差”，则往往能为解题开辟一片新的天地。下面略举数例加以说明，供同学们学习时参考。     

巧设公差公比 妙解三角问题

在解某些看似与等差（比）数列无关的三角问题时,若能注意挖掘题目隐含的等差（比）数列条件,即可利用数列的知识,巧设公差公比,简捷明快地将题目解出．此法新颖别致、科学实用,下面举例说明．     

巧构造等差数列 妙解非数列问题

有些数学问题,从表面上看,几乎与数列没有任何关联,但仔细观察其结构特征后又可发现,题中直接或间接地呈现了特征式“a＋b=2c”,这时可联想并构造等差数列模型、巧妙地引入“公差”,使问题快速获解,本文略举数例介绍构造等差数列巧妙求解几类常见的非数列问题,供参考．     

运用数列观点巧解非数列问题

在某些非数列问题中,我们可以看到等差数列或等比数列的雏形,如a＋c=2b,ac=b2结构特征的式子,若能巧妙地引入公差或公比,则往往可以找到解决问题的简捷途径． 一、解三角函数题     

构造等差数列巧解几类非数列问题

有些数学问题,从表面上看,几乎与数列没有任何关联,但仔细观察其结构特征后又可发现,题中直接或间接地呈现了特征式“a＋b=2c”,这时可联想并构造等差数列模型、巧妙地引入“公差”,使问题快速获解,本文略举数例介绍构造等差数列巧妙求解几类常见的非数列问题,供参考．     

“派生数列”问题解法举隅

本文所谓的"派生数列",是指由一个或几个已知数列产生的新数列.比较简单的"派生数列"有:(1)已知数列{an}的子数列{ank},已知数列{an}的和数列{Sn},或由已知数列{an}的通项表达式产生的新     

巧用二项式定理解决一类数列问题

题目：已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列．若b1＝a1,b2＝an≠ar,b3＝at（其t〉s〉r,且（s－r）是（t－r）的约数）．求证：数列{bn}中每一项都是数列{an）中的项．本题是2010年盐城市高三调研测试的压轴题,主要考查了等差数列和等比数列性质的应用,以及数学归纳法在数列中的应用,题目较为复杂,需要一步一步地分析求解。计算量要求较高,属于难题．     

十种方法优化解决数列问题

数列是高中数学的重要内容,是研究高等数学的基础,故而每年高考,数列都是必选内容之一.由于数列的抽象性,运算的复杂性,也是考生丢分较多的一个知识点,因此在解决各类数列问题时要讲究策略,避繁就简,选择合理、简单的解题捷径.下面介绍十种常用的求简方法,供参考.一、回归定义例1在各项都为正数的等比数列{a_n}     

由两个等差数列的公共项组成的新数列问题

<正>课本题(普通高中课程标准实验教科书《数学5·必修·A版》(人民教育出版社,2007年第3版)(下简称《必修5》)第46页第6题)有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.答案是1 472,这个题目的解答有一定难度,有必要作一般意义下的探讨,本文将深入谈谈这个问题.     

数列,竞赛舞台的“风流人物”

在全国各地的数学竞赛舞台上,怎能少了数列这一重要的角色.有了它,数学竞赛这样一出大戏的剧情才会跌宕起伏.它的"表演"不可谓不精彩,时而是一个"孤胆英雄",万军丛中取"敌将"首级;时而是一个"淘气鬼",给人带来愉悦.它就在这样一些不同的角色之间相互转换着,在数学竞赛舞台上始终如一地坚持着自己的精彩"表演".     

类比——解决数列问题的一把利器

在解决数学问题的过程中,用类似的问题来启发解题思路,这就是类比推理.它根据两类不同的对象甲、乙之间的某些属性的相似性,由甲具有其它某种属性,     

求递推数列通项的特征根法

递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明．因而求递推数列的通项公式问题成为高考命题中颇受青睐的考查内容．下面给出求递推数列通项公式的几种常用特征根法．通过仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键．     

利用函数图象解决数列问题二三例

函数知识贯穿整个高中数学的始终,数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征.而在函数的这些特征中函数图象是函数特征的直观体现,利用图象解决数学问题(以形助数)是我们在解决问题中经常采用的手段.在数列中,我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题,常常会收到意想不到的效果.下面通过几例来说明这个问题.一、利用二次函数图象解决数列问题     

与条件A+C=2B及a+c=2b有关的三角题

一般地,我们用a、b、c表示ABC中相应于角A、B、C的三条边,条件A C=2B与a c=2b是三角函数题中经常出现的条件,条件看似简单与普遍,然而只要稍稍加上其他条件,则一些三角问题从题目本身到解法都会显得令人赏心悦目.此类问题在高考中也常有出现.本文试举数例,与同学们一起欣赏这类     

利？用特征根，求数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的通项公式

数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的特征方程是x=c·x＋d/a·x＋b（把递推关系中的an和an＋1换成x）．利用特征方程的根，可以求数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的通项公式．     

数列递推关系a1=p,an+1=kan+b(k≠0,n≥1)——一个好的研究性问题

数列递推关系ａ1 =ｐ,ａｎ+ 1 =ｋａｎ +ｂ　 (ｋ≠ 0 ,ｎ≥ 1)给出了一类很重要的数列 ,2 0 0 2年全国高考数学试题第 2 0题就涉及到这个数列递推关系式 .为了搞好这个数列递推关系的教学 ,在学习完等差和等比数列后 ,我安排了一节数学探究活动课 ,启发学生从等差数列和等比数列的定义式出发 ,主动地建构这个数列递推关系 ,并引导学生积极地对数列递推关系进行了探讨和研究 .在探讨和研究中 ,学生表现出浓厚的兴趣和强烈的求知欲 ,课堂气氛活跃、热烈 .通过对思想方法、思路、过程和结果的广泛交流与研讨 ,学生都能很好地理解数列递推关系…     

关于“a∩b=A”及“a∩α=A”的一个问题

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册(以下简称《代数》)第7页对“交集”是这样定义的:“由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集,记作A∩B(可读作“A交B”)……”。这个定义明确指出,A∩B是个集合,是A与B中所有公共元素组成的集合。《代数》第2页强调:“应该注意,a与{a}是不同的:a表示一个元素;{a}表示一个集合,这个集合只有一个元素a。”几乎与《代数》中“集合”这部分教材同时讲授的六年制重点中学高中数学课本《立体几何》(以下简称《立几》第11页有:“直线a、b相交于点A,我们规定记作a∩b=A。”     

慎用“函数的单调性解决数列单调性问题”

问题 已知数列{bn}的通项公式bn=a^nlga^n（a〉0且a≠1）,若{bn}（n∈N＋）是单调递增数列,求实数a的取值范围．